2015年数学理高考课件8-8 曲线与方程 35页

[ 最新考纲展示 ] 　 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 第八节　曲线与方程 曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C ( 看作满足某种条件的点的集合或轨迹 ) 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系： (1) 曲线上点的坐标都是 ； (2) 以这个方程的解为坐标的点都 ． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 这个方程的解 在曲线上 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．如果曲线 C 的方程是 f ( x ， y ) ＝ 0 ，那么点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 在曲线 C 上的充要条件是 f ( x 0 ， y 0 ) ＝ 0. 2 ． “ 曲线 C 是方程 f ( x ， y ) ＝ 0 的曲线 ” 是 “ 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x ， y ) ＝ 0 的解 ” 的充分不必要条件． 1 ．方程 x 2 ＋ xy ＝ x 表示的曲线是 ( 　　 ) A ．一个点　　　　　　 B ．一条直线 C ．两条直线 D ．一个点和一条直线 解析： ∵ x 2 ＋ xy ＝ x 可化为 x ( x ＋ y － 1) ＝ 0 ， ∴ x ＝ 0 或 x ＋ y － 1 ＝ 0. 故方程 x 2 ＋ xy ＝ x 表示两条直线． 答案： C 2 ． f ( x 0 ， y 0 ) ＝ 0 是点 P ( x 0 ， y 0 ) 在曲线 f ( x ， y ) ＝ 0 上的 ( 　　 ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析： 由曲线与方程的关系知，选 C. 答案： C 求曲线方程的步骤 1 ．建系 —— 建立适当的坐标系． 2 ．设点 —— 设轨迹上的任一点 P ( x ， y ) ． 3 ．列式 —— 列出动点 P 所满足的关系式． 4 ．代换 —— 依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x ， y 的方程式，并化简． 5 ．证明 —— 证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程． 曲线的交点 答案： A 4 ．已知 △ ABC 的三边 AB ， BC ， CA 的长度成等差数列，且 | AB |>| CA | ，点 B ， C 的坐标分别为 ( － 1,0) ， (1,0) ，则动点 A 的轨迹方程为 ________ ． 5 ．动点 P 到点 F (2,0) 的距离与它到直线 x ＋ 2 ＝ 0 的距离相等，则动点 P 的轨迹方程为 ________________ ． 解析： 由抛物线定义知点 P 的轨迹是以 F (2,0) 为焦点的抛物线，设抛物线的方程为 y 2 ＝ 2 px ，从而可知 p ＝ 4 ，所以动点 P 的轨迹方程为 y 2 ＝ 8 x . 答案： y 2 ＝ 8 x 直接法求轨迹方程 【 例 1】 　如图，动点 M 与两定点 A ( － 1 ， 0) ， B (2,0) 构成 △ MAB ，且 ∠ MBA ＝ 2 ∠ MAB ，求动点 M 的轨迹 C 的方程． 反思总结 直接法求轨迹方程的步骤： (1) 恰当地建立直角坐标系； (2) 设动点 P ( x ， y ) 为轨迹上任意一点； (3) 用动点坐标表示问题中的几何关系，列出等式； (4) 化简并整理得轨迹方程． 变式训练 1 ．已知直角坐标平面上的点 Q (2,0) 和圆 C ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 ，动点 M 到圆 C 的切线长与 | MQ | 的比等于常数 λ ( λ >0) ，求动点 M 的轨迹方程． 定义法求轨迹方程 反思总结 定义法适合所求轨迹的特点及关键 (1) 特点：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程． (2) 关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键． 提醒：利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制． 相关点法求轨迹方程 反思总结 若与动点 M ( x ， y ) 相关的点 P ( x 0 ， y 0 ) 在已知曲线 C 上运动，即动点是由已知曲线上某个相关点的运动而带动的，则可用 x ， y 表示出 x 0 ， y 0 ，代入曲线 C 的方程化简，就得到点 M ( x ， y ) 的轨迹方程． —— 分类讨论思想在曲线与方程中的应用 求曲线的轨迹方程是高考的常考题型，考查轨迹方程的求法，以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质，着重考查分析问题解决问题的能力，数形结合思想，分类讨论思想等． 【 典例 】 　 (2012 年高考湖北卷 ) 设 A 是单位圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上的任意一点， l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线， D 是直线 l 与 x 轴的交点，点 M 在直线 l 上，且满足 | DM | ＝ m | DA |( m >0 ，且 m ≠ 1) ．当点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C . 求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标． [ 解析 ] 　 如图，设 M ( x ， y ) ， A ( x 0 ， y 0 ) ，则由 | DM | ＝ m | DA |( m >0 ，且 m ≠ 1) ， 由题悟道 由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，分类标准的确立有两点：一是二次项系数分别为 0 时的参数值，二是二次项系数相等时的参数值，然后确定分类标准进行讨论，讨论时注意表述准确． 本小节结束 请按 ESC 键返回