高二数学教案：第5讲 椭圆（一） 7页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 椭圆（一）‎ 教学内容 ‎1. 理解椭圆的定义，掌握椭圆的几何性质；‎ ‎2. 能应用椭圆性质解题。‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1. 椭圆的定义：平面上到两定点的、的距离之和等于常数（）的点的轨迹，叫做椭圆。定点、是焦点，是椭圆的焦距，是椭圆的长轴长。‎ ‎（若，则动点的轨迹是线段；若，则轨迹不存在）‎ ‎2. 椭圆的图像与性质：‎ 图像 y O x 标准方程 范围 顶点 ‎，‎ 对称性 关于、轴和原点对称 焦点 ‎、‎ ‎，，的意义 长轴长，短轴长，焦距，‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程．‎ 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为(，)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．‎ 解：设所求椭圆方程为(，)．‎ 由和两点在椭圆上可得 即 所以，．‎ 故所求的椭圆方程为．‎ 试一试：经过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程是 ．‎ ‎【参考答案】：.‎ 例2. 已知椭圆的标准方程是＋＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________．‎ 答案：4 试一试：已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，Q是PF1的中点，若OQ＝1，则PF1＝________.‎ 答案：6‎ 例3. 设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．‎ 解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(2)2可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4.答案：4‎ 试一试：已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为 ‎ 解析：由余弦定理判断∠P<90°，只能∠PF‎1F2或∠PF‎2F1为直角.由a=4，b=3得c=‎ 由椭圆定义及勾股定理得：|yP|=.‎ 例4. 椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时，点横坐标的取值范围是 .‎ ‎【答案】：‎ 此题可以用余弦定理，也可以用向量夹角公式，还可以用特殊情况直角求出坐标，通常此题可以向学生引出何时这个角最大，以及如何证明。‎ 试一试：若点是椭圆上的动点，定点的坐标为，求的取值范围；‎ ‎【答案】：‎ 例5. 求椭圆的内接矩形面积的最大值，并求出此时矩形的四个顶点的坐标。‎ ‎【答案】：设椭圆的内接矩形，由于椭圆与矩形的对称性，可设 ‎，‎ ‎ 因为点在椭圆上，‎ ‎ ‎ 所以，当且仅当时，取等号 ‎ 此时四个顶点的坐标为 ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 已知方程表示椭圆，求实数的取值范围 ；‎ ‎【答案】：‎ ‎2. 已知点、两点，是坐标平面上的动点，且，是坐标原点，则的取值范围是 ；‎ ‎【答案】：‎ ‎3. 设、是椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且满足,则的面积等于__.‎ ‎【答案】：1‎ ‎4. 已知椭圆内有两点为椭圆上一点,则的最大值为 .‎ ‎【答案】：15‎ ‎5. 已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．‎ ‎(1)若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积；‎ ‎(2)求PF1·PF2的最大值．‎ 解：(1)设PF1＝m，PF2＝n(m>0，n>0)．根据椭圆的定义得m＋n＝20.在△F1PF2中，由余弦定理得PF＋PF－2PF1·PF2·cos∠F1PF2＝F1F，即m2＋n2－2mn·cos＝122.∴m2＋n2－mn＝144，即(m＋n)2－3mn＝144.∴202－3mn＝144，即mn＝.又∵S△F1PF2＝PF1·PF2·sin∠F1PF2＝mn·sin，∴S△F1PF2＝××＝.‎ ‎(2)∵a＝10，∴根据椭圆的定义得PF1＋PF2＝20.∵PF1＋PF2≥2，∴PF1·PF2≤2＝2＝100，当且仅当PF1＝PF2＝10时，等号成立．∴PF1·PF2的最大值是100.‎ ‎6. 设椭圆（常数）的左右焦点分别为，是直线上的两个动点，‎ ‎．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求的最小值．‎ 解：设， ‎ 则，‎ 由得 ① ‎ ‎（1）由，得 ‎ ② ‎ ‎ ③ ‎ 由①、②、③三式，消去，并求得． ‎ ‎（2）【解法一】易求椭圆的标准方程为：． ‎ ‎ ‎ 所以，当且仅当或时，‎ 取最小值． ‎ ‎【解法二】， ‎ 所以，当且仅当或时，取最小值．‎ ‎ ‎ 本节课主要知识点：椭圆的定义，椭圆的几何性质及其应用 ‎【巩固练习】‎ ‎1. 方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________．‎ 答案：