2019年高考数学总复习检测第63讲　直线与圆的综合应用 3页

第63讲　直线与圆的综合应用 ‎　‎ ‎1．(2016·福建四地六校联考)已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在的直线的方程为x＋y－2＝0，点(－1,1)在边AD上所在的直线上．‎ ‎(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；‎ ‎(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆相交，并求最短弦长．‎ ‎ (1)依题意得AB⊥AD，所以kAD＝1.‎ 所以AD的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.‎ 由得即A(0,2)．‎ 由已知得矩形ABCD的外接圆是以P(2,0)为圆心，|AP|＝2为半径，‎ 其方程为(x－2)2＋y2＝8.‎ ‎(2)l：(x＋y－5)＋k(y－2x＋4)＝0，‎ 所以 即直线l过定点M(3,2)．‎ 因为(3－2)2＋22＝5<8，所以点M(3,2)在圆内，‎ 所以直线l与圆相交．‎ 而圆心P与定点M的距离d＝＝，‎ 所以最短弦长＝2＝2.‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为2，在y轴上截得的线段长为2.‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程；‎ ‎(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．‎ ‎ (1)设P(x，y)，圆P的半径长为r，‎ 由题设知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，‎ 从而y2＋2＝x2＋3，‎ 故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.‎ ‎(2)设P(x0，y0)，由已知得＝，‎ 又点P在双曲线y2－x2＝1上，‎ 从而得 由得此时，圆P的半径r＝.‎ 由得此时，圆P的半径r＝.‎ 故圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.‎ ‎3．(2017·新课标卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ 　.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎ (1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．‎ 由＝　得x0＝x，y0＝y.‎ 因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.‎ 因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2)证明：由题意知F(－1,0)．‎ 设Q(－3，t)，P(m，n)，‎ 则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．‎ 由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1.‎ 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.‎ 所以·＝0，即⊥.‎ 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，‎ 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎4．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．‎ ‎(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；‎ ‎(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．‎ ‎ 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，‎ 所以圆心M(6,7)，半径为5.‎ ‎(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．‎ 因为圆N与x轴相切，与圆M外切，‎ 所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，‎ 从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.‎ 因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)因为直线l∥OA，‎ 所以直线l的斜率为＝2.‎ 设直线l的方程为y＝2x＋m，‎ 即2x－y＋m＝0，‎ 则圆心M到直线l的距离 d＝＝.‎ 因为BC＝OA＝＝2，‎ 而MC2＝d2＋2，‎ 所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.‎ 故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.‎ ‎(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．‎ 因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝，‎ 所以①‎ 因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②‎ 将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.‎ 于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，‎ 从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，‎ 所以5－5≤≤5＋5，‎ 解得2－2≤t≤2＋2.‎ 因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2]．‎