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- 2021-06-24 发布
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圆锥曲线
选修 1-1 第 2 章 圆锥曲线与方程
考纲总要求:①了解圆锥曲线的实际背景,了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质.
④理解数形结合的思想.[来源:学科网]
⑤了解圆锥曲线的简单应用.
§2.1-2 椭圆
重难点:建立并掌握椭圆的标准方程,能根据已知条件求椭圆的标准方程;掌握椭圆的简单
几何性质,能运用椭圆的几何性质处理一些简单的实际问题.
经典例题:已知 A、B 为椭圆 2
2
a
x
+ 2
2
9
25
a
y
=1 上两点,F2 为椭圆的右焦点,若|AF2|+|BF2|= 5
8
a,
AB 中点到椭圆左准线的距离为 2
3
,求该椭圆方程.
当堂练习:
1.下列命题是真命题的是 ( )
A.到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
B.到定直线 c
ax
2
和定点 F(c,0)的距离之比为 a
c
的点的轨迹是椭圆
C.到定点 F(-c,0)和定直线 c
ax
2
的距离之比为 a
c
(a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭
圆
D.到定直线 c
ax
2
和定点 F(c,0)的距离之比为 c
a
(a>c>0)的点的轨迹是椭圆
2.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点
)2
3,2
5(
,则椭圆方程是 ( )
A.
148
22
xy
B.
1610
22
xy
C.
184
22
xy
D. 1610
22
yx
3.若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为 ( )
A.( 0,+∞) B.( 0,2) C.( 1,+∞) D.( 0,1)
4.设定点 F1(0,-3)、 F2(0,3),动点 P 满足条件
)0(9
21 aaaPFPF
,则点 P 的
轨迹是( )
A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段
5.椭圆
12
2
2
2
b
y
a
x
和
k
b
y
a
x 2
2
2
2
0k 具有 ( )
A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长、短轴
6.若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍,则这个椭圆的离心率为 ( )
A. 4
1
B. 2
2
C. 4
2
D. 2
1
7.已知 P 是椭圆
136100
22
yx
上的一点,若 P 到椭圆右准线的距离是 2
17
,则点 P 到左焦点
的距离( )
A. 5
16
B. 5
66
C. 8
75
D. 8
77
8.椭圆
1416
22
yx
上的点到直线 022 yx 的最大距离是 ( )
A.3 B. 11 C. 22 D. 10
9.在椭圆
134
22
yx
内有一点 P(1,- 1),F 为椭圆右焦点,在椭圆上有一点 M,使 |MP|+2|MF|
的值最小,则这一最小值是 ( )
A. 2
5
B. 2
7
C.3 D.4
10.过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆
12
2
2
yx
交于 P1,P2,线段 P1P2 的中点为 P,
设直线 m 的斜率为 k1( 01 k ),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值为 ( )
A.2 B.-2 C. 2
1
D.-
11.离心率 2
1e
,一个焦点是 3,0 F 的椭圆标准方程为 ___________ .
12.与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(-3,2 )的椭圆方程为_______________.
13.已知 yxP , 是椭圆
125144
22
yx
上的点,则 yx 的取值范围是________________ .
14.已知椭圆E的短轴长为 6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率
等于__________________.
15.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 3
2e
,短轴长为 58 ,求椭圆的方程.
16.过椭圆
4:),(148: 22
00
22
yxOyxPyxC 向圆上一点
引两条切线 PA、PB、A、
B 为切点,如直线 AB 与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点.
(1)若 0 PBPA ,求 P 点坐标;
(2)求直线 AB 的方程(用 00 , yx 表示);
(3)求△MON 面积的最小值.(O 为原点)
17.椭圆
12
2
2
2
b
y
a
x a >b > 0 与直线 1 yx 交于 P 、Q 两点,且 OQOP ,其中O
为坐标原点.
(1)求 22
11
ba
的值;
(2)若椭圆的离心率e 满足 3
3
≤ ≤ 2
2
,求椭圆长轴的取值范围.
18.一条变动的直线 L 与椭圆 4
2x
+ 2
y 2
=1 交于 P、Q 两点,M 是 L 上的动点,满足关系
|MP|·|MQ|=2.若直线 L 在变动过程中始终保持其斜率等于 1.求动点 M 的轨迹方程,并
说明曲线的形状.
选修 1-1 第 2 章 圆锥曲线与方程
§2.3 双曲线
重难点:建立并掌握双曲线的标准方程,能根据已知条件求双曲线的标准方程;掌 握双曲
线的简单几何性质,能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题.
经典例题:已知不论 b 取何实数,直线 y=kx+b 与双曲线 12 22 yx 总有公共点,试求实
数 k 的取值范围.
当堂练习:
1.到两定点 0,31 F 、 0,32F 的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹 ( )
A.椭圆 B.线段 C.双曲线 D.两条射线
2.方程
111
22
k
y
k
x
表示双曲线,则 k 的取值范围是 ( )
A. 11 k B. 0k C. 0k D. 1k 或 1k
3. 双曲线
1
412 2
2
2
2
m
y
m
x
的焦距是 ( )
A.4 B. 22 C.8 D.与 m 有关
x
y
o x
y
o x
y
o x
y
o
4.已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0 与 nx2+my2=mn 所表示的曲线
可能是 ( )
A B C D
5. 双曲线的两条准线将实轴三等分,则它的离心率为 ( )
A. 2
3
B.3 C. 3
4
D. 3
6.焦点为 6,0 ,且与双曲线
12
2
2
yx
有相同的渐近线的双曲线方程是 ( )
A.
12412
22
yx
B.
12412
22
xy
C.
11224
22
xy
D.
11224
22
yx
7.若 ak 0 ,双曲线
12
2
2
2
kb
y
ka
x
与双曲线
12
2
2
2
b
y
a
x
有 ( )
A.相同的虚轴 B.相同的实轴 C.相同的渐近线 D. 相同的焦点
8.过双曲线
1916
22
yx
左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 2ABF (F2 为右焦点)的周长是
( )
A.28 B.22 C.14 D.12
9.已知双曲线方程为
14
2
2 yx
,过 P(1,0)的直线 L 与双曲线只有一个公共点,则 L
的条数共有 ( )
A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条
10.给出下列曲线:①4x+2y-1=0; ②x2+y2=3; ③
12
2
2
yx
④
12
2
2
yx
,其中与直线
y=-2x-3 有交点的所有曲线是 ( )
A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④
11.双曲线
179
22
yx
的右焦点到右准线的距离为__________________________.
12 . 与 椭 圆
12516
22
yx
有相同的焦点,且两准线间的距离为 3
10
的 双 曲 线 方 程 为
____________.
13.直线 1 xy 与双曲线
132
22
yx
相交于 BA, 两点,则 AB =__________________.
14.过点 )1,3( M 且被点 M 平分的双曲线
14
2
2
yx
的弦所在直线方程为 .
15.求一条渐近线方程是 043 yx ,一个焦点是 0,4 的双曲线标准方程,并求此双曲线
的离心率.
16.双曲线 0222 aayx 的两个焦点分别为 21,FF , P 为双曲线上任意一点,求证:
21 PFPOPF 、、 成等比数列(O 为坐标原点).
17.已知动点 P 与双曲线 x2-y2=1 的两个焦点 F1,F2 的距离之和为定值,且 cos∠F1PF2
的最小值为-1
3.
(1)求动点 P 的轨迹方程;
(2)设 M(0,-1),若斜率为 k(k≠0)的直线 l 与 P 点的轨迹交于不同的两点 A、B,若要使
|MA|=|MB|,试求 k 的取值范围.
18.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听
到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离
都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在
同一平面上).
选修 1-1 第 2 章 圆锥曲线与方程
§2.4 抛物线
重难点:建立并掌握抛物线的标准方程,能根据已知条件求抛物线的标准方程;掌握抛物线
的简单几何性质,能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题.
经典例题:如图, 直线 y= 2
1
x 与抛物线 y= 8
1
x2-4 交于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线
与直线 y=-5 交于 Q 点. (1)求点 Q 的坐标;(2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含
A、B)的动点时, 求 ΔOPQ 面积的最大值.
[来源:Z|xx|k.Com]
当堂练习:
1.抛物线 22xy 的焦点坐标是 ( )
A. )0,1( B. )0,4
1(
C.
)8
1,0(
D.
)4
1,0(
2.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上的点 )3,( mP 到焦点的距离为 5,则抛物
线方程为( )
A. yx 82 B. yx 42 C. yx 42 D. yx 82
3.抛物线 xy 122 截直线 12 xy 所得弦长等于 ( )
A. 15 B. 152 C. 2
15
D.15
4.顶点在原点,坐标轴为对称轴的抛物线过点(-2,3),则它的方程是 ( )
A.
yx 2
92
或
xy 3
42
B.
xy 2
92
或
yx 3
42
C.
yx 3
42
D.
xy 2
92
5.点 )0,1(P 到曲线
ty
tx
2
2
(其中参数 Rt )上的点的最短距离为 ( )
A.0 B.1 C. 2 D.2
6.抛物线 )0(22 ppxy 上有 ),,(),,( 2211 yxByxA ),( 33 yxC 三点,F 是它的焦点,若 CFBFAF ,,
成等差数列,则 ( )
A. 321 ,, xxx 成等差数列 B. 231 ,, xxx 成等差数列
C. 321 ,, yyy 成等差数列 D. 231 ,, yyy 成等差数列
7.若点 A 的坐标为(3,2), 为抛物线 xy 22 的焦点,点 P 是抛物线上的一动点,则 PFPA
取得最小值时点 P 的坐标是 ( )
A.(0,0) B.(1,1) C.(2,2) D.
)1,2
1(
8.已知抛物线 )0(22 ppxy 的焦点弦 AB 的两端点为 ),( 11 yxA , ),( 22 yxB ,则关系式
21
21
xx
yy
的值一定等于 ( )
A.4p B.-4p C.p2 D.-p
9.过抛物线 )0(2 aaxy 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P,Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长
分别是 qp, ,则 qp
11
( )
A . a2 B. a2
1
C. a4 D. a
4
10.若 AB 为抛物线 y2=2px (p>0)的动弦,且|AB|=a (a>2p),则 AB 的中点 M 到 y 轴的最近
距离是 ( )
A. 2
1
a B. p C. a+ p D. a- p
11.抛物线 xy 2
上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________.
12 . 已 知 圆 07622 xyx ,与抛物线 )0(22 ppxy 的 准 线 相 切 , 则 p
___________.
13.如果过两点 )0,(aA 和 ),0( aB 的直线与抛物线 322 xxy 没有交点,那么实数 a
的取值范围是 .
14.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件;
(1)焦点在 y 轴上; (2)焦点在 x 轴上;
(3)抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6;( 4)抛物线的通径的长为 5;
(5)由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).
其中适合抛物线 y2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号) ______.
15.已知点 A(2,8), B(x1,y1), C(x2,y2)在抛物线 pxy 22 上,△ABC 的重心
与此抛物线的焦点 F 重合(如图)
(1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标;
(2)求线段 BC 中点 M 的坐标;
(3)求 BC 所在直线的方程.
16.已知抛物线 y=ax2-1 上恒有关于直线 x+y=0 对称的相异两点,求 a 的取值范围.
17.抛物线 x2=4y 的焦点为 F,过点(0,-1)作直线 L 交抛物线 A、B 两点,再以 AF、BF
为邻边作平行四边形 FARB,试求动点 R 的轨迹方程.
18.已知抛物线 C: 2
742 xxy
,过 C 上一点 M,且与 M 处的切线垂直的直线称为 C
在点 M 的法线.
(1)若 C 在点 M 的法线的斜率为 2
1
,求点 M 的坐标(x0,y0);
(2)设 P(-2,a)为 C 对称轴上的一点,在 C 上是否存在点,使得 C 在该点的法线通过
点 P?若有,求出这些点,以及 C 在这些点的法线方程;若没有,请说明理由.
选修 1-1 第 2 章 圆锥曲线与方程
§2.5 圆锥曲线单元测试
1)如果实数 yx, 满足等式 3)2( 22 yx ,那么 x
y
的最大值是( )
A、 2
1
B、 3
3
C、 2
3
D、 3
2)若直线 01)1( yxa 与圆 0222 xyx 相切,则 a 的值为( )
A、 1,1 B、 2,2 C、1 D、 1
3)已知椭圆
125
2
2
2
y
a
x
)5( a 的两个焦点为 1F 、 2F ,且 8|| 21 FF ,弦 AB 过点 ,则
△ 2ABF 的周长为( )
(A)10 (B)20 (C)2 41 (D) 414
4)椭圆
136100
22
yx
上的点 P 到它的左准线的距离是 10,那么点 P 到它的右焦点的距离是
( )
(A)15 (B)12 (C)10 (D)8
5)椭圆
1925
22
yx
的焦点 、 ,P 为椭圆上的一点,已知 21 PFPF ,则△ 21PFF 的
面积为( )
(A)9 (B)12 (C)10 (D)8
6)椭圆
1416
22
yx
上的点到直线 022 yx 的最大距离是( )
(A)3(B) 11 (C) 22 (D) 10
7)以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为 2 的双曲线方程是( )
(A) 222 yx (B) 222 xy
(C) 422 yx 或 422 xy (D) 222 yx 或 222 xy
8)双曲线
1916
22
yx
右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2,则 P 点到左准线的距离为( )
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12
9)过双曲线 822 yx 的右焦点 F2 有一条弦 PQ,|PQ|=7,F1 是左焦点,那么△F1PQ 的周
长为( )
(A)28 (B) 2814 (C) 2814 (D) 28
10)双曲线虚轴上的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2, 12021MFF ,则双曲线的离心
率为( )
(A) 3 (B) 2
6
(C) 3
6
(D) 3
3
11)过抛物线
2y ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长
分别为 p、q,则
11
pq
等于( )
(A)2a (B)
1
2a (C)4a (D)
4
a
12) 如果椭圆
1936
22
yx
的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( )
(A) 02 yx (B) 042 yx (C) 01232 yx (D) 082 yx
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
13)与椭圆
22
143
xy
具有相同的离心率且过点(2,- 3 )的椭圆的标准方程是
14)离心率 3
5e
,一条准线为 3x 的椭圆的标准方程是 。
15)过抛物线
2 2y px (p>0)的焦点 F 作一直线 l 与抛物线交于 P、Q 两点,作 PP1、QQ1
垂直于抛物线的准线,垂足分别是 P1、Q1,已知线段 PF、QF 的长度分别是 a、b,那么
|P1Q1|= 。
16)若直线 l 过抛物线 (a>0)的焦点,并且与 y 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段长为
4,则 a= 。17) 已知椭圆 C 的焦点 F1(- 22 ,0)和 F2( ,0),长轴长 6,设
直线 2 xy 交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。
18) 已知双曲线与椭圆
1259
22
yx
共焦点,它们的离心率之和为 5
14
,求双曲线方程.
19) 抛物线 xy 22 上的一点 P(x , y)到点 A(a,0)(a∈R)的距离的最小值记为 )(af ,求
的表达式.
20)求两条渐近线为 02 yx 且截直线 03 yx 所得弦长为 3
38
的双曲线方程.
21)已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A、B 两点,(1)若以 AB 线段为直径的圆过
坐标原点,求实数 a 的值。(2)是否存在这样的实数 a,使 A、B 两点关于直线
1
2yx
对
称?说明理由.
参考答案
第 2 章 圆锥曲线与方程
§2.1-2 椭圆
经典例题:[解析]:设 A(x1,y1),B(x2,y2),
,5
4e
由焦半径公式有 a-ex1+a-ex2=
a5
8
,
∴x1+x2=
a2
1
,
即 AB 中点横坐标为
a4
1
,又左准线方程为
ax 4
5
,∴ 2
3
4
5
4
1 aa
,即 a=1,∴椭圆方程
为 x2+ 9
25
y2=1.
当堂练习:
1.D; 2.D; 3.D; 4.A; 5.A; 6.D; 7.B; 8.D; 9.C; 10.D; 11.
12736
22
xy
; 12.
11015
22
yx
; 13.
]13,13[ ;14. 5
4
;
15. [解析]:由 222
3
2
54
cba
a
ce
b
8
12
c
a
,∴椭圆的方程为:
180144
22
yx
或
180144
22
xy
.
16.[解析]:( 1) PBPAPBPA 0 ∴OAPB 的正方形
由
84
32
148
8
2
02
0
2
0
2
0
2
0
xyx
yx
220 x ∴P 点坐标为( 0,22 )
(2)设 A(x1,y1), B(x2,y2)
则 PA、PB 的方程分别为 4,4 2211 yyxxyyxx ,而 PA、PB 交于 P(x0,y0)
即 x1x0+y1y0=4,x2x0+y2y0=4,∴AB 的直线方程为:x0x+y0y=4
(3)由
)0,4(4
0
00 xMyyxx 得
、
)4,0(
0yN
||
18|4||4|2
1||||2
1
0000 yxyxONOMS MON
22)48(22|222
|24||
2
0
2
000
00 yxyxyx 22
22
8
||
8
00
yxS MON
当且仅当
22,|2||
22
| min
00 MONSyx 时
.
17. [解析]:设 ),(),,( 2211 yxPyxP ,由 OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
① 01)(2,1,1 21212211 xxxxxyxy 代入上式得: 又将 代入xy 1
12
2
2
2
b
y
a
x
0)1(2)( 222222 baxaxba ,
,2,0 22
2
21 ba
axx
22
22
21
)1(
ba
baxx
代入①化简得
211
22
ba .
(2)
,3
2
2
1
2
113
11 2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a
b
a
ce
又由(1)知 12 2
2
2
a
ab
2
6
2
5
2
3
4
5
3
2
12
1
2
1 2
2
aa
a ,∴长轴 2a ∈ [ 6,5 ].
18.[解析]:设动点 M(x,y),动直线 L:y=x+m,并设 P(x1,y1),Q(x2,y2)是方程组
042
,
22 yx
mxy
的解,消去 y,得 3x2+4mx+2m2-4=0,其中 Δ=16m2-12(2m2-4)>0,∴- 6 |PA|, ,5680,5680 yx
10680),5680,5680( POP 故即 ,答:巨响发生在接报中心的西偏北 45°距中心 m10680 处.
§2.4 抛物线
经典例题:【解】(1) 解方程组
48
1
2
1
2
xy
xy
得 2
4
1
1
y
x
或 4
8
2
2
y
x
即 A(-4,-2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1).由 kAB== 2
1
,直线 AB 的垂直平分线方程
y-1= (x-2). 令 y=-5, 得 x=5, ∴Q(5,-5).
(2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0, 设 P(x, 8
1
x2-4).∵点 P 到直线 OQ 的距离
d= 2
48
1 2 xx
=
328
28
1 2 xx
, 25OQ ,∴SΔOPQ= dOQ =
32816
5 2 xx
.[来源:学,科,网 Z,X,X,K]
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴-4≤x<4 3 -4或4 -
4时, 当且仅当 x=a-1 时, =|PA|min= 21a .
所以 =
| |, 1
2 1, 1
aa
aa
.
20. 解:设双曲线方程为 x2-4y2= .
联立方程组得:
22x -4y =
30xy
,消去 y 得,3x2-24x+(36+ )=0
设直线被双曲线截得的弦为 AB,且 A( ),B( ),那么:
12
12
2
8
36
3
24 12(36 ) 0
xx
xx
那么:|AB|=
2 2 2
1 2 1 2
36 8(12 ) 8 3(1 )[( ) 4 ] (1 1)(8 4 )3 3 3k x x x x
解得: =4,所以,所求双曲线方程是:
2
2 14
x y
21. 解:(1)联立方程
223x -y =1
1y ax
,消去 y 得:(3-a2)x2-2ax-2=0.
设 A( 11,xy),B( 22,xy),那么:
12 2
12 2
22
2
3
2
3
(2 ) 8(3 ) 0
axx a
xx a
aa
由于以 AB 线段为直径的圆经过原点,那么:OA OB ,即 1 2 1 2 0x x y y。
所以: 1 2 1 2( 1)( 1) 0x x ax ax ,得到:
22
22
22( 1) 1 0, 633
aa a aaa
,解得 a= 1 [来
源:Zxxk.Com]
(2)假定存在这样的 a,使 A( ),B( )关于直线
1
2yx
对称。
那么:
22
11
22
22
3x -y =1
3x -y =1
,两式相减得:
2 2 2 2
1 2 1 23(x -x )=y -y ,从而
1 2 1 2
1 2 1 2
y -y 3(x +x )= .......(*)x -x y +y
因为 A( ),B( )关于直线 对称,所以
1 2 1 2
12
12
y +y 1 x +x=2 2 2
y -y 2x -x
代入(*)式得到:-2=6,矛盾。
也就是说:不存在这样的 a,使 A( ),B( )关于直线 对称。
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