2015年数学理高考课件2-4 二次函数与幂函数 36页

第四节　二次函数与幂函数 二次函数 1 ．定义 函数 叫做二次函数． 2 ．表达形式 (1) 一般式： f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ． (2) 顶点式： ，其中 ( h ， k ) 为抛物线的顶点坐标． (3) 两根式： ． f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) f ( x ) ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k ( a ≠ 0) f ( x ) ＝ a ( x － x 1 )( x － x 2 )( a ≠ 0) 3 ．二次函数的图象与性质 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 　 怎样求二次函数的解析式？ 根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，二次函数三种表示形式的选择规律如下 (1) 若已知函数图象上任意三个点的坐标，宜选用一般式； (2) 若已知顶点坐标、对称轴或最大 ( 小 ) 值，宜选用顶点式； (3) 若已知函数图象与 x 轴两交点的坐标，宜选用两根式． 1 ．已知函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ，如果 a > b > c 且 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ，则它的图象可能是 ( 　　 ) 解析： ∵ a > b > c ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ， ∴ a >0 ， c <0. 答案： D 答案： C 3 ．已知函数 y ＝ x 2 － 2 x ＋ 3 在闭区间 [0 ， m ] 上有最大值 3 ，最小值 2 ，则 m 的取值范围是 ( 　　 ) A ． [1 ，＋ ∞ ] B ． [0,2] C ． [1,2] D ． ( － ∞ ， 2] 解析： ∵ y ＝ x 2 － 2 x ＋ 3 ＝ ( x － 1) 2 ＋ 2 ， ∴ 函数图象的对称轴为 x ＝ 1 ，最小值为 2 ，要使最大值为 3 ，则 1 ≤ m ≤ 2. 答案： C 幂函数 1 ．幂函数的概念 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中底数 x 是自变量， α 为常数． y ＝ x α ( x ∈ R ) 2 ．常用幂函数的图象与性质 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性； 2 ．幂函数的图象最多只能出现在两个象限内； 3 ．如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 答案： B 答案： A 二次函数的图象与性质 【 例 1】 　 (2014 年浙江七校模拟 ) 如图是二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 图象的一部分，图象过点 A ( － 3,0) ，对称轴为 x ＝－ 1. 给出下面四个结论： ① b 2 >4 ac ； ② 2 a － b ＝ 1 ； ③ a － b ＋ c ＝ 0 ； ④ 5 a < b . 其中正确的是 ( 　　 ) A ． ②④ 　　　 B ． ①④ 　　　 C ． ②③ 　　　 D ． ①③ [ 答案 ] 　 B 反思总结 解决二次函数的图象问题有以下两种方法 (1) 排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点； (2) 讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系． 变式训练 1 ．若函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ＋ b 的图象与 x 轴的交点为 (1,0) 和 (3,0) ，则函数 f ( x )( 　　 ) A ．在 ( － ∞ ， 2] 上递减，在 [2 ，＋ ∞ ) 上递增 B ．在 ( － ∞ ， 3) 上递增 C ．在 [1,3] 上递增 D ．单调性不能确定 解析： 由已知可得该函数的图象的对称轴为 x ＝ 2 ， 又二次项系数为 1>0 ， ∴ f ( x ) 在 ( － ∞ ， 2] 上是递减的， 在 [2 ，＋ ∞ ) 上是递增的． 答案： A 二次函数的综合应用 【 例 2】 　已知函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ 1( a ， b ∈ R ) ， x ∈ R . (1) 若函数 f ( x ) 的最小值为 f ( － 1) ＝ 0 ，求 f ( x ) 的解析式，并写出单调区间； (2) 在 (1) 的条件下， f ( x )> x ＋ k 在区间 [ － 3 ，－ 1] 上恒成立，试求 k 的范围． 解析： 由 f ( x )> x ＋ k ⇔ k < x 2 ＋ x ＋ 1. 令 h ( x ) ＝ x 2 ＋ x ＋ 1 ， x ∈ [ － 3 ，－ 1] ， 由已知条件知在 x ∈ [ － 3 ，－ 1] 上， 如使得 k < x 2 ＋ x ＋ 1 成立， 只需 k < h ( x ) max . 又 h ( x ) 在 [ － 3 ，－ 1] 上递减， ∴ h ( x ) max ＝ h ( － 3) ＝ 7 ， ∴ k <7. 即 k 的取值范围为 ( － ∞ ， 7) ． 反思总结 1 ． 二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想． 2 ．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用． 幂函数的图象与性质 【 例 3】 　下面给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是 ( 　　 ) [ 答案 ] 　 B 反思总结 1 ． 对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x ＝ 1 ， y ＝ 1 ， y ＝ x 分区域．根 据 α <0,0< α <1 ， α ＝ 1 ， α >1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2 ．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 变式训练 2 ．当 0< x <1 时， f ( x ) ＝ x 1.1 ， g ( x ) ＝ x 0.9 ， h ( x ) ＝ x － 2 的大小关系是 ________ ． 解析： 如图所示为函数 f ( x ) ， g ( x ) ， h ( x ) 在 (0,1) 上的图象，由此可知 h ( x )> g ( x )> f ( x ) ． 答案： h ( x )> g ( x )> f ( x ) —— 二次函数的最值问题 二次函数在给定区间上的最值问题是高考考查的热点内容，多涉及含参数问题．解决的核心是对函数图象的对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论，一般有两种角度考查： (1) 正向型； (2) 逆向型． 正向型 【 典例 1】 　已知 f ( x ) ＝ ax 2 － 2 x (0 ≤ x ≤ 1) ，求 f ( x ) 的最小值． [ 解析 ] 　 (1) 当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 2 x 在 [0,1] 上递减， ∴ f ( x ) min ＝ f (1) ＝－ 2. 逆向型 【 典例 2】 　已知函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 2 ax ＋ 1 在区间 [ － 1,2] 上有最大值 4 ，求实数 a 的值． 由题悟道 逆向型主要是指已知最值求参数或参数范围，解决此类问题仍然是按照求二次函数最值的方法去做，然后建立方程或不等式再进行求解． 设函数 y ＝ x 2 － 2 x ； x ∈ [ － 2 ， a ] ，求函数的最小值 g ( a ) ． 本小节结束 请按 ESC 键返回