【数学】2020届一轮复习北师大版几何概型课时作业 11页

几 何 概 型 ‎ (25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.在[-2,3]上随机取一个数x,则(x+1)(x-3)≤0的概率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.由(x+1)(x-3)≤0,得-1≤x≤3.长度为4,而[-2,3]的长度为5,由几何概型得所求概率为.‎ ‎2.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积不小于的概率是 (　　)‎ A.　 B. C. D.‎ ‎【解析】选A.记事件A=“△PBC的面积大于等于”,基本事件空间是线段 AB 的长度.如图,取 AB 的三等分点 P,如果在线段 BP 上取点,那么△PBC 的面积小于;如果在线段AP上取点,那么△PBC的面积不小于.所以概率为P(A)==.‎ ‎【变式备选】‎ 向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P,则△PBC 的面积小于的概率为_______. ‎ ‎【解析】取AB,AC的中点E,F,如图所示,如果点P在线段EF上,那么△PBC的面积等于;如果点P在线段EF上方(即△AEF内),那么△PBC的面积大于;如果点P在线段EF下方(即四边形EFCB内),那么△PBC的面积小于.所以概率==.‎ 答案:‎ ‎3.纹样是中国艺术宝库的瑰宝,火纹是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为5的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷1 000个点,已知恰有400个点落在阴影部分,据此可估计阴影部分的面积是 (　　)‎ A.2 B‎.3 ‎ C.10 D.15‎ ‎【解析】选C.边长为5的正方形的面积S正方形=5×5=25,设阴影部分的面积为S阴,‎ 因为该正方形内随机投掷1 000个点,已知恰有400个点落在阴影部分,所以=,‎ 解得S阴=×S正方形=×25=10,‎ 所以估计阴影部分的面积是10.‎ ‎4.在区间(0,4)上任取一实数x,则2x<2的概率是 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选D.由2x<2得x<1,则在区间(0,4)上任取一数x,则2x<2的概率P==.‎ ‎5.(2019·长沙模拟)在区间[0,4]上随机取两个实数x,y,使得x+2y≤8的概率为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选D.由x,y∈[0,4]可知(x,y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部,其中满足x+2y≤8的区域为如图所示的阴影部分.易知A(4,2),S正方形=16,S阴影==12,故“使得x+2y≤‎8”‎的概率P==.‎ ‎【变式备选】‎ 在平面区域{(x,y)|0≤x≤1,1≤y≤2}内随机投入一点P,则点P的坐标(x,y)满足y≤2x的概率为 (　　)‎ A. B.　 C. D.‎ ‎【解析】选A.依题意作出图象如图,‎ 则P(y≤2x)===.‎ ‎6.(2018·荆州模拟)如图,正方形ABNH,DEFM的面积相等,CN=NG=AB,向多边形ABCDEFGH 内投一点,则该点落在阴影部分的概率为 (　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选C.由正方形ABNH,DEFM的面积相等,可得两正方形边长相等,不妨设边长为3,由CN=NG=AB,可得正方形MCNG的边长为2,则阴影部分的面积为2×2=4,多边形ABCDEFGH的面积为2×3×3-2×2=14,则向多边形ABCDEFGH内投一点,该点落在阴影部分的概率为=.‎ ‎7.已知菱形ABCD的边长为4,∠ABC=150°,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率为 (　　)‎ A. B.1-‎ C. D.1-‎ ‎【解析】选D.由题设菱形ABCD的边长为4,∠ABC=150°,知菱形的面积 S菱形ABCD=2××AB×BC×sin 150°=4×4×=8,设事件M为“该点到菱形的四个顶点的距离大于‎1”‎,则事件M对应的区域是菱形内部且在以顶点为圆心,半径为1的圆外的部分,如图所示根据几何概型的概率计算公式得P(M)==1-.‎ ‎【变式备选】‎ ‎ (2018·东北三省三校模拟)三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中,四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角α=,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是 (　　)‎ A.1-　　　　　　B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选A.易知小正方形的边长为-1,故小正方形的面积为S1=(-1)2‎ ‎=4-2,大正方形的面积为S=2×2=4,故飞镖落在小正方形内的概率P==‎ ‎=1-.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为________. ‎ ‎【解析】根据几何概型知识,概率为体积之比,‎ 即P==.‎ 答案:‎ ‎9.(2019·信阳模拟)若m∈(0,3),则直线(m+2)x+(3-m)y-3=0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________. 导学号 ‎ ‎【解析】对于直线方程(m+2)x+(3-m)y-3=0,令x=0,得y=;令y=0,得x=,‎ 由题意可得··<,‎ 因为m∈(0,3),所以解得0