2020-2021学年北师大版数学选修2-2课时作业：第二章　变化率与导数 单元质量评估 10页

第二章单元质量评估 时限：120 分钟 满分：150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．已知函数 f(x)＝2x2－1 的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1 ＋Δy)，则Δy Δx 等于( C ) A．4 B．4Δx C．4＋2Δx D．4＋2Δx2 解析：Δy Δx ＝21＋Δx2－1－1 Δx ＝4Δx＋2Δx2 Δx ＝4＋2Δx. 2．下列结论中不正确的是( B ) A．若 y＝3，则 y′＝0 B．若 y＝ 1 x ，则 y′＝－1 2 x C．若 y＝－ x，则 y′＝－ 1 2 x D．若 y＝3x，则 f′(1)＝3 解析：因为 y＝ 1 x ＝x －1 2 ， 所以 y′＝(x －1 2 )′＝－1 2x －3 2 ＝－ 1 2x x. 3．已知函数 f(x)＝1 x2，则 f′ 1 2 ＝( D ) A．－1 4 B．－1 8 C．－8 D．－16 解析：∵f′(x)＝(x－2)′＝－2x－3， ∴f′ 1 2 ＝－2× 1 2 －3＝－16. 4．若曲线 f(x)＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线方程是 x－y＋1＝ 0，则( A ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 解析：由 f′(x)＝2x＋a，得 f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方 程得 b＝1，故选 A. 5．若 f(x)＝sinα－cosx，则 f′(x)＝( A ) A．sinx B．cosx C．cosα＋sinx D．2sinα＋cosx 解析：函数是关于 x 的函数，因此 sinα是一个常数． 6．曲线 y＝x3＋11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 ( C ) A．－9 B．－3 C．9 D．5 解析：因为 y′＝3x2，切点 P(1,12)， 所以切线的斜率 k＝3×12＝3. 故切线方程为 y－12＝3(x－1)， 即 3x－y＋9＝0， 令 x＝0，得 y＝9. 7．若 f(x)＝log3(2x－1)，则 f′(3)＝( D ) A.2 3 B．2ln3 C. 2 3ln3 D. 2 5ln3 解析：∵f′(x)＝ 2 2x－1ln3 ，∴f′(3)＝ 2 5ln3. 8．函数 y＝x2＋a2 x (a>0)在 x＝x0 处的导数为 0，那么 x0＝( B ) A．a B．±a C．－a D．a2 解析：因为 y′＝x2＋a2′x－x′x2＋a2 x2 ＝2x2－a2－x2 x2 ＝x2－a2 x2 ， 所以 x20－a2＝0，解得 x0＝±a. 9．曲线 y＝e－x－ex 的切线的斜率的最大值为( C ) A．2 B．0 C．－2 D．－4 解析：y′＝k＝－e－x－ex＝－(e－x＋ex)＝－ ex＋1 ex ≤ －2 1 ex·ex＝－2， 当且仅当1 ex＝ex，即 x＝0 时，等号成立． 10．已知直线 m：x＋2y－3＝0，函数 y＝3x＋cosx 的图像与直线 l 相切于点 P，若 l⊥m，则点 P 的坐标可能是( B ) A. －π 2 ，－3π 2 B. π 2 ，3π 2 C. 3π 2 ，π 2 D. －3π 2 ，－π 2 解析：因为直线 m 的斜率为－1 2 ，l⊥m， 所以直线 l 的斜率为 2. 因为函数 y＝3x＋cosx 的图像与直线 l 相切于点 P，设 P(a，b)， 则 b＝3a＋cosa 且当 x＝a 时，y′＝3－sina＝2， 所以 sina＝1，解得 a＝π 2 ＋2kπ(k∈Z)， 所以 b＝3π 2 ＋6kπ(k∈Z)， 所以 P π 2 ＋2kπ，3π 2 ＋6kπ (k∈Z)， 当 k＝0 时，P π 2 ，3π 2 .故选 B. 11．若函数 f(x)＝－1 beax(a>0，b>0)的图像在 x＝0 处的切线与圆 x2＋y2＝1 相切，则 a＋b 的最大值是( D ) A．4 B．2 2 C．2 D. 2 解析：函数的导数为 f′(x)＝－1 beax·a， 所以 f′(0)＝－1 be0·a＝－a b ， 即在 x＝0 处的切线斜率 k＝－a b ， 又 f(0)＝－1 be0＝－1 b ，所以切点为 0，－1 b ， 所以切线方程为 y＋1 b ＝－a bx，即 ax＋by＋1＝0. 圆心到直线 ax＋bx＋1＝0 的距离 d＝ 1 a2＋b2 ＝1， 即 a2＋b2＝1，所以 a2＋b2＝1≥2ab，即 01， 故 f′(x)0)， 因为 y＝2x2，所以 y′＝4x，f′(x0)＝4x0. 令2x20＋2 x0 ＝4x0，得 x0＝1， 此时，D(1,2)， kAD＝2－－2 1－0 ＝4，直线 AD 的方程为 y＝4x－2. 要视线不被曲线 C 挡住，则实数 a≤4×3－2＝10， 即实数 a 的取值范围是(－∞，10]． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17．(10 分)求下列函数的导数： (1)y＝sinx＋1 x ； (2)y＝(x2＋2)(3x－1)； (3)y＝x·e－x； (4)y＝1 2sin2x. 解：(1)y′＝(sinx)′＋ 1 x ′＝cosx－1 x2. (2)y′＝(x2＋2)′(3x－1)＋(x2＋2)(3x－1)′ ＝2x(3x－1)＋3(x2＋2) ＝9x2－2x＋6. (3)y′＝x′·e－x＋x·(e－x)′ ＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x. (4)y′＝1 2(sin2x)′＝1 2 ×2·cos2x＝cos2x. 18．(12 分)点 P 是曲线 y＝x3－ 3x＋2 3 上的任意一点，且点 P 处 切线的倾斜角为α，求α的取值范围． 解：∵k＝tanα＝y′＝3x2－ 3≥－ 3， ∴tanα≥－ 3. 又α∈[0，π)，∴α∈ 0，π 2 ∪ 2π 3 ，π . 19．(12 分)求满足下列条件的函数 f(x)． (1)f(x)是三次函数，且 f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2) ＝0； (2)f(x)是二次函数，且 x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1. 解：(1)由题意设 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)， 则 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 由已知 f0＝d＝3， f′0＝c＝0， f′1＝3a＋2b＋c＝－3， f′2＝12a＋4b＋c＝0， 解得 a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3， 故 f(x)＝x3－3x2＋3. (2)由题意设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b. 所以 x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1， 化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1， 此式对任意 x 都成立，所以 a＝b， b＝2c， c＝1， 解得 a＝2，b＝2，c＝1，即 f(x)＝2x2＋2x＋1. 20．(12 分)若函数 y＝f(x)在区间(－a，a)(a>0)内为偶函数且可导， 试讨论 y＝f′(x)在(－a，a)内的奇偶性． 解：∵f′(－x)＝lim Δx→0 f－x＋Δx－f－x Δx ＝lim Δx→0 fx－Δx－fx Δx ＝lim Δx→0 (－1)·fx－Δx－fx －Δx ＝－f′(x)， ∴f′(x)为奇函数，即 y＝f′(x)在(－a，a)内为奇函数． 21．(12 分)设函数 f(x)＝ax＋ 1 x＋b(a，b∈Z)在点(2，f(2))处的切 线方程为 y＝3. (1)求 f(x)的解析式； (2)求曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线 x＝1 和直线 y＝x 所围三角形的面积． 解：(1)f′(x)＝a－ 1 x＋b2 ，于是 2a＋ 1 2＋b ＝3， a－ 1 2＋b2 ＝0， 解得 a＝1， b＝－1 或 a＝9 4 ， b＝－8 3. 因为 a，b∈Z，故 a＝1， b＝－1， 即 f(x)＝x＋ 1 x－1. (2)由(1)知当 x＝3 时，f(3)＝7 2 ， f′(x)＝1－ 1 x－12 ，f′(3)＝1－ 1 3－12 ＝3 4 ， 切点为 3，7 2 的切线方程为 y－7 2 ＝3 4(x－3)， 即 3x－4y＋5＝0. 切线与直线 x＝1 的交点为(1,2)， 切线与直线 y＝x 的交点为(5,5)， 直线 x＝1 与直线 y＝x 的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为1 2 ×|5－1|×|2－1|＝2. 22．(12 分)已知函数 f(x)＝lnx，g(x)＝1 2x2－bx＋1(b 为常数)．函 数 f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线与函数 g(x)的图像相切，求实数 b 的值． 解：因为 f(x)＝lnx，所以 f′(x)＝1 x ，f′(1)＝1. 又 f(1)＝ln1＝0，所以函数 f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程 为 y＝x－1， 因为直线 y＝x－1 与函数 g(x)的图像相切， 由 y＝x－1， y＝1 2x2－bx＋1， 消去 y 得 x2－2(b＋1)x＋4＝0， 则Δ＝4(b＋1)2－16＝0，解得 b＝1 或－3.