2015年数学理高考课件10-1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 27页

第十章　计数原理与概率、随机变量及其分布 [ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．　 2. 会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 第一节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N ＝ 种不同的方法． m ＋ n 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ 种不同的方法． ____________________[ 通关方略 ]____________________ 　 分类加法计数原理与分步乘法计数原理有什么区别？ 分类加法计数原理针对的是“完成事件的方法种类不同”问题，其各种方法是相互独立的，用其中任何一种方法都能完成这件事情；分步乘法计数原理针对的是“完成事件需分几个步骤”问题，其各个步骤中的方法是相互联系的，只有各个步骤都完成才能完成这件事情． m × n 1 ．从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持主题班会，则不同的选法种数为 ( 　　 ) A ． 6 　　　　　　　　　　 B ． 5 C ． 3 D ． 2 解析： 不同的选法有 3 ＋ 2 ＝ 5 种． 答案： B 2 ． (2014 年济南调研 ) 已知两条异面直线 a ， b 上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为 ( 　　 ) A ． 40 B ． 16 C ． 13 D ． 10 解析： 分两类情况讨论：第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面． 第 2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面． 根据分类加法计数原理知，共可以确定 8 ＋ 5 ＝ 13 个不同的平面． 答案： C 3. (2014 年临沂模拟 ) 如图所示的阴影部分由方格纸上 3 个小方格组成，我们称这样的图案为 L 型 ( 每次旋转 90° 仍为 L 型图案 ) ，那么在由 4×5 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的 L 型图案的个数是 ( 　　 ) A ． 16 B ． 32 C ． 48 D ． 64 解析： 每四个小方格 (2 × 2 型 ) 中有 “ L ” 型图案 4 个，共有 2 × 2 型小方格 12 个，所以共有 “ L ” 型图案 4 × 12 ＝ 48( 个 ) ． 答案： C 4 ．有不同颜色的四件衬衣与不同颜色的三条领带，如果一条领带与一件衬衣配成一套．则不同的配法种数是 ________ ． 解析： 解法一 　由分类加法原理可知共有 3 ＋ 3 ＋ 3 ＋ 3 ＝ 12( 种 ) 配法． 解法二　 由分类加法原理可知共有 4 ＋ 4 ＋ 4 ＝ 12( 种 ) 配法． 答案： 12 5 ． (2013 年高考山东卷改编 ) 用 0,1 ， … ， 9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ________ ． ( 用数字作答 ) ． 解析： 由分步乘法计数原理知：用 0,1 ， … ， 9 十个数字组成三位数 ( 可有重复数字 ) 的个数为 9 × 10 × 10 ＝ 900 ，组成没有重复数字的三位数的个数为 9 × 9 × 8 ＝ 648 ，则组成有重复数字的三位数的个数为 900 － 648 ＝ 252. 答案： 252 分类加法计数原理 【 例 1】 　有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有 ( 　　 ) A ． 8 种　　　　　　　　 B ． 9 种 C ． 10 种 D ． 11 种 [ 解析 ] 　解法一　 设四位监考教师分别为 A 、 B 、 C 、 D ，所教班分别为 a 、 b 、 c 、 d ，假设 A 监考 b ，则余下三人监考剩下的三个班，共有 3 种不同方法，同理 A 监考 c 、 d 时，也分别有 3 种不同方法，由分类加法计数原理共有 3 ＋ 3 ＋ 3 ＝ 9( 种 ) ． 解法二　 班级按 a 、 b 、 c 、 d 的顺序依次排列，为避免重复或遗漏现象，教师的监考顺序可用 “ 树形图 ” 表示如下： ∴ 共有 9 种不同的监考方法． [ 答案 ] 　 B 反思总结 利用分类加法计数原理解题时注意 (1) 根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏； (2) 分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复． 解析： 因为椭圆的焦点在 y 轴上， ∴ n > m . ∴ 当 n ＝ 2 时， m ＝ 1 ，有 1 个； 当 n ＝ 3 时， m ＝ 1,2 ，有 2 个； 当 n ＝ 4 时， m ＝ 1,2,3 ，有 3 个； 当 m ＝ 5 时， m ＝ 1,2,3,4 ，有 4 个； 当 m ＝ 6 时， m ＝ 1,2,3,4,5 ，有 5 个； 当 n ＝ 7 时， m ＝ 1,2,3,4,5 ，有 5 个． 所以共有 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 5 ＝ 20 个． 答案： 20 分步乘法计数原理 【 例 2】 　由数字 1,2,3,4 ， (1) 可组成多少个 3 位数； (2) 可组成多少个没有重复数字的 3 位数． [ 解析 ] 　 (1) 百位数共有 4 种排法；十位数共有 4 种排法；个位数共有 4 种排法，根据分步乘法计数原理共可组成 4 3 ＝ 64 个 3 位数． (2) 百位上共有 4 种排法；十位上共有 3 种排法；个位上共有 2 种排法，由分步乘法计数原理共可排成没有重复数字的 3 位数 4 × 3 × 2 ＝ 24( 个 ) ． 　 解析： 排出的三位数分别是 432,431,421,321 ，共 4 个． 反思总结 利用分步乘法计数原理解决问题时应注意 (1) 要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的； (2) 各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事； (3) 对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定． 两个原理的综合应用 【 例 3】 　 (1)(2014 年潍坊模拟 ) 如果一个三位正整数如 “ a 1 a 2 a 3 ” 满足 a 1 < a 2 > a 3 ，则称这样的三位数为凸数 ( 如 120,343,275 等 ) ，那么所有凸数的个数为 ( 　　 ) A ． 240 B ． 204 C ． 729 D ． 920 (2)(2014 年沈阳模拟 ) 一生产过程有四道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有 ________ 种． [ 解析 ] 　 (1) 先分类后分步， ∵ a 1 < a 2 > a 3 ∴ 当 a 2 ＝ 2 时， a 1 可取 1 ， a 3 可取 0,1 ，共 1 × 2 ＝ 2 个． 当 a 2 ＝ 3 时， a 1 可取 1,2 ， a 3 可取 0,1,2 ，共 2 × 3 ＝ 6 个． 依次有 a 2 ＝ 4 时，有 3 × 4 ＝ 12 个； a 2 ＝ 5 时，有 4 × 5 ＝ 20 个； a 2 ＝ 6 时，有 5 × 6 ＝ 30 个； a 2 ＝ 7 时，有 6 × 7 ＝ 42 个； a 2 ＝ 8 时，有 7 × 8 ＝ 56 个； a 2 ＝ 9 时，有 8 × 9 ＝ 72 个； 所以这样的凸数共有 2 ＋ 6 ＋ 12 ＋ 20 ＋ 30 ＋ 42 ＋ 56 ＋ 72 ＝ 240( 个 ) ． (2) 按甲先分类，再分步 ① 若甲在第一道工序，则第四道工序只能是丙，其余两道工序的按排方法有 4 × 3 ＝ 12 种， ② 若乙在第一道工序，则第四道工序从甲、丙两人中选一人，有 2 种方法，其余两道工序有 4 × 3 ＝ 12 种方法，所以共有 12 × 2 ＝ 24 种方法． 综上可知，共有的安排方法有 12 ＋ 24 ＝ 36 种． [ 答案 ] 　 (1)A 　 (2)36 反思总结 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步 (1) 分类要做到 “ 不重不漏 ” ，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数； (2) 分步要做到 “ 步骤完整 ” ，只有完成了所有步骤，才完成了任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数； (3) 对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析． 变式训练 2 ．已知集合 M ∈ {1 ，－ 2,3} ， N ∈ { － 4,5,6 ，－ 7} ，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是 ( 　　 ) A ． 18 B ． 10 C ． 16 D ． 14 解析： M 中的元素作点的横坐标， N 中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有 2 × 2 个，在第二象限的点共有 1 × 2 个． N 中的元素作点的横坐标， M 中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有 2 × 2 个，在第二象限的点共有 2 × 2 个．所求不同的点的个数是 2 × 2 ＋ 1 × 2 ＋ 2 × 2 ＋ 2 × 2 ＝ 14( 个 ) ． 答案： D —— 分类讨论思想在计数原理中的应用 纵观历年高考对两个计数原理应用的考查，多以选择题与填空题的形式出现，考查蕴含在实际问题的解决中，多是两原理结合在一起应用，做好问题转化，分好类与步是关键，今年高考仍会坚持此规律，不会有大的变化． 【 典例 】 　 方程 ay ＝ b 2 x 2 ＋ c 中的 a ， b ， c ∈ { － 3 ，－ 2,0,1,2,3} ，且 a ， b ， c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ( 　　 ) A ． 60 条　　　 B ． 62 条　　　 C ． 71 条　　　 D ． 80 条 [ 解析 ] 　 当 a ＝ 1 时，若 c ＝ 0 ，则 b 2 有 4,9 两个取值，共 2 条抛物线； 若 c ≠ 0 ，则 c 有 4 种取值， b 2 有两种，共有 2 × 4 ＝ 8( 条 ) 抛物线； 当 a ＝ 2 时，若 c ＝ 0 ， b 2 取 1,4,9 三种取值，共有 3 条抛物线； 若 c ≠ 0 ， c 取 1 时， b 2 有 2 个取值，共有 2 条抛物线， c 取－ 2 时， b 2 有 2 个取值，共有 2 条抛物线， c 取 3 时， b 2 有 3 个取值，共有 3 条抛物线． c 取－ 3 时， b 2 有 3 个取值，共有 3 条抛物线． ∴ 共有 3 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 3 ＝ 13( 条 ) 抛物线． 同理， a ＝－ 2 ，－ 3,3 时，共有抛物线 3 × 13 ＝ 39( 条 ) ． 由分类加法计数原理知，共有抛物线 39 ＋ 13 ＋ 8 ＋ 2 ＝ 62( 条 ) ． [ 答案 ] 　 B 由题悟道 分类加法计数原理体现了分类讨论思想在计数原理中的应用．解决此类问题的关键是确定分类标准，做到不重复、不遗漏． 1 ． (2013 年高考福建卷 ) 满足 a ， b ∈ { － 1,0,1,2} ，且关于 x 的方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ b ＝ 0 有实数解的有序数对 ( a ， b ) 的个数为 ( 　　 ) A ． 14 B ． 13 C ． 12 D ． 10 解析： 若 a ＝ 0 ，则 b ＝－ 1,0,1,2 ，此时 ( a ， b ) 的取值有 4 个； 若 a ≠ 0 ，则方程 ax 2 ＋ 2 x ＋ b ＝ 0 有实根，需 Δ ＝ 4 － 4 ab ≥ 0 ， ∴ ab ≤ 1 ，此时， ( a ， b ) 的取值为 ( － 1,0) ， ( － 1,1) ， ( － 1 ，－ 1) ， ( － 1,2) ， (1,1) ， (1,0) ， (1 ，－ 1) ， (2 ，－ 1) ， (2,0) 共 9 个． 所以 ( a ， b ) 的个数为 4 ＋ 9 ＝ 13. 答案： B 2. 如图所示，在 A ， B 间有四个焊接点 1,2,3,4 ，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现 A ， B 之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有 ( 　　 ) A ． 9 种 B ． 11 种 C ． 13 种 D ． 15 种 解析： 按照焊接点脱落的个数进行分类：第 1 类，脱落 1 个，有 (1) ， (4) ，共 2 种；第 2 类，脱落 2 个，有 (1,4) ， (2,3) ， (1,2) ， (1,3) ， (4,2) ， (4,3) ，共 6 种；第 3 类，脱落 3 个，有 (1,2,3) ， (1,2,4) ， (2,3,4) ， (1,3,4) ，共 4 种；第 4 类，脱落 4 个，有 (1,2,3,4) ，共 1 种． 根据分类加法计数原理，共有 2 ＋ 6 ＋ 4 ＋ 1 ＝ 13 种焊接点脱落的情况． 答案： C 本小节结束 请按 ESC 键返回