2019年高考数学总复习检测第50讲　空间中的平行关系 4页

第50讲　空间中的平行关系 ‎1．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(B)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ 因为m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.‎ 但l⊥m l∥α，因为l⊥m时，l可能在α内．‎ 故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．‎ ‎2．α，β，γ为不同的平面，a，b为不同的直线，给出下列条件：‎ ‎①α∥a，β∥a; ②α∥γ，β∥γ；‎ ‎③α⊥γ，β⊥γ； ④a⊥α，a⊥β.‎ 其中能使α∥β成立的条件的个数为(B)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎ 只有②④正确，选B.‎ ‎3．(2017·新课标卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(A)‎ A ‎　　B C ‎　　D ‎ A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.因为QD∩平面MNQ＝Q，所以QD与平面MNQ相交，所以直线AB与平面MNQ相交．‎ B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.‎ 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，‎ 所以AB∥平面MNQ.‎ ‎①‎ ‎　②‎ ‎③‎ ‎　④‎ C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.‎ 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，‎ 所以AB∥平面MNQ.‎ D项，作如图④所示的辅助线，‎ 则AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ.‎ 又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，‎ 所以AB∥平面MNQ.‎ ‎4．(2017·广州市二测)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为(C)‎ A. B. C. D. ‎ 如图，取AA1的中点N，则四边形BC1MN为所求截面．‎ 此截面是两腰为，上底为，下底为2的等腰梯形，‎ 其面积S＝×＝.‎ ‎5．在单位正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1上的点，若BD1∥平面ACE，则DE＝　　.‎ ‎ 连接BD交AC于O，连接EO，可知EO∥BD1，故E为DD1的中点，所以DE＝.‎ ‎6．下列命题：‎ ‎①一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；‎ ‎②一条直线和一个平面内无数条直线平行，这条直线与这个平面平行；‎ ‎③一条直线与两个平行平面中的一个相交，则与另一个也相交；‎ ‎④一条直线与两个平行平面中的一个平行，则与另一个也平行．‎ 其中为真命题的序号是　③　.‎ ‎7．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：‎ ‎(1)直线EG∥平面BDD1B1；‎ ‎(2)平面EFG∥平面BDD1B1.‎ ‎ (1)如图，连接SB.‎ 因为E，G分别是BC、SC的中点，所以EG∥SB.‎ 又因为SB⊂平面BDD1B1，‎ EG⊄平面BDD1B1，所以直线EG∥平面BDD1B1.‎ ‎(2)连接SD，因为F、G分别是DC、SC的中点，‎ 所以EG∥SD.‎ 又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，‎ 所以FG∥平面BDD1B1，‎ 由(1)知EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，‎ FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，‎ 所以平面EFG∥平面BDD1B1.‎ ‎8．(2016·广东七校第二次联考)设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(D)‎ A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α ‎ 对于A，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以A是α∥β的一个必要条件；同理B也是α∥β的一个必要条件；易知C不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于D，可以通过平移两条异面直线到一个平面中成为相交直线，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件．‎ ‎9．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有　6　条．‎ ‎ 记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．‎ ‎10．四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.证明：四边形EFGH是矩形．‎ ‎ 由该四面体的三视图可知：‎ BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC.‎ 由题设，BC∥平面EFGH，‎ 平面EFGH∩平面BDC＝FG，‎ 平面EFGH∩平面ABC＝EH，‎ 所以BC∥FG，BC∥EH, 所以FG∥EH.‎ 同理EF∥AD，HG∥AD, 所以EF∥HG.‎ 所以四边形EFGH是平行四边形．‎ 又因为BD⊥AD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，‎ 所以AD⊥平面BDC，‎ 所以AD⊥BC, ‎ 因为BC∥FG，EF∥AD，‎ 所以EF⊥FG，‎ 所以四边形EFGH是矩形．‎