高考数学复习 17-18版 第9章 第42课 空间几何体的结构及其表面积与体积 14页

第 42 课 空间几何体的结构及其表面 积与体积 [最新考纲] 内容 要求 A B C 柱、锥、台、球及其简单组合体 √ 柱、锥、台、球的表面积与体积 √ 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体 ①棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边 形． ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形． ③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形． (2)旋转体 ①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到． ②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到． ③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所 在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到． ④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到． 2．柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V＝Sh 锥体 (棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V＝1 3Sh 台体 (棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V＝1 3(S 上＋S 下＋ S 上 S 下)h 球 S＝4πR2 V＝4 3πR3 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积．( ) (2)球的体积之比等于半径比的平方．( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( ) (4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R＝ 3 2 a.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于 12π cm2，其侧面展开图是一个半圆， 则底面圆的半径为________ cm. 2 [S 表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．] 3．(2016·全国卷Ⅱ改编)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球 的表面积为________． 12π [设正方体棱长为 a，则 a3＝8，所以 a＝2. 所以正方体的体对角线长为 2 3，所以正方体外接球的半径为 3，所以球的 表面积为 4π·( 3)2＝12π.] 4．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们 的侧面积相等，且S1 S2 ＝9 4 ，则V1 V2 的值是________． 3 2 [设甲、乙两圆柱的底面半径分别为 r1，r2，母线长分别为 l1，l2，则由S1 S2 ＝9 4 得r1 r2 ＝3 2.又两圆柱侧面积相等，即 2πr1l1＝2πr2l2，则l1 l2 ＝r2 r1 ＝2 3 ，所以V1 V2 ＝S1l1 S2l2 ＝ 9 4 ×2 3 ＝3 2.] 5．如图 421，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm， 则四棱锥 ABB1D1D 的体积为________cm3. 图 421 6 [连结 AC 交 BD 于 O，在长方体中， ∵AB＝AD＝3，∴BD＝3 2且 AC⊥BD. 又∵BB1⊥底面 ABCD，∴BB1⊥AC. 又 DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面 BB1D1D， ∴AO 为四棱锥 ABB1D1D 的高且 AO＝1 2BD＝3 2 2 . ∵S 矩形 BB1D1D＝BD×BB1＝3 2×2＝6 2， ∴VABB1D1D＝1 3S 矩形 BB1D1D·AO＝1 3 ×6 2×3 2 2 ＝6(cm3)．] 空间几何体的结构特征 (1)下列说法正确的是________．(填序号) ①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； ②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形； ③有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ④棱台的各侧棱延长后不一定交于一点． (2)以下命题： ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确的命题有________．(填序号) (1)② (2)③ [(1)如图①所示，可知①错．如图②，当 PD⊥底面 ABCD， 且四边形 ABCD 为矩形时，则四个侧面均为直角三角形，②正确． ① ② 根据棱台的定义，可知③，④不正确． (2)由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有 平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．] [规律方法] 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体 的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需 举一个反例即可． 2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴 截面中各元素的关系． 3．因为棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意 “还台为锥”的解题策略． [变式训练 1] 下列结论正确的是________．(填序号) ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体； ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥； ④圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线． ④ [如图①知，①不正确．如图②，两个平行平面与底面不平行时，截得 的几何体不是旋转体，则②不正确． ① ② ③错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图 形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长． 由母线的概念知，选项④正确．] 空间几何体的表面积与体积 (1)(2016·苏锡常镇调研二)设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别 为 V1，S1，底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和侧面积分别为 V2，S2，若V1 V2 ＝3 π ， 则S1 S2 的值为________. 【导学号：62172230】 (2)在梯形 ABCD 中，∠ABC＝π 2 ，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________． (1)3 2 π (2)5π 3 [(1)由题意可知 V1＝a3，S1＝6a2， V2＝1 3 ×πr2×r＝πr3 3 ，S2＝ 2πr2， 由V1 V2 ＝3 π 得 a＝r，所以S1 S2 ＝ 6a2 2πr2 ＝3 2 π . (2)过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半 径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示． 由于 V 圆柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π， V 圆锥＝1 3π·CE2·DE＝1 3π·12×(2－1)＝π 3 ， 所以该几何体的体积 V＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π 3 ＝5π 3 .] [规律方法] 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式 进行求解． 2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的 原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解． 易错提醒：对于简单组合体的表面积计算，应首先搞清各构成部分，并注意 重合部分的处理． [变式训练 2] (2017·徐州模拟)设 M，N 分别为三棱锥 PABC 的棱 AB，PC 的中点，三棱锥 PABC 的体积记为 V1，三棱锥 PAMN 的体积记为 V2，则V2 V1 ＝ ________. 1∶4 [∵N 为棱 PC 的中点， ∴VPABN＝1 2V1， 又 M 为棱 AB 的中点，则 VAPMN＝VBPMN＝1 4V1 ∴VPAMN＝1 4V1， ∴V2 V1 ＝1 4.] 多面体与球的切、接问题 (2016·全国卷Ⅲ改编)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积 为 V 的球．若 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则 V 的最大值是________． 9π 2 [由 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得 AC＝10，要使球的体积 V 最大，则 球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的 半径为 r.则1 2 ×6×8＝1 2 ×(6＋8＋10)·r，则 r＝2. 此时 2r＝4＞3，不合题意． 因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 r 最大． 由 2r＝3，即 r＝3 2. 故球的最大体积 V＝4 3πr3＝9 2π.] [迁移探究 1] 若本例中的条件变为“直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在 球 O 的球面上”，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球 O 的表面积． [解] 将直三棱柱补形为长方体 ABCEA′B′C′E′， 则球 O 是长方体 ABCEA′B′C′E′的外接球， ∴体对角线 BC′的长为球 O 的直径． 因此 2r＝ 32＋42＋122＝13， 故 S 球＝4πr2＝169π. [迁移探究 2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球 O 的球面 上”，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，求该球的体积． [解] 如图，设球心为 O，半径为 r， 则在 Rt△AOF 中，(4－r)2＋( 2)2＝r2， 解得 r＝9 4 ， 则球 O 的体积 V 球＝4 3πr3＝4 3π× 9 4 3＝243π 16 . [规律方法] 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋 转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条 侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题． 2．若球面上四点 P，A，B，C 中 PA，PB，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧 棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题． [变式训练 3] 已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB＝90°，C 为该球面 上的动点．若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为________. 【导学号：62172231】 144π [如图，设球的半径为 R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB ＝1 2R2. ∵VOABC＝VCAOB，而△AOB 面积为定值， ∴当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VOABC 最大， ∴当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VOABC 最大为 1 3 ×1 2R2×R＝36， ∴R＝6，∴球 O 的表面积为 4πR2＝4π×62＝144π.] [思想与方法] 1．转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行， 即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧 面展开图的形状及平面图形面积的求法． 2．求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割 补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和 等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可 以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高． [易错与防范] 1．求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算． 2．底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义， 以防出错． 课时分层训练(四十二) A 组 基础达标 (建议用时：30 分钟) 1．已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直 线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________． 4 2π 3 [依题意知，该几何体是以 2为底面半径， 2为高的两个同底圆锥组 成的组合体，则其体积 V＝1 3π( 2)2×2 2＝4 2 3 π.] 2．正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 3，D 为 BC 中点，则 三棱锥 AB1DC1 的体积为________. 【导学号：62172232】 1 [在正△ABC 中，D 为 BC 中点， 则有 AD＝ 3 2 AB＝ 3， S△DB1C1＝1 2 ×2× 3＝ 3. 又∵平面 BB1C1C⊥平面 ABC，AD⊥BC，AD⊂平面 ABC，∴AD⊥平面 BB1C1C，即 AD 为三棱锥 AB1DC1 底面上的高． ∴V 三棱锥 AB1DC1 ＝1 3S△DB1C1·AD＝1 3 × 3× 3＝1.] 3．已知底面边长为 1，侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上， 则该球的体积为________． 4π 3 [依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为 R， 则 2R＝ 12＋12＋ 22＝2，解得 R＝1，所以 V＝4π 3 R3＝4π 3 .] 4．已知圆台的母线长为 4 cm，母线与轴的夹角为 30°，上底面半径是下底 面半径的1 2 ，则这个圆台的侧面积是________ cm2. 24π [将圆台还原为圆锥后的轴截面如图所示，由题意知 AC＝4 cm，∠ASO ＝30°，O1C＝1 2OA， 设 O1C＝r，则 OA＝2r， 又O1C SC ＝OA SA ＝sin 30°， ∴SC＝2r，SA＝4r. AC＝SA－SC＝2r＝4 cm. ∴r＝2 cm. ∴圆台的侧面积为： S＝π(r＋2r)×4＝24π(cm2)．] 5．一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相 等，则该六棱锥的侧面积为________． 12 [设正六棱锥的高为 h，棱锥的斜高为 h′. 由题意，得1 3 ×6×1 2 ×2× 3×h＝2 3，∴h＝1， ∴斜高 h′＝ 12＋ 32＝2，∴S 侧＝6×1 2 ×2×2＝12.] 6．(2017·泰州中学高三摸底考试)在△ABC 中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝ 120°，若使△ABC 绕直线 BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是________． 3π 2 [过 A 作 AD 垂直 BC 于 D 点，则 AD＝ 3，BD＝1，CD＝2.5，因此所 形成的几何体的体积是1 3 ×π·( 3)2(2.5－1)＝3π 2 .] 7．(2015·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面 半径为 2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变， 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______． 7 [设新的底面半径为 r，由题意得 1 3 ×π×52×4＋π×22×8＝1 3 ×π×r2×4＋π×r2×8， ∴r2＝7，∴r＝ 7.] 8．(2016·苏北三市三模)已知圆锥的母线长为 10 cm，侧面积为 60π cm2，则 此圆锥的体积为________cm3. 96π [设圆锥的底面半径为 r，则 S 侧＝πr×10＝60π， ∴r＝6. ∴圆锥的高 h＝ 102－62＝8. ∴圆锥的体积 V＝1 3πr2h＝1 3π×36×8＝96π.] 9．(2016·泰州期末)如图 422，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为 BD1 的中点， 三棱锥 OABD 的体积为 V1，四棱锥 OADD1A1 的体积为 V2，则V1 V2 的值为________． 图 422 1 2 [设 AB＝a，AD＝b，A1A＝c，则 V1＝1 3S△ABD·1 2A1A＝1 3 ×1 2ab×1 2c＝abc 12 . V2＝1 3S 矩形 ADD1A1·1 2AB＝1 3 ×bc×1 2a＝abc 6 . ∴V1 V2 ＝1 2.] 10．(2013·江苏高考)如图 136，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，AA1 的中点．设三棱锥 FADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1ABC 的体 积为 V2，则 V1∶V2＝________. 图 136 1∶24 [设三棱柱的底面 ABC 的面积为 S，高为 h，则其体积为 V2＝Sh.因 为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以△ADE 的面积等于 1 4S.又因为 F 为 AA1 的 中点，所以三棱锥 FADE 的高等于 1 2h，于是三棱锥 FADE 的体积 V1＝1 3 ×1 4S·1 2h ＝ 1 24Sh＝ 1 24V2，故 V1∶V2＝1∶24.] 11．已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H 为 垂足，α截球 O 所得截面的面积为π，则球 O 的表面积为________. 【导学号：62172233】 9 2π [如图，设球 O 的半径为 R，则由 AH∶HB＝1∶2 得 HA＝1 3·2R＝2 3R， ∴OH＝R 3. ∵截面面积为π＝π·HM2， ∴HM＝1. 在 Rt△HMO 中，OM2＝OH2＋HM2， ∴R2＝1 9R2＋HM2＝1 9R2＋1， ∴R＝3 2 4 ， ∴S 球＝4πR2＝4π· 3 2 4 2＝9 2π.] 12．(2017·南京盐城二模)如图 423，正三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB＝4，AA1 ＝6.若 E，F 分别是棱 BB1，CC1 上的点，则三棱锥 AA1EF 的体积是________． 图 423 8 3 [极限法，取 E，F 分别与 B1，C1 重合，则 S 三棱锥 AA1EF＝1 3S△A1B1C1·AA1＝1 3 ×1 2AB2sin 60°·AA1 ＝1 6 ×16× 3 2 ×6＝8 3.] B 组 能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．已知一个圆锥的底面圆的半径为 1，体积为2 2 3 π，则该圆锥的侧面积为 ________. 【导学号：62172234】 3π [设圆锥的母线长为 l，高为 h， 则由 V＝1 3πr2·h， 得 h＝3V πr2 ＝2 2π π ＝2 2. ∴母线 l＝ h2＋r2＝3，故圆锥的侧面积为 S＝1 2(2πr)l＝πrl＝π×1×3＝3π.] 2．(2017·苏州期末)将半径为 5 的圆分割成面积之比为 1∶2∶3 的三个扇形 作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为 r1，r2，r3，则 r1＋r2＋r3 ＝________. 5 [∵2πr1＝1 6 ×10π，∴r1＝5 6 ， 同理 r2＝10 6 ，r3＝15 6 ， ∴r1＋r2＋r3＝30 6 ＝5.] 3．(2017·扬州期末)已知正四棱锥底面边长为 4 2，体积为 32，则此四棱锥 的侧棱长为________． 5 [设正四棱锥的高为 h，则1 3 ×4 2×4 2×h＝32， ∴h＝3，∴底面对角线的长为 4 2× 2＝8. 侧棱长为 32＋42＝5.] 4．如图 424，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1， B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为________． 图 424 1 6 [VD1EDF＝VFDED1 ， △DED1 的面积为正方形 AA1D1D 面积的一半， 三棱锥 FDED1 的高即为正方体的棱长， 所以 VD1EDF＝VFDED1 ＝1 3S△DED1·h ＝1 3 ×1 2DD1×AD×AB＝1 6.] 5．(2017·南京模拟)已知正三棱柱的各条棱长均为 a，圆柱的底面直径和高 均为 b，若它们的体积相等，则 a3∶b3 的值为________． π∶ 3 [正三棱柱的体积 V1＝ 3 4 a2·a＝ 3 4 a3， 圆柱的体积 V2＝π b 2 2·b＝π 4b3. ∴ 3 4 a3＝π 4b3， ∴a3∶b3＝π∶ 3.] 6．(2017·无锡期末)在圆锥 VO 中，O 为底面圆心，半径 OA⊥OB，且 OA＝ VO＝1，则 O 到平面 VAB 的距离为________． 图 425 3 3 [由题意可知 VA＝VB＝ 2，AB＝ 2. ∴VVAOB＝1 3 ×S△AOB×VO＝1 3 ×1×1×1 2 ×1＝1 6. ∴VOABV＝1 3S△ABV×h＝1 3 ×1 2 × 2× 2×sin 60°×h＝1 6. ∴h＝ 3 3 .]