2015年数学理高考课件7-3 空间点、直线、平面之间的位置关系 37页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 理解空间直线、平面位置关系的定义．　 2. 了解可以作为推理依据的公理和定理．　 3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系 平面的性质 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．公理和推论中 “ 有且只有 ” 一个平面的含义是：平面存在，而且唯一， “ 有且只有 ” 有时说成 “ 确定 ” ． 2 ．使用公理或推论确定平面时，哪些元素 ( 点或直线 ) 确定了平面，该元素本身就在确定的平面内． 1 ．以下四个命题中 ① 不共面的四点中，其中任意三点不共线； ② 若点 A 、 B 、 C 、 D 共面，点 A 、 B 、 C 、 E 共面，则点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 共面； ③ 若直线 a 、 b 共面，直线 a 、 c 共面，则直线 b 、 c 共面； ④ 依次首尾相接的四条线段必共面． 正确命题的个数是 ( 　　 ) A ． 0 　　　　　　　　 B ． 1 C ． 2 D ． 3 解析： ① 显然正确． ② 中若 A 、 B 、 C 三点共线，则 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五点不一定共面． ③ 构造长方体如图显然 b 、 c 异面，故不正确． ④ 中空间四边形中四条线段不共面． 答案： B 空间中直线间的位置关系 1 ．位置关系的分类 2 ．公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相 ． 3 ．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ． 平行 相等或互补 4 ．异面直线所成的角 ( 或夹角 ) (1) 定义：设 a ， b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a ′ ∥ a ， b ′∥ b ，把 a ′ 与 b ′ 所成的 叫做异面直线 a 与 b 所成的角． (2) 范围： . 锐角 ( 或直角 ) ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ．异面直线不具有传递性，即若直线 a 与 b 异面， b 与 c 异面，则 a 与 c 不一定是异面直线． 2 ．异面直线所成角的范围是 (0,90°] ，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直． 3 ．公理 4 也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用． 2 ．对两条不相交的空间直线 a 与 b ，必存在平面 α ，使得 ( 　　 ) A ． a ⊂ α ， b ⊂ α B ． a ⊂ α ， b ∥ α C ． a ⊥ α ， b ⊥ α D ． a ⊂ α ， b ⊥ α 解析： 不相交的直线 a ， b 的位置有两种：平行或异面．当 a ， b 异面时，不存在平面 α 满足 A 、 C ；又只有当 a ⊥ b 时， D 才可能成立． 答案： B 直线与平面的位置关系 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 直线在平面外包含直线与平面相交，直线与平面平行，记作 l ⊄ α . 3 ．已知直线 l ∥ 平面 α ， P ∈ α ，那么过点 P 且平行于直线 l 的直线 ( 　　 ) A ．只有一条，不在平面 α 内 B ．有无数条，不一定在平面 α 内 C ．只有一条，且在平面 α 内 D ．有无数条，一定在平面 α 内 解析： 由直线 l 与点 P 可确定一个平面 β ，则平面 α ， β 有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为 m ，因为 l ∥ α ，所以 l ∥ m ，故过点 P 且平行于直线 l 的直线只有一条，且在平面 α 内，选 C. 答案： C 两平面之间的位置关系 　两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： ____________________[ 通关方略 ]____________________ 空间两平面的位置关系一般不考虑重合这一情形，即空间两平面不平行就一定相交． 4 ．已知 l ， m 是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，下列命题： ① 若 l ⊂ α ， m ⊂ α ， l ∥ β ， m ∥ β ，则 α ∥ β ； ② 若 l ⊂ α ， l ∥ β ， α ∩ β ＝ m ，则 l ∥ m ； ③ 若 α ∥ β ， l ∥ α ，则 l ∥ β ； ④ 若 l ⊥ α ， m ∥ l ， α ∥ β ，则 m ⊥ β . 其中真命题 ________( 写出所有真命题的序号 ) ． 解析： 当 l ∥ m 时，平面 α 与平面 β 不一定平行， ① 错误；由直线与平面平行的性质定理，知 ② 正确；若 α ∥ β ， l ∥ α ， 则 l ⊂ β 或 l ∥ β ， ③ 错误； ∵ l ⊥ α ， l ∥ m ， ∴ m ⊥ α ，又 α ∥ β ， ∴ m ⊥ β ， ④ 正确，故填 ②④ . 答案： ②④ 平面的基本性质及应用 【 例 1】 　如图，已知： E ， F ， G ， H 分别是正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 的棱 AB ， BC ， CC 1 ， C 1 D 1 的中点，证明： EF ， HG ， DC 三线共点． [ 证明 ] 　 连接 C 1 B ， HE ， GF ，如图所示．由题意知 HC 1 綊 EB ， ∴ 四边形 HC 1 BE 是平行四边形， ∴ HE ∥ C 1 B . 又 C 1 G ＝ GC ， CF ＝ BF ， ∴ GF ∥ HE ，且 GF ≠ HE ， ∴ HG 与 EF 相交，设交点为 K ，则 K ∈ HG . 又 HG ⊂ 平面 D 1 C 1 CD ， ∴ K ∈ 平面 D 1 C 1 CD . ∵ K ∈ EF ， EF ⊂ 平面 ABCD ， ∴ K ∈ 平面 ABCD . ∵ 平面 D 1 C 1 CD ∩ 平面 ABCD ＝ DC ， ∴ K ∈ DC ， ∴ EF ， HG ， DC 三线共点． 反思总结 1 ． 证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上． 2 ．证明点或线共面问题，一般有以下两种途径： ① 首先由所给条件中的部分线 ( 或点 ) 确定一个平面，然后再证其余线 ( 或点 ) 均在这个平面内； ② 将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合． 变式训练 1 ． (2013 年高考安徽卷 ) 在下列命题中，不是公理的是 ( 　　 ) A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析： B 为公理 2 ， C 为公理 1 ， D 为公理 3 ，故选 A. 答案： A 空间两直线的位置关系 【 例 2】 　 (2014 年东北三校模拟 ) 已知 a 、 b 、 c 、 d 是空间四条直线，如果 a ⊥ c ， b ⊥ c ， a ⊥ d ， b ⊥ d ，那么 ( 　　 ) A ． a ∥ b 且 c ∥ d B ． a 、 b 、 c 、 d 中任意两条可能都不平行 C ． a ∥ b 或 c ∥ d D ． a 、 b 、 c 、 d 中至多有一对直线互相平行 [ 解析 ] 　 若 a 与 b 不平行，则存在平面 β ，使得 a ⊂ β 且 b ⊂ β ，由 a ⊥ c ， b ⊥ c ，知 c ⊥ β ，同理 d ⊥ β ，所以 c ∥ d . 若 a ∥ b ，则 c 与 d 可能平行，也可能不平行．结合各选项知选 C. [ 答案 ] 　 C 反思总结 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形 ( 梯形 ) 中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决． 变式训练 2 ．已知空间中有三条线段 AB 、 BC 和 CD ，且 ∠ ABC ＝ ∠ BCD ，那么直线 AB 与 CD 的位置关系是 ( 　　 ) A ． AB ∥ CD B ． AB 与 CD 异面 C ． AB 与 CD 相交 D ． AB ∥ CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 解析： 若三条线段共面，如果 AB 、 BC 、 CD 构成等腰三角形，则直线 AB 与 CD 相交，否则直线 AB 与 CD 平行；若不共面，则直线 AB 与 CD 是异面直线，故选 D. 答案： D 异面直线所成的角 【 例 3】 　 (2014 年吉林模拟 ) 如图所示，在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AA 1 ⊥ 底面 ABC ， AB ＝ BC ＝ AA 1 ， ∠ ABC ＝ 90° ，点 E 、 F 分别是棱 AB 、 BB 1 的中点，则直线 EF 和 BC 1 所成的角是 ( 　　 ) A ． 45° 　　　　　 B ． 60° C ． 90° D ． 120° [ 答案 ] 　 B 反思总结 求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下： (1) 一作：据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2) 二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； (3) 三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． 答案： D —— 化归思想在探索与异面直线夹角为定值的直线条数问题中的应用 与异面直线夹角为定值的直线条数问题可借助于等角定理，利用化归思想，通过平行移动化为与两条相交直线夹角为定值的直线条数问题，同时要注意一个结论：从角顶点引一条射线与角两边夹角相等，则这条射线在角所在平面上的射影为角的平分线． 【 典例 】 　异面直线 a ， b 夹角为 50° ，过空间一点 P 的直线 l 与 a ， b 夹角都是 30° 的直线有多少条？ [ 解析 ] 　 过点 P 作直线 a ′ ∥ a ， b ′ ∥ b ，则 a ′ ， b ′ 的夹角为 50° ，由等角定理，原题可转化为：过点 P 与 a ′ ， b ′ 夹角都是 30° 的直线 l 有多少条？ ( 如图 ) 设 l 1 ， l 3 是过点 P 且平分 a ′ ， b ′ 夹角的两条射线， ∴ l 1 ， l 3 与 a ′ ， b ′ 的夹角都为 25° ， 设 l 2 是过点 P 且垂直于 a ′ ， b ′ 所在平面的直线， ∴ l 2 与 a ′ ， b ′ 的夹角都是 90° ， 设 l 1 ， l 2 确定平面 γ ( 角的平分面 ) ，易证当过点 P 的直线 l 在 γ 内时， l 与 a ′ ， b ′ 的夹角都相等， ∴ 当过点 P 的直线 l 在 γ 内由 l 1 → l 2 → l 3 时， l 与 a ′ ， b ′ 的夹角由 25° → 90° → 25° ， ∵ 30° ∈ [25° ， 90°] ， ∴ 与 a ′ ， b ′ 夹角都是 30° 的直线 l 有 2 条；再考虑所夹 50° 角的补角 130° ， 设 m 1 ， m 2 是过点 P 且平分 a ′ ， b ′ 夹角的补角的两条射线， m 1 ， l 2 确定平面 γ ′ ， ∴ 当过点 P 的直线 l 在 γ ′ 内由 m 1 → l 2 → m 2 时， l 与 a ′ ， b ′ 的夹角由 65° → 90° → 65° ， ∵ 30° ∉ [65° ， 90°] ， ∴ 这样的直线 l 不存在． 综上可知，过点 P 与异面直线 a ， b 夹角都是 30° 的直线 l 有 2 条． 已知异面直线 a 、 b 所成的角为 60° ，过空间一点 P ，与 a 、 b 所成的角均为 α 的直线有且只有两条，则 α 的取值范围是 ________ ． 答案： (30° ， 60°) 本小节结束 请按 ESC 键返回