2019年高考数学总复习检测第39讲　数列的综合问题 3页

第39讲　数列的综合问题 ‎1．(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.‎ ‎(1)求通项公式an；‎ ‎(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．‎ ‎ (1)由题意得则 又当n≥2时，‎ 由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.‎ ‎(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.‎ 当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3，‎ 当n≥3时，Tn＝3＋－ ‎＝，‎ 又当n＝2时，T2＝3也满足上式．‎ 所以Tn＝ ‎2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an.‎ ‎(1)证明：数列{}是等比数列；‎ ‎(2)求通项an与前n项的和Sn.‎ ‎ (1)证明：因为a1＝，an＋1＝an.‎ 所以当n∈N*时，≠0，‎ 又＝(n∈N*)为常数，‎ 所以{}是以为公比的等比数列．‎ ‎(2)因为＝，所以{}是以为首项，为公比的等比数列．‎ 所以＝×()n－1，所以an＝n·()n.‎ 所以Sn＝1·()＋2·()2＋…＋n·()n，‎ Sn＝1·()2＋2·()3＋…＋n·()n＋1，‎ 所以Sn＝＋()2＋…＋()n－n·()n＋1‎ ‎＝－n·()n＋1‎ ‎＝1－()n－n·()n＋1，‎ 所以Sn＝2－()n－1－n·()n ‎＝2－(n＋2)·()n.‎ 综上，an＝n·()n，Sn＝2－(n＋2)·()n.‎ ‎3．(2016·天津卷)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．‎ ‎ (1)设数列{an}的公比为q.‎ 由已知，有－＝，‎ 解得q＝2或q＝－1.‎ 又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，‎ 所以a1·＝63，得a1＝1，所以an＝2n－1.‎ ‎(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)‎ ‎＝(log22n－1＋log22n)‎ ‎＝n－，‎ 即{bn}是首项为，公差为1的等差数列．‎ 设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则 T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)‎ ‎＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ‎＝＝2n2.‎ ‎4．(2017·天津卷)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.‎ ‎(1)求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*)．‎ ‎ (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12.‎ 而b1＝2，所以q2＋q－6＝0，解得q＝－3或q＝2.‎ 又因为q＞0，所以q＝2.所以bn＝2n.‎ 由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8①.‎ 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16②，‎ 联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.‎ 所以，数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.‎ ‎(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn.由a2n＝6n－2，得 Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，‎ ‎2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1.‎ 上述两式相减，得 ‎－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1‎ ‎＝－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16，‎ 所以Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.‎ 所以，数列{a2nbn}的前n项和为(3n－4)2n＋2＋16.‎