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- 2021-06-23 发布
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第7讲 函数的奇偶性与周期性
1.(2017·北京卷)已知函数f(x)=3x-()x,则f(x)(B)
A.是偶函数,且在R上是增函数
B.是奇函数,且在R上是增函数
C.是偶函数,且在R上是减函数
D.是奇函数,且在R上是减函数
因为函数f(x)的定义域为R,
f(-x)=3-x-()-x=()x-3x=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
因为函数y=()x在R上是减函数,
所以函数y=-()x在R上是增函数.
又因为y=3x在R上是增函数,
所以函数f(x)=3x-()x在R上是增函数.
2.(2014·新课标卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(C)
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
所以f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),
所以f(x)g(x)为奇函数.
|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),
所以|f(x)|g(x)为偶函数.
f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,
所以f(x)|g(x)|为奇函数.
|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,
所以|f(x)g(x)|为偶函数.
3.(2018·华大新高考联盟教学质量测评)设f(x)是周期为4的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x(1+x),则f(-)=(A)
A.- B.-
C. D.
f(-)=f(-+4)=f(-)=-f()=-(1+)=-.
4.(2016·安徽皖北联考)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+1)=-f(x),且f(x)在区间[0,2]上是递增的,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系为(A)
A.f(0)0,则实数m的取值范围为 [-,) .
由f(m-1)+f(2m-1)>0
⇒f(m-1)>-f(2m-1),
因为f(x)为奇函数,所以-f(x)=f(-x),
所以f(m-1)>f(1-2m),
又f(x)在[-10,10]上是减函数,
所以解得-≤m<.
7.已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数m,n的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
(1)设x<0,则-x>0,
f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
又因为f(x)为奇函数,所以f(0)=n=0,
f(-x)=-f(x),
于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
结合f(x)的图象可知有所以1时,f(x+)=f(x-),则f(6)=(D)
A.-2 B.-1
C.0 D.2
由题意知,当x>时,f(x+)=f(x-),
则当x>0时,f(x+1)=f(x).
又当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),
所以f(6)=f(1)=-f(-1).
又当x<0时,f(x)=x3-1,
所以f(-1)=-2,所以f(6)=2.故选D.
9.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= 2 .
f(x)=1+,
设g(x)=f(x)-1=,则g(x)是奇函数,
因为f(x)的最大值为M,最小值为m,
所以g(x)的最大值为M-1,最小值为m-1.
所以M-1+m-1=0,所以M+m=2.
10.已知定义域为R的函数f(x)=的图象关于原点对称.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(2t2-2t)+f(t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
(1)因为f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)是奇函数,所以f(0)=0,
即=0,解得b=1,所以f(x)=.
又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.
故a=2,b=1.
(2)由(1)知
f(x)===-+,
易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
又f(x)是奇函数,所以不等式f(2t2-2t)+f(t2-k)<0等价于f(2t2-2t)<-f(t2-k)=f(k-t2),
因为f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,
所以2t2-2t>k-t2.
即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,
从而判别式Δ=4+12k<0,解得k<-.
所以k的取值范围为(-∞,-).
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