高考数学复习 17-18版 附加题部分 第6章 第73课 曲线的参数方程 11页

第73课 曲线的参数方程 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 参数方程 ‎√‎ 直线、圆及椭圆的参数方程 ‎√‎ 参数方程与普通方程的互化 ‎√‎ 参数方程的简单应用 ‎√‎ ‎1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y都可以表示为某个变量t的函数并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫作这条曲线的参数方程，变量t叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．‎ ‎2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ 温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　　)‎ ‎(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)‎ ‎(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)‎ ‎(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)曲线(θ为参数)的对称中心在直线________上．(填序号)‎ ‎①y＝2x；②y＝－2x；③y＝x－1；④y＝x＋1.‎ ‎②　 [由得 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.‎ 曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，‎ 所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]‎ ‎3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．‎ x－y－1＝0　[由x＝2＋t，且y＝1＋t，‎ 消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.]‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．‎ ‎(2，－4)　[由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2.①‎ 由消去t得y2＝8x.②‎ 联立①②得即交点坐标为(2，－4)．]‎ ‎5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段 AB的长．‎ ‎[解]　椭圆C的普通方程为x2＋＝1.‎ 将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0，‎ 解得t1＝0，t2＝－，所以AB＝|t1－t2|＝.‎ 参数方程与普通方程的互化 ‎　已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，‎ 圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点，‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，‎ 解得－2≤a≤2.‎ ‎[规律方法]　1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．‎ ‎2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形．‎ ‎[变式训练1]　在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值. 【导学号：62172378】‎ ‎[解]　直线l的普通方程为x－y－a＝0，‎ 椭圆C的普通方程为＋＝1，‎ 所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，‎ 若直线l过椭圆的右顶点(3,0)，‎ 则3－0－a＝0，所以a＝3.‎ 参数方程的应用 ‎　已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值．‎ ‎[解]　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，‎ 则PA＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，PA取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，PA取得最小值，最小值为.‎ ‎[规律方法]　1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．‎ ‎2．对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．‎ ‎[变式训练2]　在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.‎ ‎(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；‎ ‎(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求PA·PB的值．‎ ‎[解]　(1)由消去θ，‎ 得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ 又直线l过点P(1,2)且倾斜角α＝，‎ 所以l的参数方程为即(t为参数)．‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，‎ 得2＋2＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，‎ 所以t1t2＝－11，‎ 由参数方程的几何意义，PA·PB＝|t1t2|＝11.‎ 参数方程与极坐标方程的综合应用 ‎　(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎[解]　(1)C1的普通方程为＋y2＝1，‎ 由于曲线C2的方程为ρsin＝2，‎ 所以ρsin θ＋ρcos θ＝4，‎ 因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．‎ 因为C2是直线，所以PQ的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，‎ 又d(α)＝＝，‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ ‎[规律方法]　1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．‎ ‎[变式训练3]　(2017·无锡期末)已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若直线l的极坐标方程为ρsin＝3.‎ ‎(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；‎ ‎(2)已知P为曲线C：‎ 上一点，求P到直线l的距离的最大值. ‎ ‎【导学号：62172379】‎ ‎[解]　(1)直线l的极坐标方程ρsin＝3则ρsin θ－ρcos θ＝3，即ρsin θ－ρcos θ＝6，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋6＝0.‎ ‎(2)因为P为曲线上一点，所以 则P到直线l的距离d＝＝，‎ 所以当cos(θ＋φ)＝1时，d的最大值为.‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1,1＋tan2θ＝.‎ ‎2．利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题是行之有效的好方法．‎ ‎3．将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题求解，化生为熟，充分体现了转化与化归思想的应用．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性．在消去参数的过程中，要注意x，y的取值范围．‎ ‎2．确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．‎ ‎3．设过点M(x0，y0)的直线l交曲线C于A，B两点，若直线的参数方程为(t为参数)注意以下两个结论的应用：‎ ‎(1)AB＝|t1－t2|；‎ ‎(2)MA·MB＝|t1·t2|.‎ 课时分层训练(十七)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．(2017·泰州二中高三月考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．‎ ‎[解]　ρ2＝2ρcos θ，圆ρ＝2cos θ的普通方程为：‎ x2＋y2＝2x，(x－1)2＋y2＝1，直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的普通方程为：‎ ‎3x＋4y＋a＝0，又圆与直线相切，所以＝1，解得a＝2或a＝－8.‎ ‎2．(2017·苏锡常镇调研二)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M(1,2)，倾斜角为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ＝6cos θ.若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA·MB的值．‎ ‎[解]　直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 圆C的普通方程为(x－3)2＋y2＝9.‎ 直线l的参数方程代入圆C的普通方程，得t2＋2(－1)t－1＝0，‎ 设该方程两根为t1，t2，则t1·t2＝－1.‎ ‎∴MA·MB＝|t1·t2|＝1.‎ ‎3．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．‎ ‎[解]　(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ 可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．‎ ‎(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，‎ 所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.‎ 故D的直角坐标为，‎ 即.‎ ‎4．(2017·常州模拟)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，P(m，n)为曲线C2上任一点，求m＋n的取值范围. 【导学号：62172380】‎ ‎[解]　曲线C1：的直角坐标方程为y＝3－2x，与x轴交点为，曲线C2：的直角坐标方程为＋＝1，与x轴交点为(－a,0)，(a,0)，由a＞0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，所以a＝.‎ 所以2m＋n＝3sin θ＋3cos θ＝3sin，‎ 所以m＋n的取值范围为.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·南通模拟)在直角坐标系xOy内，直线l的参数方程为(t为参数)．以Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin.判断直线l和圆C的位置关系. 【导学号：62172381】‎ ‎[解]　将消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y＝2x－3；由ρ＝2sin得ρ＝2＝2(sin θ＋cos θ)，‎ 两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，‎ 即x2＋y2＝2y＋2x，‎ ‎∴⊙C的直角坐标方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2；‎ 又圆心C到直线l：2x－y－3＝0的距离d＝＝＜，∴直线l和⊙C相交．‎ ‎2．(2017·苏州市期中)已知平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数，r＞0)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＋1＝0.‎ ‎(1)求圆C的圆心的极坐标；‎ ‎(2)当圆C与直线l有公共点时，求r的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由C：得(x－2)2＋(y－2)2＝r2，‎ ‎∴曲线C是以(2,2)为圆心，r为半径的圆，‎ ‎∴圆心的极坐标为.‎ ‎(2)由l：ρsin＋1＝0得l：x＋y＋1＝0，‎ 从而圆心(2,2)到直线l的距离为d＝＝，‎ ‎∵圆C与直线l有公共点，∴d≤r，即r≥.‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，AB＝，求l的斜率．‎ ‎[解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ AB＝|ρ1－ρ2|＝ ‎＝.‎ 由AB＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.‎ ‎(1)求C的普通方程和l的倾斜角；‎ ‎(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求PA＋PB.‎ ‎[解]　(1)由消去参数α，得＋y2＝1，‎ 即C的普通方程为＋y2＝1.‎ 由ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)‎ 将代入(*)，化简得y＝x＋2，‎ 所以直线l的倾斜角为.‎ ‎(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数)，‎ 代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，‎ Δ＝(18)2－4×5×27＝108＞0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－＜0，t1t2＝＞0，所以t1＜0，t2＜0，‎ 所以PA＋PB＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.‎