高二数学教案：第11讲 抛物线（一） 8页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 抛物线（一）‎ 教学内容 ‎1. 理解抛物线的定义及几何性质 ‎2. 会应用抛物线的性质解答综合题目。‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1. 抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（不在上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。‎ ‎2. 抛物线标准方程： y2=2px, y2= -2px, x2=2py, x2= -2py (p>0)‎ ‎3.练习 ‎1. 抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ） B A． B． C． D．0‎ ‎2. 过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（B）‎ A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 此题的方法是求通径，坐标和等于通径只有一条，小于有两条，大于没有。‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 设为抛物线的焦点．‎ ‎（1）过焦点的直线交抛物线于，两点，若，则的中点到轴的距离等于 ．‎ 解：由题意，焦点，准线为，设，过向轴作垂线交于，‎ 则P到y轴的距离可转化为：‎ ‎ ．（往定义方向化归）‎ ‎（2）点，若点在抛物线上移动，则的最小值是__________．‎ 解：过向准线作垂线交于，则，所以 显然，当三点共线时，距离之和最小，此时距离为．最小值为3.‎ ‎（三点共线的时候取到最值，可联想到直线一节中，两个定点到定直线上动点的距离之和、之差的最值求法，那里能掌握了，这里应该转化起来很轻松）‎ 试一试：设为抛物线的焦点．‎ ‎（1）点，若点在抛物线上移动，则的最小值是__________．‎ 解：过向准线作垂线交于，‎ 则，‎ 显然当三点共线时，距离之和最小，此时．‎ ‎（还是转化，就看学生有没有这个转化化归的意识）‎ ‎（2）直线、直线，若点在抛物线上移动，则到和的距离之和的 ‎ 最小值是__________．‎ 解：由抛物线定义，到的距离即为，过向作垂线交抛物线于点，‎ 此时的点即为最小值点，‎ 所以到直线的距离为2，所以到两直线距离之和最小值为2.‎ ‎（类型同上，这里可以让学生自己表达对题意的理解，即可跳过，下同）‎ ‎（3）若动弦在抛物线上移动，但其中点横坐标始终是4，则的最大值为_________.‎ 解：设中点坐标为，，‎ 显然，有，所以最大值为10.‎ ‎（这里用到两个思想：1，不共线时，两边之和大于第三边；2，共线时，两边的和等于刚才的“第三边”）‎ ‎（4）若点在抛物线上移动，点在上移动，则的最小值为_____.‎ 解：圆心即为焦点，所以取到最小值时，一定共线，且一定在和之间，‎ 过向准线作垂线交于，所以，显然在顶点时最小，‎ 所以．（可以类比到圆中的最值问题，另外，两个点都在动时，不妨先固定一个）‎ 例2. 已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（ ）‎ A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对 解：由题意得：，‎ 即动点到直线的距离等于它到原点（0，0）的距离，‎ 由抛物线定义可知：动点的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线为准线的抛物线．‎ ‎∴选C．‎ ‎（要注意先让学生做，看不出几何意义的让他再看下本节的知识梳理，如果选对了，让他准确的表述出抛物线的定义，然后让他做巩固练习，体会抛物线定义的准确性）‎ 试一试：‎ ‎1．动点满足，问点P的轨迹形状？‎ 解：代数式的几何意义可看作：动点到（2，-1）的距离等于到定直线的距离，‎ 且（2，-1）不在定直线上，所以P点的轨迹为抛物线．‎ ‎2．动点满足，问点P的轨迹形状？‎ 解：代数式的几何意义可看作：动点到（2，-1）的距离等于到定直线的距离，‎ 且（2，-1）在定直线上，所以P点的轨迹为一条过（2，-1）且与直线垂直的直线．‎ ‎（让学生体会这两个小题的区别，并再次总结抛物线的定义，必须强调点不在直线上，让学生回答如果点在直线上会怎样？那么椭圆、双曲线的定义又是如何准确表述的？）‎ 例3. 是抛物线上的两点，且，‎ ‎（1）求两点的横坐标之积和纵坐标之积；‎ 解：设直线AB的方程为，（避免讨论斜率不存在的情况时，建议这样设直线）‎ 设，‎ 联立，所以，‎ 则，‎ 由，所以．‎ 所以横坐标之积为，纵坐标之积为．‎ ‎（2）求证：直线过定点；‎ 解：直线方程即为，所以直线恒过定点 ‎（3）求弦中点的轨迹方程；‎ 解：由中点坐标公式得，令，消去，得，‎ 即点的轨迹方程为．（参数消去法，也是求轨迹的一个重要方法）‎ ‎（4）求面积的最小值；‎ 解：由于AB直线恒过定点，所以，‎ 所以，当时取到最小值，‎ 所以面积的最小值为．（注意往韦达的式子上去转化）‎ ‎（5）在上的射影轨迹方程．‎ 解：设直线AB过的顶点为，设，则直线直线，即，‎ 所以，‎ 即射影M的轨迹方程为．（定点坐标的使用，在这里提供了很大的便利）‎ 这道题的5个结论让学生理解记忆，特别是前面3个结论。‎ 例4. 已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M．‎ ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）过M作，垂足为N，求点N的坐标；‎ ‎（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．‎ 解：（1）抛物线的准线为，于是=5，∴．‎ ‎∴抛物线方程为．（简单问题，一带而过）‎ ‎（2）∵点，由题意得，‎ 又∵，∴；，∴，‎ 则的方程为，的方程为，解方程组得，‎ ‎∴N的坐标．‎ ‎（3）由题意得圆M的圆心是点，半径为2，‎ 当时，直线AK的方程为，此时，直线AK与圆M相离．‎ 当时，直线AK的方程为，即为，‎ 圆心到直线AK的距离，令，解得．‎ ‎∴当时， AK与圆M相离；当时， AK与圆M相切；当时， AK与圆M相交．‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 抛物线的焦点为，为一定点，在抛物线上找一点，当为最小时，则点的坐标 ___ ，当为最大时，则点的坐标 ．‎ 解：过向准线作垂线交于，则，所以当三点共线时，距离之和最小，此时的纵坐标为-2，代入抛物线得横坐标为，所以此时．‎ 当三点共线时，取到最大值，此时直线：，‎ 联立，得或．‎ ‎2．过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）‎ A．2 B． C．4 D． ‎ 解答：设直线斜率为k，直线方程为，联立抛物线方程得 ‎，设交点P（x1，y1），Q（x2，y2）‎ 则，交点为，准线为，所以：‎ ‎∴选C．也可以采用特值法，用平行于x轴的直线。‎ ‎（这道题前面的知识梳理推导过，不妨让学生自己独立再演算一次，体会这三点：①到点的距离转化为到准线的距离；②距离问题转化为韦达的式子代入化简；③计算的快速、准确性．）‎ ‎3．抛物线截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是        ．‎ 解：设弦为AB，，， AB中点为，‎ 则，，．‎ ‎∴，∴．‎ 将代入得，轨迹方程是．‎ 答案：（这里的范围不要忘记了加上去）‎ ‎4. 已知抛物线,过动点且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点，且。‎ ‎(1)求的取值范围 ‎ ‎(2)若线段的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值 ‎ ‎【解析】：(1)设直线的方程为：，‎ 代入抛物线方程得，即 ‎，即 又，。‎ ‎(2)设，的中点,‎ 由(1)知，，，‎ 则有 ‎∴线段AB的垂直平分线的方程为,‎ 从而N点坐标为 点N到AB的距离为 从而 当有最大值时，有最大值为。‎ ‎5. 已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）‎ ‎（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；‎ ‎（2）求线段BC中点M的坐标；‎ ‎（3）求BC所在直线的方程. ‎ ‎[解析]：（1）由点A（2，8）在抛物线上，有，‎ 解得p=16. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.‎ ‎（2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的 定比分点，且，设点M的坐标为，则 ‎，解得，‎ 所以点M的坐标为（11，－4）．‎ ‎（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在 的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：‎ 由消x得，‎ 所以，由（2）的结论得，解得 因此BC所在直线的方程为：‎ ‎ ‎ 本节课主要知识点：抛物线的标准的方程及性质。‎ ‎【巩固练习】‎ ‎1. 在抛物线上求一点，使该点到直线的距离最短，该点的坐标是____________.‎ 答案：‎ ‎2. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：的右焦点重合，则抛物线的方程是 　　．‎ 答案：‎ ‎3. 已知抛物线上的点到它的准线的距离的最小值为，‎ ‎⑴求抛物线焦点的坐标；‎ ‎⑵若过的直线与抛物线交两点，为坐标原点，且斜率之和为，求直线的方程.‎ ‎【答案】：⑴，⑵‎ ‎【预习思考】‎ ‎1. 直线与抛物线只有一个交点，能判断直线与抛物线相切吗？‎ ‎2. 练习：若是过抛物线的焦点的弦。设，‎ 证明：（1）（2）设直线的倾斜角为，则。‎ ‎ ‎