备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：排列组合、二项式定理 8页

高频考点 排列组合、二项式定理 一、分类计数原理的应用：‎ 典型例题： ‎ 例1. （2012年北京市理5分）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为【 】‎ A. 24 B. 1‎8 C. 12 D. 6‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】排列组合问题。‎ ‎【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3 种情况），之后十位（2 种情况），最后百位（2 种情况），共12 种；如果是第二种情况偶奇奇：个位（3 种情况），十位（2 种情况），百位（不能是O ，一种倩况），共6 种。因此总共有12 + 6 = 18 种情况。故选B。‎ 例2. （2012年安徽省理5分）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为【 】‎ ‎ 或 或 或 或 ‎【答案】。‎ ‎【考点】排列组合。‎ ‎【解析】∵，∴在6位同学的两两交换中少2种情况。‎ 不妨设甲、乙、丙、丁、戍、己6人 ①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则甲收到3份纪念品，乙、丙收到4份纪念品，丁、戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为人；‎ ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则甲、乙、丙、丁收到4份纪念品，戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为4人。‎ 故选。‎ 例3. （2012年山东省理5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为【 】‎ A 232 B ‎252 C 472 D 484‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】排列组合的应用。‎ ‎【解析】。故选C。‎ 例4. （2012年浙江省理5分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有【 】‎ ‎ A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】分类讨论，计数原理的应用。‎ ‎【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：‎ ‎ 4个都是偶数：1种；‎ ‎2个偶数，2个奇数：种；‎ ‎4个都是奇数：种。‎ ‎∴不同的取法共有66种。故选D。‎ 例5. （2012年陕西省理5分） 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有【 】‎ A. 10种 B.15种 C. 20种 D. 30种 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题，分类计数原理。‎ ‎【解析】根据分类计数原理，所有可能情形可分为3:0，3:1，3:2三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果：‎ 当比分为3:0时，共有2种情形；‎ 当比分为3:1时，共有种情形；‎ 当比分为3:2时，共有种情形。‎ 总共有种。故选D。‎ 二、分步计数原理的应用：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012年全国大纲卷理5分）将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ 列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有【 】‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】排列组合的应用，分步计数原理。‎ ‎【解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，再填写第二行第一列的数有2种，一共有3×2×2=12种。故选A。‎ 例2. （2012年全国大纲卷文5分）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有【 】‎ A. 240种 B.360种 C.480种 D.720种 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】排列组合的应用。‎ ‎【解析】根据特殊元素优先的原则，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，在其余4个次序演讲有种组合，则其余5 位选手进行全排列。因此，不同的演讲次序共有种。故选C。[来源:学科网]‎ 例3. （2012年全国课标卷理5分）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社 会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有【 】‎ ‎ 种 种 种 种 ‎【答案】。[来源:学科网]‎ ‎【考点】排列组合。‎ ‎【解析】每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有种。故选。‎ 例4. （2012年辽宁省理5分）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为【 】‎ ‎(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】分步计数原理。‎ ‎【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有种排法，三个家庭共有 种排法；再把三个家庭进行全排列有种排法。因此不同的坐法种数为。故选C。‎ 例5. （2012年湖北省理5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999‎ ‎。则 ‎（Ⅰ）4位回文数有 ▲ 个；‎ ‎（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有 ▲ 个。‎ ‎【答案】（Ⅰ）90；（Ⅱ）。‎ ‎【考点】计数原理的应用。‎ ‎【解析】（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位回文数有9×10=90个。‎ ‎（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n种选法，故2n+1（n∈N+）位回文数有个。‎ 三、二项式定理的应用：‎ 典型例题： ‎ 例1. （2012年四川省理5分）的展开式中的系数是【 】‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】二项式的通项公式。‎ ‎【解析】∵二项式展开式的通项公式为，‎ ‎∴令=2，则。∴的系数是。故选D。‎ 例2. （2012年天津市理5分）在的二项展开式中，的系数为【 】‎ ‎（A）10 　（Ｂ）-10　　　（Ｃ）40　　　（Ｄ）-40‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】二项式定理。‎ ‎【分析】∵=，令，得，‎ ‎∴的系数为。故选D。‎ 例3. （2012年安徽省理5分）的展开式的常数项是【 】‎ ‎ 21世纪教育网 ‎【答案】。‎ ‎【考点】二项式定理。‎ ‎【解析】∵第一个因式取，第二个因式取 得： ，‎ 第一个因式取，第二个因式取得：，‎ ‎ ∴展开式的常数项是。故选。‎ 例4. （2012年重庆市文5分） 的展开式中的系数为【 】‎ ‎（A）-270 （B）-90 （C）90 （D）270‎ ‎【答案】A。[来源:Z+xx+k.Com]‎ ‎【考点】二项式系数的性质。‎ ‎【分析】设的展开式的通项公式为，则，‎ 令r=3，得的系数为：。故选A。‎ 例5. （2012年湖北省理5分）设，且，若能被13整除，则【 】‎ A.0 B‎.1 ‎‎ C.11 D.12‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】二项式定理的应用。‎ ‎【解析】∵52能被13整除，‎ ‎ ∴。[来源:学科网ZXXK]‎ 显然上式除了外，其余各个因式都能被13整除。‎ ‎∴能被13整除，只需。故选D。[来源:Zxxk.Com]‎ 例6. （2012年重庆市理5分）的展开式中常数项为【 】‎ A. B. C. D.105‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】二项式定理的应用 ‎【分析】求二项展开式中特定项一般利用通项公式解决：‎ ‎ ∵的展开式的通项为，令得，‎ ‎ ∴常数项为。故选B。‎ 例7. （2012年全国大纲卷理5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开 式中的系数为 ▲ 。‎ ‎【答案】56。‎ ‎【考点】二项式定理中通项公式的运用。‎ ‎【解析】利用二项式系数相等，确定的值，然后进一步借助于通项公式，分析项的系数。‎ 根据已知条件可知。‎ ‎∴的展开式的通项为，‎ 令，。∴系数为。‎ 例8. （2012年全国大纲卷文5分）的展开式中的系数为 ▲ .‎ ‎【答案】7。‎ ‎【考点】二项式定理中通项公式的运用。‎ ‎【解析】利用二项式系数展开，分析项的系数。‎ ‎∵的展开式的通项为，‎ 令，。∴的系数为。‎ 例9. （2012年上海市理4分）在的二项展开式中，常数项等于 ▲ .‎ ‎【答案】－160。‎ ‎【考点】二项式定理。‎ ‎【解析】∵展开式通项，令，得.‎ ‎∴常数项为。‎ 例10.（2012年广东省理5分）的展开式中的系数为　　▲　　。（用数字作答）‎ ‎【答案】20。‎ ‎【考点】二项式定理的应用。‎ ‎【解析】∵的展开式的通项为，‎ ‎ 　　　　∴ 令 得。‎ ‎∴的展开式中的系数为。‎ 例11. （2012年上海市文4分）在的二项式展开式中，常数项等于 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】二项式定理。‎ ‎【解析】∵展开式通项，令，得.‎ ‎∴常数项为。‎ 例12. （2012年湖南省理5分）的二项展开式中的常数项为 ▲ .（用数字作答）‎ ‎【答案】－160。‎ ‎【考点】二项式定理。‎ ‎【解析】∵的展开式项公式是，‎ ‎ ∴令，解得。‎ ‎ ∴二项展开式中的常数项为。‎ 例13.（2012年福建省理4分）(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝ ▲ .[来源:学.科.网]‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】二项式定理。‎ ‎【解析】∵(a＋x)4的展开式的通项是，x3的系数等于8，‎ ‎ ∴令r＝3，得，即‎4a＝8，解得a＝2。‎ 例14. （2012年陕西省理5分）展开式中的系数为10， 则实数的值为 ▲ .‎ ‎【答案】1。‎ ‎【考点】二项式定理的应用。‎ ‎【解析】∵展开式中第项为，‎ ‎　　　　∴令，的系数为，解得。‎