2015年数学理高考课件10-4 随机事件的概率 35页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．　 2. 了解两个互斥事件的概率加法公式． 第四节　随机事件的概率 随机事件及其概率和频率 1 ．事件 (1) 在条件 S 下， 的事件，叫做相对于条件 S 的必然事件． (2) 在条件 S 下， 的事件，叫做相对于条件 S 的不可能事件． (3) 在条件 S 下， 的事件，叫做相对于条件 S 的随机事件． 一定会发生 一定不会发生 可能发生也可能不发生 频率 f n ( A ) ____________________[ 通关方略 ]____________________ 　 频率与概率有什么区别与联系？ 频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小．因为频率不是一个完全确定的数，随着试验次数的不同产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小．但从大量的重复试验中发现，随着试验次数的增加，频率就稳定在某一固定的值上，频率具有某种稳定性． 概率是一个常数，它是频率的科学抽象，当试验次数增加时，所得的频率可近似地当作事件的概率． 答案： D 答案： A 事件的关系与运算 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 　 怎样区分互斥事件与对立事件？ 互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生．因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．例如：掷一枚骰子 “ 出现的点数是 1 ” 与 “ 出现的点数是偶数 ” 是互斥事件，但不是对立事件；而 “ 出现的点数是奇数 ” 与 “ 出现的点数是偶数 ” 是互斥事件，也是对立事件． 3 ． (2014 年长沙调研 ) 甲： A 1 、 A 2 是互斥事件；乙： A 1 、 A 2 是对立事件，那么 ( 　　 ) A ．甲是乙的充分但不必要条件 B ．甲是乙的必要但不充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析： 根据对立事件与互斥事件的关系知，甲是乙的必要但不是充分条件． 答案： B 概率的基本性质 1 ．概率的取值范围： . 2 ．必然事件的概率： P ( E ) ＝ . 3 ．不可能事件的概率： P ( F ) ＝ . 4 ．概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P ( A ∪ B ) ＝ ． 5 ．对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 A ∪ B 为必然事件． P ( A ∪ B ) ＝ 1 ， P ( A ) ＝ ． 0≤ P ( A )≤1 1 0 P ( A ) ＋ P ( B ) 1 － P ( B ) 4 ． 2013 年亚冠决赛由中国广州恒大与韩国首尔 FC 强强较量．中国选手获胜的概率为 0.41. 战平的概率为 0.27 ，那么中国选手不输的概率为 ________ ． 解析： 事件 “ 中国选手获胜 ” 与事件 “ 中韩选手战平 ” 为互斥事件，而事件 “ 中国选手不输 ” 为两事件的和事件，所以所求概率 P ＝ 0.41 ＋ 0.27 ＝ 0.68. 答案： 0.68 5 ．从分别写有 0,1,2,3,4 的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是 ________ ． 随机事件的频率与概率 【 例 1】 　 (2013 年高考湖南卷 ) 某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点 ( 指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点 ) 处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量 Y ( 单位： kg) 与它的 “ 相近 ” 作物株数 X 之间的关系如下表所示： 这里，两株作物 “ 相近 ” 是指它们之间的直线距离不超过 1 米． (1) 完成下表，并求所种作物的平均年收获量： (2) 在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48 kg 的概率． [ 解析 ] 　 (1) 所种作物的总株数为 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 15 ，其中 “ 相近 ” 作物株数为 1 的作物有 2 株， “ 相近 ” 作物株数为 2 的作物有 4 株， “ 相近 ” 作物株数为 3 的作物有 6 株， “ 相近 ” 作物株数为 4 的作物有 3 株，列表如下： 变式训练 1 ．假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试，结果统计如图所示： (1) 估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率； (2) 这两种品牌产品中，某个产品已使用了 200 小时，试估计该产品是甲品牌的概率． 事件关系的判断 【 例 2】 　从装有 5 只红球， 5 只白球的袋中任意取出 3 只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件． (1) “ 取出 2 只红球和 1 只白球 ” 与 “ 取出 1 只红球和 2 只白球 ” ； (2) “ 取出 2 只红球和 1 只白球 ” 与 “ 取出 3 只红球 ” ； (3) “ 取出 3 只红球 ” 与 “ 取出 3 只球中至少有 1 只白球 ” ； (4) “ 取出 3 只红球 ” 与 “ 取出 3 只球中至少有 1 只红球 ” ． [ 解析 ] 　 (1) “ 取出 2 只红球和 1 只白球 ” 与 “ 取出 1 只红球和 2 只白球 ” 不可能同时发生，是互斥事件，不是对立事件． (2) “ 取出 2 只红球和 1 只白球 ” 与 “ 取出 3 只红球 ” 不可能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件． (3) “ 取出 3 只红球 ” 与 “ 取出 3 只球中至少有 1 只白球 ” ，不可能同时发生，是互斥事件，同时它们的和事件为必然事件，故也是对立事件． (4) “ 取出 3 只球中至少有 1 只红球 ” 包括 “ 取出 3 只红球 ” 的情况，故它们既不互斥也不对立． 反思总结 1 ． 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不可能同时发生外，其并事件应为必然事件，这可类比集合进行理解． 2 ．具体应用时，可把试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所给事件的关系． 变式训练 2 ．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6. 将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3 ，事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4 ，则 ( 　　 ) A ． A 与 B 是互斥而非对立事件 B ． A 与 B 是对立事件 C ． B 与 C 是互斥而非对立事件 D ． B 与 C 是对立事件 解析： 根据互斥事件与对立事件的意义作答， A ∩ B ＝ { 出现点数 1 或 3} ，事件 A ， B 不互斥但不对立； B ∩ C ＝ ∅ ， B ∪ C ＝ Ω ，故事件 B ， C 是对立事件． 答案： D 互斥事件、对立事件的概率 【 例 3】 　某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3 、 0.2 、 0.1 、 0.4. (1) 求他乘火车或乘飞机去开会的概率； (2) 求他不乘轮船去开会的概率． [ 解析 ] 　 (1) 记 “ 他乘火车去开会 ” 为事件 A 1 ， “ 他乘轮船去开会 ” 为事件 A 2 ， “ 他乘汽车去开会 ” 为事件 A 3 ， “ 他乘飞机去开会 ” 为事件 A 4 ，这四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的． 故 P ( A 1 ＋ A 4 ) ＝ P ( A 1 ) ＋ P ( A 4 ) ＝ 0.3 ＋ 0.4 ＝ 0.7. (2) 设他不乘轮船去开会的概率为 P ， 则 P ＝ 1 － P ( A 2 ) ＝ 1 － 0.2 ＝ 0.8. 解析： 由于 0.3 ＋ 0.2 ＝ 0.5,0.1 ＋ 0.4 ＝ 0.5,1 － (0.3 ＋ 0.2) ＝ 0.5 ， 1 － (0.1 ＋ 0.4) ＝ 0.5 ，故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会． —— 互斥事件与对立事件的概率 从近两年高考命题看，随机事件及其概率基本上不单独考查，但概率与统计交汇、互斥事件、对立事件与古典概型、几何概型渗透是命题的热点，题目不超过中等难度，重点考查学生分析问题与数学计算能力，解题的关键是准确理解事件间关系及其概率． 【 典例 】 　 (2014 年洛阳模拟 )( 本题满分 12 分 ) 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 求 (1) 至多 2 人排队等候的概率是多少？ (2) 至少 3 人排队等候的概率是多少？ [ 教你快速规范审题 ] 1 ．审条件，挖解题信息 2 ．审结论，明解题方向 3 ．建联系，找解题突破口 [ 教你准确规范解答 ] 记 “ 无人排队等候 ” 为事件 A ， “ 1 人排队等候 ” 为事件 B ， “ 2 人排队等候 ” 为事件 C ， “ 3 人排队等候 ” 为事件 D ， “ 4 人排队等候 ” 为事件 E ， “ 5 人及 5 人以上排队等候 ” 为事件 F ，则事件 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 互斥． (1) 记 “ 至多 2 人排队等候 ” 为事件 G ，则 G ＝ A ＋ B ＋ C ，所以 P ( G ) ＝ P ( A ＋ B ＋ C ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ＋ P ( C ) ＝ 0.1 ＋ 0.16 ＋ 0.3 ＝ 0.56.6 分 (2) 解法一　 记 “ 至少 3 人排队等候 ” 为事件 H ，则 H ＝ D ＋ E ＋ F ，所以 P ( H ) ＝ P ( D ＋ E ＋ F ) ＝ P ( D ) ＋ P ( E ) ＋ P ( F ) ＝ 0.3 ＋ 0.1 ＋ 0.04 ＝ 0.44.12 分 解法二　 记 “ 至少 3 人排队等候 ” 为事件 H ，则其对立事件为事件 G ，所以 P ( H ) ＝ 1 － P ( G ) ＝ 0.4412 分 , [ 常见失分探因 ] 分析 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 型问题易失误，并谨记 P ( A ＋ B ＋ C ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ＋ P ( C ) 对立事件的判断失误而导致丢分 [ 教你一个万能模板 ] ―→ ―→ ―→ ―→ 本小节结束 请按 ESC 键返回