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  • 2021-06-24 发布

高考数学一轮复习精品题集之圆锥曲线

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圆锥曲线 选修 1-1 第 2 章 圆锥曲线与方程 考纲总要求:①了解圆锥曲线的实际背景,了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. ③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质. ④理解数形结合的思想.[来源:学科网] ⑤了解圆锥曲线的简单应用. §2.1-2 椭圆 重难点:建立并掌握椭圆的标准方程,能根据已知条件求椭圆的标准方程;掌握椭圆的简单 几何性质,能运用椭圆的几何性质处理一些简单的实际问题. 经典例题:已知 A、B 为椭圆 2 2 a x + 2 2 9 25 a y =1 上两点,F2 为椭圆的右焦点,若|AF2|+|BF2|= 5 8 a, AB 中点到椭圆左准线的距离为 2 3 ,求该椭圆方程. 当堂练习: 1.下列命题是真命题的是 ( ) A.到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆 B.到定直线 c ax 2  和定点 F(c,0)的距离之比为 a c 的点的轨迹是椭圆 C.到定点 F(-c,0)和定直线 c ax 2  的距离之比为 a c (a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭 圆 D.到定直线 c ax 2  和定点 F(c,0)的距离之比为 c a (a>c>0)的点的轨迹是椭圆 2.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点 )2 3,2 5(  ,则椭圆方程是 ( ) A. 148 22  xy B. 1610 22  xy C. 184 22  xy D. 1610 22  yx 3.若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为 ( ) A.( 0,+∞) B.( 0,2) C.( 1,+∞) D.( 0,1) 4.设定点 F1(0,-3)、 F2(0,3),动点 P 满足条件 )0(9 21  aaaPFPF ,则点 P 的 轨迹是( ) A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段 5.椭圆 12 2 2 2  b y a x 和 k b y a x  2 2 2 2  0k 具有 ( ) A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长、短轴 6.若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍,则这个椭圆的离心率为 ( ) A. 4 1 B. 2 2 C. 4 2 D. 2 1 7.已知 P 是椭圆 136100 22  yx 上的一点,若 P 到椭圆右准线的距离是 2 17 ,则点 P 到左焦点 的距离( ) A. 5 16 B. 5 66 C. 8 75 D. 8 77 8.椭圆 1416 22  yx 上的点到直线 022  yx 的最大距离是 ( ) A.3 B. 11 C. 22 D. 10 9.在椭圆 134 22  yx 内有一点 P(1,- 1),F 为椭圆右焦点,在椭圆上有一点 M,使 |MP|+2|MF| 的值最小,则这一最小值是 ( ) A. 2 5 B. 2 7 C.3 D.4 10.过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆 12 2 2  yx 交于 P1,P2,线段 P1P2 的中点为 P, 设直线 m 的斜率为 k1( 01 k ),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值为 ( ) A.2 B.-2 C. 2 1 D.- 11.离心率 2 1e ,一个焦点是  3,0 F 的椭圆标准方程为 ___________ . 12.与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(-3,2 )的椭圆方程为_______________. 13.已知  yxP , 是椭圆 125144 22  yx 上的点,则 yx  的取值范围是________________ . 14.已知椭圆E的短轴长为 6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率 等于__________________. 15.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 3 2e ,短轴长为 58 ,求椭圆的方程. 16.过椭圆 4:),(148: 22 00 22  yxOyxPyxC 向圆上一点 引两条切线 PA、PB、A、 B 为切点,如直线 AB 与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点. (1)若 0 PBPA ,求 P 点坐标; (2)求直线 AB 的方程(用 00 , yx 表示); (3)求△MON 面积的最小值.(O 为原点) 17.椭圆 12 2 2 2  b y a x a >b > 0 与直线 1 yx 交于 P 、Q 两点,且 OQOP  ,其中O 为坐标原点. (1)求 22 11 ba  的值; (2)若椭圆的离心率e 满足 3 3 ≤ ≤ 2 2 ,求椭圆长轴的取值范围. 18.一条变动的直线 L 与椭圆 4 2x + 2 y 2 =1 交于 P、Q 两点,M 是 L 上的动点,满足关系 |MP|·|MQ|=2.若直线 L 在变动过程中始终保持其斜率等于 1.求动点 M 的轨迹方程,并 说明曲线的形状. 选修 1-1 第 2 章 圆锥曲线与方程 §2.3 双曲线 重难点:建立并掌握双曲线的标准方程,能根据已知条件求双曲线的标准方程;掌 握双曲 线的简单几何性质,能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题. 经典例题:已知不论 b 取何实数,直线 y=kx+b 与双曲线 12 22  yx 总有公共点,试求实 数 k 的取值范围. 当堂练习: 1.到两定点  0,31 F 、  0,32F 的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹 ( ) A.椭圆 B.线段 C.双曲线 D.两条射线 2.方程 111 22  k y k x 表示双曲线,则 k 的取值范围是 ( ) A. 11  k B. 0k C. 0k D. 1k 或 1k 3. 双曲线 1 412 2 2 2 2     m y m x 的焦距是 ( ) A.4 B. 22 C.8 D.与 m 有关 x y o x y o x y o x y o 4.已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0 与 nx2+my2=mn 所表示的曲线 可能是 ( ) A B C D 5. 双曲线的两条准线将实轴三等分,则它的离心率为 ( ) A. 2 3 B.3 C. 3 4 D. 3 6.焦点为 6,0 ,且与双曲线 12 2 2  yx 有相同的渐近线的双曲线方程是 ( ) A. 12412 22  yx B. 12412 22  xy C. 11224 22  xy D. 11224 22  yx 7.若 ak 0 ,双曲线 12 2 2 2     kb y ka x 与双曲线 12 2 2 2  b y a x 有 ( ) A.相同的虚轴 B.相同的实轴 C.相同的渐近线 D. 相同的焦点 8.过双曲线 1916 22  yx 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 2ABF (F2 为右焦点)的周长是 ( ) A.28 B.22 C.14 D.12 9.已知双曲线方程为 14 2 2  yx ,过 P(1,0)的直线 L 与双曲线只有一个公共点,则 L 的条数共有 ( ) A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 10.给出下列曲线:①4x+2y-1=0; ②x2+y2=3; ③ 12 2 2  yx ④ 12 2 2  yx ,其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是 ( ) A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④ 11.双曲线 179 22  yx 的右焦点到右准线的距离为__________________________. 12 . 与 椭 圆 12516 22  yx 有相同的焦点,且两准线间的距离为 3 10 的 双 曲 线 方 程 为 ____________. 13.直线 1 xy 与双曲线 132 22  yx 相交于 BA, 两点,则 AB =__________________. 14.过点 )1,3( M 且被点 M 平分的双曲线 14 2 2  yx 的弦所在直线方程为 . 15.求一条渐近线方程是 043  yx ,一个焦点是  0,4 的双曲线标准方程,并求此双曲线 的离心率. 16.双曲线  0222  aayx 的两个焦点分别为 21,FF , P 为双曲线上任意一点,求证: 21 PFPOPF 、、 成等比数列(O 为坐标原点). 17.已知动点 P 与双曲线 x2-y2=1 的两个焦点 F1,F2 的距离之和为定值,且 cos∠F1PF2 的最小值为-1 3. (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设 M(0,-1),若斜率为 k(k≠0)的直线 l 与 P 点的轨迹交于不同的两点 A、B,若要使 |MA|=|MB|,试求 k 的取值范围. 18.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听 到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离 都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在 同一平面上). 选修 1-1 第 2 章 圆锥曲线与方程 §2.4 抛物线 重难点:建立并掌握抛物线的标准方程,能根据已知条件求抛物线的标准方程;掌握抛物线 的简单几何性质,能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题. 经典例题:如图, 直线 y= 2 1 x 与抛物线 y= 8 1 x2-4 交于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线 与直线 y=-5 交于 Q 点. (1)求点 Q 的坐标;(2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含 A、B)的动点时, 求 ΔOPQ 面积的最大值. [来源:Z|xx|k.Com] 当堂练习: 1.抛物线 22xy  的焦点坐标是 ( ) A. )0,1( B. )0,4 1( C. )8 1,0( D. )4 1,0( 2.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上的点 )3,( mP 到焦点的距离为 5,则抛物 线方程为( ) A. yx 82  B. yx 42  C. yx 42  D. yx 82  3.抛物线 xy 122  截直线 12  xy 所得弦长等于 ( ) A. 15 B. 152 C. 2 15 D.15 4.顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线过点(-2,3),则它的方程是 ( ) A. yx 2 92  或 xy 3 42  B. xy 2 92  或 yx 3 42  C. yx 3 42  D. xy 2 92  5.点 )0,1(P 到曲线     ty tx 2 2 (其中参数 Rt  )上的点的最短距离为 ( ) A.0 B.1 C. 2 D.2 6.抛物线 )0(22  ppxy 上有 ),,(),,( 2211 yxByxA ),( 33 yxC 三点,F 是它的焦点,若 CFBFAF ,, 成等差数列,则 ( ) A. 321 ,, xxx 成等差数列 B. 231 ,, xxx 成等差数列 C. 321 ,, yyy 成等差数列 D. 231 ,, yyy 成等差数列 7.若点 A 的坐标为(3,2), 为抛物线 xy 22  的焦点,点 P 是抛物线上的一动点,则 PFPA  取得最小值时点 P 的坐标是 ( ) A.(0,0) B.(1,1) C.(2,2) D. )1,2 1( 8.已知抛物线 )0(22  ppxy 的焦点弦 AB 的两端点为 ),( 11 yxA , ),( 22 yxB ,则关系式 21 21 xx yy 的值一定等于 ( ) A.4p B.-4p C.p2 D.-p 9.过抛物线 )0(2  aaxy 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P,Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长 分别是 qp, ,则 qp 11  ( ) A . a2 B. a2 1 C. a4 D. a 4 10.若 AB 为抛物线 y2=2px (p>0)的动弦,且|AB|=a (a>2p),则 AB 的中点 M 到 y 轴的最近 距离是 ( ) A. 2 1 a B. p C. a+ p D. a- p 11.抛物线 xy 2 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________. 12 . 已 知 圆 07622  xyx ,与抛物线 )0(22  ppxy 的 准 线 相 切 , 则 p ___________. 13.如果过两点 )0,(aA 和 ),0( aB 的直线与抛物线 322  xxy 没有交点,那么实数 a 的取值范围是 . 14.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件; (1)焦点在 y 轴上; (2)焦点在 x 轴上; (3)抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6;( 4)抛物线的通径的长为 5; (5)由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 其中适合抛物线 y2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号) ______. 15.已知点 A(2,8), B(x1,y1), C(x2,y2)在抛物线 pxy 22  上,△ABC 的重心 与此抛物线的焦点 F 重合(如图) (1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)求线段 BC 中点 M 的坐标; (3)求 BC 所在直线的方程. 16.已知抛物线 y=ax2-1 上恒有关于直线 x+y=0 对称的相异两点,求 a 的取值范围. 17.抛物线 x2=4y 的焦点为 F,过点(0,-1)作直线 L 交抛物线 A、B 两点,再以 AF、BF 为邻边作平行四边形 FARB,试求动点 R 的轨迹方程. 18.已知抛物线 C: 2 742  xxy ,过 C 上一点 M,且与 M 处的切线垂直的直线称为 C 在点 M 的法线. (1)若 C 在点 M 的法线的斜率为 2 1 ,求点 M 的坐标(x0,y0); (2)设 P(-2,a)为 C 对称轴上的一点,在 C 上是否存在点,使得 C 在该点的法线通过 点 P?若有,求出这些点,以及 C 在这些点的法线方程;若没有,请说明理由. 选修 1-1 第 2 章 圆锥曲线与方程 §2.5 圆锥曲线单元测试 1)如果实数 yx, 满足等式 3)2( 22  yx ,那么 x y 的最大值是( ) A、 2 1 B、 3 3 C、 2 3 D、 3 2)若直线 01)1(  yxa 与圆 0222  xyx 相切,则 a 的值为( ) A、 1,1  B、 2,2  C、1 D、 1 3)已知椭圆 125 2 2 2  y a x )5( a 的两个焦点为 1F 、 2F ,且 8|| 21 FF ,弦 AB 过点 ,则 △ 2ABF 的周长为( ) (A)10 (B)20 (C)2 41 (D) 414 4)椭圆 136100 22  yx 上的点 P 到它的左准线的距离是 10,那么点 P 到它的右焦点的距离是 ( ) (A)15 (B)12 (C)10 (D)8 5)椭圆 1925 22  yx 的焦点 、 ,P 为椭圆上的一点,已知 21 PFPF  ,则△ 21PFF 的 面积为( ) (A)9 (B)12 (C)10 (D)8 6)椭圆 1416 22  yx 上的点到直线 022  yx 的最大距离是( ) (A)3(B) 11 (C) 22 (D) 10 7)以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为 2 的双曲线方程是( ) (A) 222  yx (B) 222  xy (C) 422  yx 或 422  xy (D) 222  yx 或 222  xy 8)双曲线 1916 22  yx 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2,则 P 点到左准线的距离为( ) (A)6 (B)8 (C)10 (D)12 9)过双曲线 822  yx 的右焦点 F2 有一条弦 PQ,|PQ|=7,F1 是左焦点,那么△F1PQ 的周 长为( ) (A)28 (B) 2814  (C) 2814  (D) 28 10)双曲线虚轴上的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,  12021MFF ,则双曲线的离心 率为( ) (A) 3 (B) 2 6 (C) 3 6 (D) 3 3 11)过抛物线 2y ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长 分别为 p、q,则 11 pq 等于( ) (A)2a (B) 1 2a (C)4a (D) 4 a 12) 如果椭圆 1936 22  yx 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) (A) 02  yx (B) 042  yx (C) 01232  yx (D) 082  yx [来源:学+科+网 Z+X+X+K] 13)与椭圆 22 143 xy 具有相同的离心率且过点(2,- 3 )的椭圆的标准方程是 14)离心率 3 5e ,一条准线为 3x 的椭圆的标准方程是 。 15)过抛物线 2 2y px (p>0)的焦点 F 作一直线 l 与抛物线交于 P、Q 两点,作 PP1、QQ1 垂直于抛物线的准线,垂足分别是 P1、Q1,已知线段 PF、QF 的长度分别是 a、b,那么 |P1Q1|= 。 16)若直线 l 过抛物线 (a>0)的焦点,并且与 y 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段长为 4,则 a= 。17) 已知椭圆 C 的焦点 F1(- 22 ,0)和 F2( ,0),长轴长 6,设 直线 2 xy 交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。 18) 已知双曲线与椭圆 1259 22  yx 共焦点,它们的离心率之和为 5 14 ,求双曲线方程. 19) 抛物线 xy 22  上的一点 P(x , y)到点 A(a,0)(a∈R)的距离的最小值记为 )(af ,求 的表达式. 20)求两条渐近线为 02  yx 且截直线 03  yx 所得弦长为 3 38 的双曲线方程. 21)已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A、B 两点,(1)若以 AB 线段为直径的圆过 坐标原点,求实数 a 的值。(2)是否存在这样的实数 a,使 A、B 两点关于直线 1 2yx 对 称?说明理由. 参考答案 第 2 章 圆锥曲线与方程 §2.1-2 椭圆 经典例题:[解析]:设 A(x1,y1),B(x2,y2), ,5 4e 由焦半径公式有 a-ex1+a-ex2= a5 8 , ∴x1+x2= a2 1 , 即 AB 中点横坐标为 a4 1 ,又左准线方程为 ax 4 5 ,∴ 2 3 4 5 4 1  aa ,即 a=1,∴椭圆方程 为 x2+ 9 25 y2=1. 当堂练习: 1.D; 2.D; 3.D; 4.A; 5.A; 6.D; 7.B; 8.D; 9.C; 10.D; 11. 12736 22  xy ; 12. 11015 22  yx ; 13. ]13,13[ ;14. 5 4 ; 15. [解析]:由 222 3 2 54 cba a ce b     8 12   c a ,∴椭圆的方程为: 180144 22  yx 或 180144 22  xy . 16.[解析]:( 1) PBPAPBPA  0 ∴OAPB 的正方形 由 84 32 148 8 2 02 0 2 0 2 0 2 0       xyx yx 220 x ∴P 点坐标为( 0,22 ) (2)设 A(x1,y1), B(x2,y2) 则 PA、PB 的方程分别为 4,4 2211  yyxxyyxx ,而 PA、PB 交于 P(x0,y0) 即 x1x0+y1y0=4,x2x0+y2y0=4,∴AB 的直线方程为:x0x+y0y=4 (3)由 )0,4(4 0 00 xMyyxx 得 、 )4,0( 0yN || 18|4||4|2 1||||2 1 0000 yxyxONOMS MON  22)48(22|222 |24|| 2 0 2 000 00  yxyxyx 22 22 8 || 8 00   yxS MON 当且仅当 22,|2|| 22 | min 00  MONSyx 时 . 17. [解析]:设 ),(),,( 2211 yxPyxP ,由 OP ⊥ OQ  x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ① 01)(2,1,1 21212211  xxxxxyxy 代入上式得: 又将 代入xy 1 12 2 2 2  b y a x 0)1(2)( 222222  baxaxba , ,2,0 22 2 21 ba axx   22 22 21 )1( ba baxx   代入①化简得 211 22  ba . (2) ,3 2 2 1 2 113 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2  a b a b a b a ce 又由(1)知 12 2 2 2   a ab 2 6 2 5 2 3 4 5 3 2 12 1 2 1 2 2    aa a ,∴长轴 2a ∈ [ 6,5 ]. 18.[解析]:设动点 M(x,y),动直线 L:y=x+m,并设 P(x1,y1),Q(x2,y2)是方程组     042 , 22 yx mxy 的解,消去 y,得 3x2+4mx+2m2-4=0,其中 Δ=16m2-12(2m2-4)>0,∴- 6 |PA|, ,5680,5680  yx 10680),5680,5680(  POP 故即 ,答:巨响发生在接报中心的西偏北 45°距中心 m10680 处. §2.4 抛物线 经典例题:【解】(1) 解方程组 48 1 2 1 2   xy xy 得 2 4 1 1   y x 或 4 8 2 2   y x 即 A(-4,-2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1).由 kAB== 2 1 ,直线 AB 的垂直平分线方程 y-1= (x-2). 令 y=-5, 得 x=5, ∴Q(5,-5). (2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0, 设 P(x, 8 1 x2-4).∵点 P 到直线 OQ 的距离 d= 2 48 1 2  xx = 328 28 1 2  xx , 25OQ ,∴SΔOPQ= dOQ = 32816 5 2  xx .[来源:学,科,网 Z,X,X,K] ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴-4≤x<4 3 -4或4 - 4时, 当且仅当 x=a-1 时, =|PA|min= 21a  . 所以 = | |, 1 2 1, 1 aa aa   . 20. 解:设双曲线方程为 x2-4y2=  . 联立方程组得: 22x -4y = 30xy      ,消去 y 得,3x2-24x+(36+ )=0 设直线被双曲线截得的弦为 AB,且 A( ),B( ),那么: 12 12 2 8 36 3 24 12(36 ) 0 xx xx             那么:|AB|= 2 2 2 1 2 1 2 36 8(12 ) 8 3(1 )[( ) 4 ] (1 1)(8 4 )3 3 3k x x x x          解得:  =4,所以,所求双曲线方程是: 2 2 14 x y 21. 解:(1)联立方程 223x -y =1 1y ax    ,消去 y 得:(3-a2)x2-2ax-2=0. 设 A( 11,xy),B( 22,xy),那么: 12 2 12 2 22 2 3 2 3 (2 ) 8(3 ) 0 axx a xx a aa            由于以 AB 线段为直径的圆经过原点,那么:OA OB ,即 1 2 1 2 0x x y y。 所以: 1 2 1 2( 1)( 1) 0x x ax ax    ,得到: 22 22 22( 1) 1 0, 633 aa a aaa        ,解得 a= 1 [来 源:Zxxk.Com] (2)假定存在这样的 a,使 A( ),B( )关于直线 1 2yx 对称。 那么: 22 11 22 22 3x -y =1 3x -y =1    ,两式相减得: 2 2 2 2 1 2 1 23(x -x )=y -y ,从而 1 2 1 2 1 2 1 2 y -y 3(x +x )= .......(*)x -x y +y 因为 A( ),B( )关于直线 对称,所以 1 2 1 2 12 12 y +y 1 x +x=2 2 2 y -y 2x -x      代入(*)式得到:-2=6,矛盾。 也就是说:不存在这样的 a,使 A( ),B( )关于直线 对称。