2015年数学理高考课件7-7 立体几何中的向量方法 49页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ．理解直线的方向向量与平面的法向量．　 2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．　 3. 能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理 ( 包括三垂线定理 ) ．　 4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 . 第七节　立体几何中的向量方法 直线的方向向量及平面的法向量 1 ．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行 ( 或重合 ) 的非零向量，一条直线的方向向量有 个． 2 ．平面的法向量 直线 l ⊥ 平面 α ，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面 α 的法向量．显然一个平面的法向量有 个，它们是共线向量． 无数 无数 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．通常取直线上两个特殊点构成直线的方向向量；当直线平行于 x 轴、 y 轴或 z 轴时，直线的方向向量可分别取 i ＝ (1,0,0) ， j ＝ (0,1,0) ， k ＝ (0,0,1) ． 2 ．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量． 3 ．若能找出平面的垂线，则垂线上取两个特殊点可构成平面的一个法向量． 4 ．若通过解三元一次方程组 ( 仅两个方程组成 ) 求平面的法向量时，不妨取 z ＝ 1. 1 ．若平面 π 1 ， π 2 互相垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是 ( 　　 ) A ． n 1 ＝ (1,2,1) ， n 2 ＝ ( － 3,1,1) B ． n 1 ＝ (1,1,2) ， n 2 ＝ ( － 2,1,1) C ． n 1 ＝ (1,1,1) ， n 2 ＝ ( － 1,2,1) D ． n 1 ＝ (1,2,1) ， n 2 ＝ (0 ，－ 2 ，－ 2) 解析： 两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项 A 中的两个向量垂直． 答案： A 利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直 设直线 l ， m 的方向向量分别为 a ， b ，平面 α ， β 的法向量分别为 u ， v ，则 (1) 线线平行　 ； 线面平行　 ； 面面平行　 . (2) 线线垂直　 ； 线面垂直　 ； 面面垂直　 . l ∥ m ⇔ a ∥ b ⇔ a ＝ k b ， k ∈ R l ∥ α ⇔ a ⊥ u ⇔ a · u ＝ 0 α ∥ β ⇔ u ∥ v ⇔ u ＝ k v ， k ∈ R l ⊥ m ⇔ a ⊥ b ⇔ a · b ＝ 0 l ⊥ α ⇔ a ∥ u ⇔ a ＝ k u ， k ∈ R α ⊥ β ⇔ u ⊥ v ⇔ u · v ＝ 0 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 利用空间向量证明平行垂直关系的关键是确定直线的方向向量及平面的法向量．同时要结合图形根据要证的平行或垂直关系转化为直线方向向量与平面的法向量之间的关系． 答案： C 利用向量求空间角 1 ．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线 a ， b 的方向向量为 a ， b ，其夹角为 θ ，则 cos φ ＝ |cos θ | ＝ ( 其中 φ 为异面直线 a ， b 所成的角 ) ． 2 ．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e ，平面 α 的法向量为 n ，直线 l 与平面 α 所成的角为 φ ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ ，则有 sin φ ＝ |cos θ | ＝ . 3 ．求二面角的大小 (1) 如图 ① ， AB 、 CD 是二面角 α － l － β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ ＝ ． (2) 如图 ②③ ， n 1 ， n 2 分别是二面角 α － l － β 的两个半平面 α ， β 的法向量，则二面角的小大 θ ＝ ．  n 1 ， n 2  ( 或 π －  n 1 ， n 2  ) 解析： l 与 α 所成角应为 30°. 答案： A 4. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 和 N 分别是 A 1 B 1 和 BB 1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 ________ ． 利用空间向量证明平行与垂直 【 例 1】 　在长方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AA 1 ＝ 2 AB ＝ 2 BC ， E 、 F 、 E 1 分别是棱 AA 1 ， BB 1 ， A 1 B 1 的中点． (1) 求证： CE ∥ 平面 C 1 E 1 F ； (2) 求证：平面 C 1 E 1 F ⊥ 平面 CEF . 反思总结 1 ． 用向量证平行的方法 (1) 线线平行：证明两直线的方向向量共线； (2) 线面平行： ① 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； ② 证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行． (3) 面面平行： ① 证明两平面的法向量为共线向量； ② 转化为线面平行、线线平行问题． 2 ．用向量证明垂直的方法 (1) 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零； (2) 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示； (3) 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． 利用空间向量求空间角 【 例 2】 　 (2014 年皖北四市联考 ) 已知单位正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 ， E ， F 分别是棱 B 1 C 1 ， C 1 D 1 的中点，试求： (1) AD 1 与 EF 所成角的大小； (2) AF 与平面 BEB 1 所成角的余弦值； (3) 二面角 C 1 － DB － B 1 的正切值． 利用空间向量解决探索性问题 【 例 3】 　 (2013 年高考北京卷 ) 如图，在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AA 1 C 1 C 是边长为 4 的正方形，平面 ABC ⊥ 平面 AA 1 C 1 C ， AB ＝ 3 ， BC ＝ 5. (1) 求证： AA 1 ⊥ 平面 ABC ； (2) 求二面角 A 1 － BC 1 － B 1 的余弦值； [ 解析 ] 　 (1) 证明：因为 AA 1 C 1 C 为正方形，所以 AA 1 ⊥ AC . 因为平面 ABC ⊥ 平面 AA 1 C 1 C ，且 AA 1 垂直于这两个平面的交线 AC ，所以 AA 1 ⊥ 平面 ABC . (2) 由 (1) 知 AA 1 ⊥ AC ， AA 1 ⊥ AB . 由题知 AB ＝ 3 ， BC ＝ 5 ， AC ＝ 4 ，所以 AB ⊥ AC . 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A － xyz ，则 B (0,3,0) ， A 1 (0,0,4) ， B 1 (0,3,4) ， C 1 (4,0,4) ． 反思总结 解决立体几何中的条件追溯型问题的基本策略是执果索因．其结论明确，需要求出使结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，即可迅速找到切入点．这类题目要求考生变换思维方向，有利于培养考生的逆向思维能力． 变式训练 2. 如图所示，在三棱锥 P － ABC 中， AB ＝ AC ， D 为 BC 的中点， PO ⊥ 平面 ABC ，垂足 O 落在线段 AD 上．已知 BC ＝ 8 ， PO ＝ 4 ， AO ＝ 3 ， OD ＝ 2. (1) 证明： AP ⊥ BC ； (2) 在线段 AP 上是否存在点 M ，使得二面角 A － MC － B 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由． —— 空间向量在立体几何中的应用 利用空间向量解决立体几何中平行与垂直的证明，空间角的求法及探索存在型问题一直是高考每年必考内容之一，多以解答题出现，解决时可以用传统的几何方法，也可以用向量法． [ 教你快速规范审题 ] 1 ．审条件，挖解题信息 2 ．审结论，明解题方向 3 ．建联系，找解题突破口 [ 常见失分探因 ] 易求错相关点的坐标，注意 B 点的纵坐标为负 平面的法向量求法中注意赋值的技巧及运算 __________________ [ 教你一个万能模板 ] _________________ 本小节结束 请按 ESC 键返回