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- 2021-06-24 发布
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• [最新考纲展示]
• 1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两
点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距
离.
第二节 直线的交点坐标与距离公式
两条直线的交点
(1)若方程组有唯一解,则l1与l2 ,此解就是l1、l2交点的坐
标;
(2)若方程组无解,则l1与l2 ,此时l1∥l2;
(3)若方程组有无数组解,则l1与l2重合.
相交
无公共点
____________________[通关方略]____________________
1.过定点P(x0,y0)的直线系:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),
还可以表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可设为x=x0).
2.过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C1=0交点的直
线系方程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中不包括直线A2x+
B2y+C2=0).
答案:B
2.过点(3,1),且过直线y=2x与直线x+y=3交点的直线方程为
________.
答案:x+2y-5=0
距离公式
____________________[通关方略]____________________
1.求点到直线的距离时,若给出的直线不是一般式,则应先化
为一般式;
2.求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系
数对应相同.
答案:D
答案:C
答案:±1.
两直线的交点问题
【例1】 求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交
点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.
反思总结
1.两直线交点的求法
求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方
程组的解为坐标的点即为交点.
2.求过两直线交点的直线方程常有两种解法
(1)先求出两直线交点,将问题转化为过定点的直线,然后再依其
他条件求解;
(2)运用过两直线交点的直线系方程:若两直线l1:A1x+B1y+C1
=0,l2:A2x+B2y+C2=0有交点,则过l1与l2交点的直线系方程为A1x
+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为待定常数,不包括直线l2),设出方
程后再利用其他条件求解.
距离问题
[答案] (1)B (2)见解析
变式训练
1.已知点P(2,-1).
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?
(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;
若不存在,请说明理由.
对称问题
【例3】 已知直线l1:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l1的对称点A′的坐标;
(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l1的对称直线l2的方程;
(3)直线l1关于点A对称的直线l3的方程.
解法三 设P(x,y)是l3上任一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)的
对称点为P′(-2-x,-4-y).
∵P′在直线l1上,
∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0.
整理得2x-3y-9=0.
变式训练
2.(2014年南宁模拟)与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方
程为( )
A.3x+4y+5=0 B.3x+4y-5=0
C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0
解析:直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为3x-4(-y)+5
=0.即3x+4y+5=0.
答案:A
——“距离”的创新题
“距离”类创新题,常见类型有:求有关长度或三角形面积的最
值问题,或知长度、三角形面积情况探究点的个数以及与圆位置有关
的问题,或是与导数的交汇创新.虽然问法新颖,但考查的仍是距离
公式的应用.关键是将所求问题转化为熟悉的问题求解.常用的思想
方法有数形结合、转化与化归及函数与方程思想.
与面积有关的问题
【典例1】 已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,
则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
[答案] A
由题悟道
解决本题的关键是将点C的个数问题转化为关于点C的横坐标方程
解的个数问题,体现了转化与化归、函数与方程的思想方法.
与导数的交汇创新
【典例2】 定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线
C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲
线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=________.
由题悟道
本题利用曲线C到直线l距离的定义,考查点到直线的距离,并巧
妙的与导数知识交汇,解决此类问题
(1)要全面准确地掌握各知识点的基础知识和基本方法,重视知识
间的联系.
(2)要充分理解新定义的具体含义,剥去新定义的外衣,将曲线到
直线的距离转化为点到直线的距离,化陌生为熟悉.
答案:D
2.(2014年泉州模拟)过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为(
)
A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0
答案:A
本小节结束
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