2019年高考数学总复习检测第68讲　变量的相关性、回归分析、独立性检验 4页

第68讲　变量的相关性、回归分析、独立性检验 ‎1．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(D)‎ A．－1 B．0‎ C. D．1‎ ‎ 由题意知，这组样本数据完全正相关，故相关系数为1，选D.‎ ‎2．设某大学的女生的体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(D)‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(，)‎ C．若该大学某女生的身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生的身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg ‎ A、B、C均正确，是回归方程的性质．D项是错误的，线性回归方程只能预测学生的体重，选项D应改为“若该大学某女生身高为170 cm，则估计其体重大约为58.79 kg”才正确．‎ ‎3．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入x(万元)‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出y(万元)‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ 据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(B)‎ A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 ‎ 由题意知，＝＝10，‎ ＝＝8，‎ 所以a ＝8－0.76×10＝0.4，‎ 所以当x＝15时，y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．‎ ‎4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由K2＝算得，‎ K2＝≈7.8.‎ 附表：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参照附表，得到的正确结论是(A)‎ A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎ 因为7.8>6.635，所以99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，选A.‎ ‎5．对于一组数据的两个函数模型，模型Ⅰ和模型Ⅱ的残差平方和分别为180.2和290.7，若从中选取一个拟合程度较好的函数模型，应选　模型Ⅰ　.‎ ‎　　 残差平方和越小，函数模型对数据的拟合效果越好；残差平方和越大，说明函数模型对数据的拟合效果越差．‎ ‎6．已知x、y的取值如下表所示，‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 从所得的散点图分析，y与x线性相关，且y＝0.95x＋a，则a＝　2.6　.‎ ‎ 因为回归直线方程必过样本点的中心(，)，‎ 解得＝2，＝4.5，将(2,4.5)代入y＝0.95x＋a，可得a＝2.6.‎ ‎7．(2015·重庆卷)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ 时间代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 储蓄存款y ‎(千亿元)‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎(1)求y关于t的回归方程y ＝b t＋a ；‎ ‎(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．‎ 附：回归方程y ＝b t＋a 中，b ＝，a ＝－b .‎ ‎ (1)列表计算如下：‎ i ti yi t tiyi ‎1‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎12‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎21‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎32‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎∑‎ ‎15‎ ‎36‎ ‎55‎ ‎120‎ 这里n＝5，＝i＝＝3，‎ ＝i＝＝7.2.‎ 又ltt＝－n2＝55－5×32＝10，‎ lty＝iyi－n＝120－5×3×7.2＝12，‎ 从而b ＝＝＝1.2，‎ a ＝－b ＝7.2－1.2×3＝3.6，‎ 故所求回归方程为y ＝1.2t＋3.6.‎ ‎(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ＝1.2×‎ ‎6＋3.6＝10.8(千亿元)．‎ ‎8．(2015·湖北卷)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(C)‎ A．x与y正相关，x与z负相关 ‎ B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z负相关 ‎ D．x与y负相关，x与z正相关 ‎ 因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝b y＋a ，b >0，则z＝b y＋a ＝－0.1b x＋b ＋a ，故x与z负相关．‎ ‎9．某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过这种血清的人与另外500名未使用这种血清的人一年中的感冒记录比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2＝3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.下列结论中，正确结论的序号是　①　.‎ ‎①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；‎ ‎②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；‎ ‎③这种血清预防感冒的有效率为95%；‎ ‎④这种血清预防感冒的有效率为5%.‎ ‎ 因为K2＝3.918≥3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05，‎ 所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．‎ ‎10．(2016·湖北省八校第二次联考)国内某知名大学有男生14000人，女生10000人．该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：(平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3])‎ 男生平均每天运动的时间分布情况：‎ 平均每天 运动的时间 ‎[0,‎ ‎0.5)‎ ‎[0.5,‎ ‎1)‎ ‎[1,‎ ‎1.5)‎ ‎[1.5,‎ ‎2)‎ ‎[2,‎ ‎2.5)‎ ‎[2.5,‎ ‎3]‎ 人数 ‎2‎ ‎12‎ ‎23‎ ‎18‎ ‎10‎ x 女生平均每天运动的时间分布情况：‎ 平均每天 运动的时间 ‎[0,‎ ‎0.5)‎ ‎[0.5,‎ ‎1)‎ ‎[1,‎ ‎1.5)‎ ‎[1.5,‎ ‎2)‎ ‎[2,‎ ‎2.5)‎ ‎[2.5,‎ ‎3]‎ 人数 ‎5‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎10‎ ‎3‎ y ‎ (1)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到0.1)；‎ ‎(2)若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”．‎ ‎①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；‎ ‎②请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为'运动达人'与性别有关？”‎ 运动达人 非运动达人 总计 男生 女生 总计 参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.‎ 参考数据：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎　　 (1)由分层抽样得，男生抽取的人数为120×＝70人，女生抽取的人数为120－70＝50人，故x＝5，y＝2，‎ 则该校男生平均每天运动的时间为：‎ (0.25×2＋0.75×12＋1.25×23＋1.75×18＋2.25×10＋2.75×5)≈1.5, ‎ 故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时．‎ ‎(2)①样本中“运动达人”所占比例是＝，故估计该校“运动达人”有 ×(14000＋10000)＝4000人．‎ ‎②由表格可知：,‎ 运动达人 非运动达人 总计 男生 ‎15‎ ‎55‎ ‎70‎ 女生 ‎5‎ ‎45‎ ‎50‎ 总计 ‎20‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎　故K2的观测值 k＝＝≈2.743<3.841. ‎ 故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为'运动达人'与性别有关”．‎