2015年数学理高考课件2-8 函数与方程 37页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．　 2. 根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 第八节　函数与方程 函数的零点 1 ．定义 对于函数 y ＝ f ( x )( x ∈ D ) ，把使 成立的实数 x 叫做函数 y ＝ f ( x )( x ∈ D ) 的零点． 2 ．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与 x 轴交点间的关系 方程 f ( x ) ＝ 0 有实数根 ⇔ 函数 y ＝ f ( x ) 的图象与 有交点 ⇔ 函数 y ＝ f ( x ) 有 ． f ( x ) ＝ 0 x 轴 零点 3 ．函数零点的判定 ( 零点存在性定理 ) 如果函数 y ＝ f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数 y ＝ f ( x ) 在区间 内有零点，即存在 c ∈ ( a ， b ) ，使得 ，这个 c 也就是方程 f ( x ) ＝ 0 的根． f ( a ) · f ( b )<0 ( a ， b ) f ( c ) ＝ 0 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1. 若函数 y ＝ f ( x ) 在闭区间 [ a ， b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a ) · f ( b )<0 ，则函数 y ＝ f ( x ) 一定有零点． 2 ．由函数 y ＝ f ( x ) 在闭区间 [ a ， b ] 上有零点不一定能推出 f ( a ) · f ( b )<0 ，如图． 所以 f ( a ) · f ( b )<0 是 y ＝ f ( x ) 在闭区间 [ a ， b ] 上有零点的充分不必要条件． 事实上，只有当函数图象通过零点 ( 不是偶次零点 ) 时，函数值变号，即相邻两个零点之间的函数值同号． 3 ．若函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上单调，则 f ( a ) · f ( b )<0 ⇒ 函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上只有一个零点． 1 ．函数 f ( x ) ＝ x cos x 2 在区间 [0,4] 上的零点个数为 ( 　　 ) A ． 4 　　　　　 B ． 5 　　　　　 C ． 6 　　　　　 D ． 7 答案： C 2 ．函数 f ( x ) ＝ e x ＋ x － 2 的零点所在的一个区间是 ( 　　 ) A ． ( － 2 ，－ 1) B ． ( － 1,0) C ． (0,1) D ． (1,2) 解析： 因为函数 f ( x ) 的图象是连续不断的一条曲线，又 f ( － 2) ＝ e － 2 － 4<0 ， f ( － 1) ＝ e － 1 － 3<0 ， f (0) ＝－ 1<0 ， f (1) ＝ e － 1>0 ， f (2) ＝ e 2 >0 ，所以 f (0) · f (1)<0 ，故函数的零点所在的一个区间是 (0,1) ． 答案： C 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a >0) 的图象与零点的关系 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 二次函数在给定区间上的零点问题的处理方略 (1) 结合图象分析，对称轴与区间关系． (2) 考虑判别式 Δ 的取值． (3) 区间端点值的符号． 3 ．已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ x ＋ a 在区间 (0,1) 上有零点，则实数 a 的取值范围是 ________ ． 解析： ∵ 函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ x ＋ a 在 (0,1) 上有零点， 又 ∵ f ( x ) ＝ x 2 ＋ x ＋ a 在区间 (0,1) 上单调递增， ∴ f (0) · f (1)<0. 即 a ( a ＋ 2)<0 ，解得－ 2< a <0. 答案： ( － 2,0) 二分法 二分法的定义 对于在区间 [ a ， b ] 上连续不断且 的函数 y ＝ f ( x ) ，通过不断地把函数 f ( x ) 的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． f ( a ) · f ( b )<0 一分为二 零点 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 应用二分法求函数零点近似值 ( 方程的近似解 ) 时，应注意在第一步中要使： (1) 区间 [ a ， b ] 的长度尽量小； (2) f ( a ) ， f ( b ) 的值比较容易计算，且 f ( a ) · f ( b )<0. 4 ． (2014 年怀化模拟 ) 在用二分法求方程 x 3 － 2 x － 1 ＝ 0 的一个近似解时，已知一个根在区间 (1,2) 内，则下一步可断定该根所在的区间为 ________ ． 判断函数零点 ( 方程根 ) 所在的区间 [ 答案 ] 　 C 反思总结 判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1) 解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上； (2) 利用零点存在性定理进行判断； (3) 画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 答案： C 判断函数零点的个数 [ 答案 ] 　 B 反思总结 判断函数零点个数的方法 (1) 解方程法：令 f ( x ) ＝ 0 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2) 零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间 [ a ， b ] 上是连续不断的曲线，且 f ( a ) · f ( b )<0 ，还必须结合函数的图象与性质 ( 如单调性、奇偶性、周期性、对称性 ) 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质； (3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 变式训练 2 ．若函数 f ( x ) ＝ |2 x － 1| ，则函数 g ( x ) ＝ f ( f ( x )) ＋ ln x 在 (0,1) 上不同的零点个数为 ________ ． 答案： 3 由函数零点存在情况求参数问题 [ 答案 ] 　 B 反思总结 已知函数有零点 ( 方程有根 ) 求参数值常用的方法和思路 (1) 直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3) 数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解． 解析： 函数 f ( x ) 的图象如图所示，函数 f ( x ) ＝－ x 2 － 2 x ( x ≤ 0) 的最大值是 1 ，故只要 0< m <1 ，即可使方程 f ( x ) ＝ m 有三个相异的实数根，即函数 g ( x ) ＝ f ( x ) － m 有 3 个零点． 答案： (0,1) —— 二次函数的零点问题 二次函数的零点问题，也就是二次方程实数根的分布问题，是高考命题的热点内容之一．主要考查二次方程、二次函数与二次不等式 “ 三个 ” 二次之间的关系，主要命题角度有： (1) 二次函数在给定区间上零点问题． (2) 二次方程实数根的分布问题． 二次函数在给定区间上零点问题 【 典例 1】 　是否存在这样的实数 a ，使函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ (3 a － 2) x ＋ a － 1 在区间 [ － 1,3] 上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由． 由题悟道 解决二次函数的零点问题： (1) 可利用一元二次方程的求根公式； (2) 可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系； (3) 利用二次函数的图象列不等式组． 二次方程实数根的分布问题 【 典例 2】 　关于 x 的一元二次方程 x 2 － 2 ax ＋ a ＋ 2 ＝ 0 ，当 a 为何实数时： (1) 方程有两个不同正根； (2) 方程在 (1,3) 内有两个不同实数根； (3) 方程有一根大于 2 ，另一根小于 2. 由题悟道 二次方程实数根的分布问题主要是构造二次函数之后，数形结合从判别式 Δ ，对称轴与区间关系及区间端点值符号三个方面得出条件，解决时要注意逐一方面进行验证． 答案： C 本小节结束 请按 ESC 键返回