2019年高考数学总复习检测第53讲　立体几何的综合应用 3页

第53讲　立体几何的综合应用 ‎　‎ ‎1．(2016·新课标卷Ⅰ)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.‎ ‎(1)证明：G是AB的中点；‎ ‎(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．‎ ‎ (1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，‎ 所以AB⊥PD.‎ 因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.‎ 因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.‎ 又由已知可得，PA＝PB，所以G是AB的中点．‎ ‎(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．‎ 理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．‎ 连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，‎ 所以D是正三角形ABC的中心．‎ 由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，‎ 故CD＝CG.‎ 由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，‎ 所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC.‎ 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，‎ 可得DE＝2，PE＝2.‎ 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，‎ 所以四面体PDEF的体积V＝××2×2×2＝.‎ ‎2．(2017·新课标卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD, ∠BAD＝∠ABC＝90°.‎ ‎(1)证明：直线BC∥平面PAD；‎ ‎(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积．‎ ‎ (1)在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD，‎ AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD.‎ ‎(2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM.‎ 由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.‎ 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.‎ 因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.‎ 设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.如图，取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，‎ 所以PN＝x.‎ 因为△PCD的面积为2，所以×x×x＝2，‎ 解得x＝－2(舍去)或x＝2.‎ 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.‎ 所以四棱锥PABCD的体积V＝××2＝4.‎ ‎3．(2014·新课标卷Ⅰ)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.‎ ‎(1)证明：B1C⊥AB；‎ ‎(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABCA1B1C1的高．‎ ‎ (1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．‎ 因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.‎ 又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，‎ 故B1C⊥平面ABO.‎ 由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.‎ ‎(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.‎ 由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD,0.n所以OH⊥BC.‎ 又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.‎ 因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，‎ 又BC＝1，可得OD＝.‎ 由于AC⊥AB1，所以OA＝B1C＝.‎ 由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，‎ 得OH＝.‎ 又O为B1C的中点，‎ 所以点B1到平面ABC的距离为.‎ 故三棱柱ABCA1B1C1的高为.‎ ‎4．(2017·新课标卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.‎ ‎(1)证明：AC⊥BD；‎ ‎(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．‎ ‎ (1)如图，取AC的中点O，连接DO，BO.‎ 因为AD＝CD，所以AC⊥DO.‎ 又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.‎ BO∩DO＝O，从而AC⊥平面DOB，BD⊂平面DOB，‎ 故AC⊥BD.‎ ‎(2)连接EO.‎ 由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.‎ 在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.‎ 又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，‎ 故∠DOB＝90°.‎ 由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC.‎ 又△ABC是正三角形，所以AC＝AB，‎ 又AB＝BD，所以EO＝BD.‎ 故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.‎