高考数学复习 17-18版 附加题部分 第3章 第65课 曲线与方程 15页

第三章　圆锥曲线与方程、导数及其应用、推理与证明 第65课 曲线与方程 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 曲线与方程 ‎√‎ ‎1．曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：‎ ‎(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．‎ ‎(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．‎ 那么，这个方程叫作曲线的方程；这条曲线叫作方程的曲线．‎ ‎2．求动点轨迹方程的一般步骤 ‎(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．‎ ‎(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．‎ ‎(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.‎ ‎(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．‎ ‎(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．‎ ‎3．两曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解．‎ 若此方程组无解，则两曲线无交点．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　　)‎ ‎(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　)‎ ‎(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　　)‎ ‎(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　　)‎ ‎[解析]　由曲线与方程的定义，知(2)(3)(4)不正确，只有(1)正确．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是________．‎ 抛物线　[由已知MF＝MB，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．]‎ ‎3．(2016·广州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为________．‎ x2＝4y　[设点P(x，y)，则Q(x，－1)．‎ ‎∵·＝·，‎ ‎∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，‎ 即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，‎ ‎∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.]‎ ‎4．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长CD＝3，则顶点A的轨迹方程为__________．‎ ‎(x－10)2＋y2＝36(y≠0)　[设A(x，y)，则D，‎ ‎∴CD＝＝3，‎ 化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，‎ ‎∴A不能落在x轴上，即y≠0.]‎ ‎5．在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为__________．‎ －＝1(x>)　[以BC的中点为原点，中垂线所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．‎ 则BE＝BD，CD＝CF，AE＝AF.‎ 所以AB－AC＝2，‎ 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，‎ 且a＝，c＝2，所以b＝，‎ 所以轨迹方程为－＝1(x>)．]‎ 直接法求轨迹方程 ‎　已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程. 【导学号：62172346】‎ ‎[解]　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得O1A＝O1M.‎ 当O1不在y轴上时，‎ 过O1作O1H⊥MN交MN于H，‎ 则H是MN的中点，‎ ‎∴O1M＝.‎ 又O1A＝，‎ ‎∴＝，‎ 化简得，y2＝8x(x≠0)．‎ 当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，‎ ‎∴ 动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.‎ ‎[规律方法]　1.如果动点满足的条件是易于用x，y表达的与定点、定直线有关的几何量的等量关系时，等量关系又易于表达成含有x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程．‎ ‎2．运用直接法应注意的问题：‎ ‎(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．‎ ‎(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．‎ ‎[变式训练1]　已知两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程．‎ ‎[解]　设点P(x，y)，则＝(x＋1，y)，‎ ＝(x－1，y)，＝(2,0)．‎ 故·＝2(x＋1)，‎ ·＝·＝(x＋1)×(x－1)＋y2＝x2＋y2－1，·＝－2(x－1)＝2(1－x)．‎ 因为·，·，·成公差小于零的等差数列，所以2(x2＋y2－1)＝2(x＋1)＋2(1－x)．‎ 且·－·＝2(1－x)－2(x＋1)＝－4x<0，‎ 整理得，x2＋y2＝3(x>0)，‎ 故点P的轨迹方程为x2＋y2＝3(x>0).‎ 定义法求轨迹方程 ‎　如图651所示，已知点C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)．P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在的直线上，且·＝0，＝2 .当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．‎ 图651‎ ‎ [解]　由(x＋)2＋y2＝4知圆心C(－，0)，半径r＝2.‎ ‎∵·＝0，＝2，‎ ‎∴MQ⊥AP，点M为AP的中点，‎ 因此QM垂直平分线段AP.‎ 如图，连结AQ，则AQ＝QP，‎ ‎∴|QC－QA|＝‎ ‎|QC－QP|＝CP＝2.‎ 又AC＝2>2.‎ 根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线．‎ 由c＝，a＝1，得b2＝1，‎ 因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.‎ ‎[迁移探究]　若将本例中的条件“圆C的方程(x＋)2＋y2＝4”改为“圆C的方程(x＋)2＋y2＝16”，其他条件不变，求点Q的轨迹方程．‎ ‎[解]　由(x＋)2＋y2＝16知圆心C(－，0)，半径r＝4.‎ ‎∵·＝0，＝2 ，‎ ‎∴QM垂直平分AP，连结AQ，‎ 则AQ＝QP，‎ ‎∴QC＋QA＝QC＋QP＝r＝4.‎ 根据椭圆定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．‎ 由c＝，a＝2，得b＝.‎ 因此点Q的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎[规律方法]　1.定义法求轨迹方程，关键是理解解析几何中有关曲线的定义．‎ 在求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，优化解题过程．‎ ‎2．利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．‎ ‎[变式训练2]　(2016·全国卷Ⅰ选编)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎(1)证明EA＋EB为定值；‎ ‎(2)求点E的轨迹方程，并求它的离心率．‎ ‎[解]　(1)证明：因为AD＝AC，EB∥AC，‎ 所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以EB＝ED，‎ 故EA＋EB＝EA＋ED＝AD.‎ 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而AD＝4，‎ 所以EA＋EB＝4.‎ ‎(2)由圆A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)，‎ 因此AB＝2，则EA＋EB＝4>AB.‎ 由椭圆定义，知点E的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x轴的交点)，‎ 所以a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3.‎ 所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．‎ 故曲线方程的离心率e＝＝.‎ 相关点(代入)法求轨迹方程 ‎　如图652所示，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且MD＝PD.‎ 图652‎ ‎(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度. 【导学号：62172347】‎ ‎[解]　(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，‎ ‎∵点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且MD＝PD，∴xP＝x，且yP＝y.‎ ‎∵P在圆x2＋y2＝25上，‎ ‎∴x2＋2＝25，整理得＋＝1，‎ 故轨迹C的方程是＋＝1.‎ ‎(2)过点(3,0)且斜率为的直线l的方程是y＝(x－3)，‎ 设此直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 将直线方程y＝(x－3)代入C的方程＋＝1得：‎ ＋＝1，化简得x2－3x－8＝0，‎ ‎∴x1＝，x2＝，‎ 则AB＝＝＝.‎ ‎∴直线被曲线C所截线段的长度为.‎ ‎[规律方法]　1.相关点法求轨迹方程，形成轨迹的动点P(x，y)随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的．‎ ‎2．“相关点法”的基本步骤：‎ ‎(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)．‎ ‎(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 ‎(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．‎ ‎[变式训练3]　P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是__________．‎ ＋＝1　[作P关于O的对称点M，连结F1M，F2M，则四边形F1PF2M为平行四边形，‎ 所以＋＝＝－2.‎ 又＝＋，‎ 所以＝－.‎ 设Q(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝－，且y0＝－，‎ 又点P(x0，y0)在椭圆＋＝1上，‎ 则有＋＝1，即＋＝1.]‎ ‎ [思想与方法]‎ ‎1．求轨迹方程的常用方法 ‎(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.‎ ‎(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．‎ ‎(3)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．‎ ‎(4)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．‎ ‎2．曲线的方程与方程的曲线是从两个方面揭示方程与曲线的对应关系，体现数与形的辨证统一．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．‎ ‎2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．‎ 课时分层训练(九)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．已知点A(－1,0)，点B(2,0)，动点C满足AC＝AB，求点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程．‎ ‎[解]　由题意可知：动点C的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x＋1)2＋y2＝9.‎ 设M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得 C(2x0－1,2y0－4)，‎ 代入点C的轨迹方程得4x＋4(y0－2)2＝9，‎ 化简得x＋(y0－2)2＝，‎ 故点M的轨迹方程为x2＋(y－2)2＝.‎ ‎2．动点P与两定点A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线. 【导学号：62172348】‎ ‎[解]　设点P(x，y)，‎ 则kAP＝，kBP＝.‎ 由题意得·＝k，即kx2－y2＝ka2.‎ 所以点P的轨迹方程为kx2－y2＝ka2(x≠±a)．(*)‎ ‎(1)当k＝0时，(*)式即y＝0，点P的轨迹是直线AB(除去A，B两点)．‎ ‎(2)当k≠0时，(*)式即－＝1，‎ ‎①若k>0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A，B两点)．‎ ‎②若k<0，(*)式可化为＋＝1.‎ 当－1，A1(－，0)，A2(，0)，则有 直线A1P的方程为y＝(x＋)，①‎ 直线A2Q的方程为y＝(x－)，②‎ 联立①②，解得∴③‎ ‎∴x≠0，且|x|<.∵点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，∴－y＝1.‎ 将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为＋y2＝1(x≠0，且x≠±)．‎ ‎3．已知圆C的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(1)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A，B两点，若AB＝2，求直线l的方程；‎ ‎(2)过圆C上一动点M(不在x轴上)作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．‎ ‎[解]　(1)当直线l垂直于x轴时，直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，距离为2，满足题意．‎ 若直线l不垂直于x轴，设其方程为y－2＝k(x－1)，‎ 即kx－y－k＋2＝0.设圆心到此直线的距离为d，‎ 则2＝2，得d＝1，所以＝1，解得k＝，‎ 故所求直线方程为3x－4y＋5＝0.‎ 综上所述，所求直线l的方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.‎ ‎(2)设点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，Q点坐标为(x，y)，‎ 则N点坐标是(0，y0)．因为＝＋，‎ 所以(x，y)＝(x0,2y0)，即x0＝x，y0＝.‎ 又因为M是圆C上一点，‎ 所以x＋y＝4，‎ 所以x2＋＝4(y≠0)，‎ 所以Q点的轨迹方程是＋＝1(y≠0)，‎ 这说明轨迹是中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为8、短轴长为4的椭圆，且除去短轴端点．‎ ‎4．已知点A(－1,0)，F(1,0)，动点P满足·＝2||.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)在直线l：y＝2x＋2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N.问：是否存在点Q，使得直线MN∥l？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)设P(x，y)，则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)，＝(2,0)．‎ 由·＝2||，得2(x＋1)＝2，化简得y2＝4x.‎ 故动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)直线l的方程为y＝2(x＋1)，设Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 过点M的切线方程设为x－x1＝m(y－y1)，代入y2＝4x，得y2－4my＋4my1－y＝0.‎ 由Δ＝16m2－16my1＋4y＝0，得m＝，所以过点M的切线方程为y1y＝2(x＋x1)．同理过点N的切线方程为y2y＝2(x＋x2)．‎ 因为Q(x0，y0)在切线上，所以所以点M(x1，y1)，N(x2，y2)在直线yy0＝2(x0＋x)上，所以直线MN的方程为y0y＝2(x0＋x)．‎ 又MN∥l，所以＝2，即y0＝1，而y0＝2(x0＋1)，所以x0＝－，故点Q的坐标为.‎