高二数学教案：第12讲 抛物线（二） 10页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 抛物线（二）‎ 教学内容 ‎1. 理解抛物线的定义及几何性质 ‎2. 会应用抛物线的性质解答综合题目。‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1. 直线与抛物线只有一个交点，能判断直线与抛物线相切吗？‎ 不能，如果直线平行于对称轴，也有一个交点。要让学生注意解题的时候分类。‎ ‎2. 练习：若是过抛物线的焦点的弦。设，‎ 证明：（1）（2）设直线的倾斜角为，则。‎ 证明：（1）由抛物线的定义知 ‎（2）若由（1）知 若联立，得 ‎，而，‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 若是过抛物线的焦点的弦。设，‎ 求证：（1）；（2） ‎ 证明：（1）若的斜率不存在时，‎ 依题意 若的斜率存在时，设为则，与联立，得 ‎ 综上：‎ ‎（2），‎ 但 注意证明是讨论斜率是否存在问题 试一试：过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于A、B、C、D四点，则_____________‎ 解析：借助圆的半径和抛物线焦点弦，会得到，其中分别是A、B两点的横坐标 答案：1‎ 例2. 设抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．‎ ‎（1）若，求线段中点M的轨迹方程；‎ ‎ （2）若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求的面积；‎ ‎ （3）若M是抛物线C准线上的点，求证：直线的斜率成等差数列．‎ 解：(1) 设，，焦点，‎ 则由题意，即 ‎ 所求的轨迹方程为，即 ‎ ‎(2) ，，直线， ‎ 由得，，‎ ‎，， ‎ ‎ ‎ ‎(3)显然直线的斜率都存在，分别设为．‎ 点的坐标为．‎ 设直线AB：，代入抛物线得， ‎ 所以，又，，‎ 因而，‎ 因而 而，故．‎ 例3. 我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点．解决下列问题：已知抛物线上的点到焦点的距离等于4，直线与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值）．设线段的中点为，与直线平行的抛物线的切点为．.‎ ‎（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；‎ ‎（2）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；‎ ‎（3）求的面积，证明的面积与、无关，只与有关.‎ 解：（1），得，抛物线方程为． ‎ 焦点坐标，准线方程为． ‎ ‎（2）由，得，点 ‎ 设切线方程为，由,得，，‎ 切点的横坐标为，得……8分 由于、的横坐标相同，垂直于轴．‎ ‎（3），．‎ ‎． ‎ 的面积与、无关，只与有关． ‎ ‎（本小题也可以求，切点到直线的距离）‎ 例4. 已知曲线:，直线经过点且其一个方向向量为.‎ ‎（1）若曲线的焦点在直线上，求实数的值；‎ ‎（2）当时，直线与曲线相交于、两点，求的值； ‎ ‎（3）当（）变化且直线与曲线有公共点时，是否存在这样的实数,使得点关于 ‎ 直线的对称点落在曲线的准线上. 若存在,求出的值；若不存在，请说明理由.‎ 解：（1）由得，，即，所以，，所以 ‎（2）当时，，直线：‎ 将直线与曲线的方程联立得，， ‎ 消去并整理得，，其中 设、，则 于是 ‎ ‎（3）假设存在这样的实数，使得点关于直线的对称点落在曲线的准线上，‎ 根据题意可得，所以直线：，即：，‎ 由于，方程组，消去得，方程，‎ 直线与曲线有公共点，故，解得，所以 点与关于直线：对称，则 ‎ 得（）‎ 当点落在曲线的准线上时，，‎ 所以，即 当时，；当时，，解得 所以，所以存在这样的实数，满足题设条件。‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 已知点，抛物线的焦点为，准线为，线段交抛物线于点，过作准线的垂线，垂足为，若，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎2. 已知△，点的坐标为，点、分别在图中抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，那么△的周长的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎3. 抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎4. 设抛物线的焦点为,经过点的动直线交抛物线于两点,且 ‎.‎ ‎(1)求抛物线的方程; ‎ ‎(2)若直线平分线段,求直线的倾斜角.‎ ‎(3)若点是抛物线的准线上的一点,直线的斜率分别为.求证:当时,为定值.‎ 解:(1)设直线的方程为,代入,可得 ‎ ‎ (*) ‎ 由是直线与抛物线的两交点, ‎ 故是方程(*)的两个实根, ‎ ‎∴,又,所以,又,可得 ‎ 所以抛物线的方程为 ‎ ‎【另法提示:考虑直线l垂直于x轴这一特殊情形,或设直线l方程为点斜式】 ‎ ‎(2)由(1)可知, ‎ 设点是线段的中点,则有 ‎ ‎,, ‎ 由题意知点在直线上, ‎ ‎∴,解得或, ‎ 设直线的倾斜角为,则或,又, ‎ 故直线的倾斜角为或 ‎ ‎【另法提示:设直线l方程为点斜式】 ‎ ‎(3),可得, ‎ 由(2)知又, ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎, ‎ 所以为定值 ‎ ‎【另法提示:分直线l斜率存在与不存在两种情形讨论,斜率存在时设直线l方程为点斜式】 ‎ ‎ ‎ 本节课主要知识点：过抛物线焦点直线的一些性质，根据学生情况也可以拓展。‎ ‎【巩固练习】‎ ‎1. 设、为坐标平面上的点，直线（为坐标原点）与抛物线交于点(异于).‎ （1） 若对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上，并求出该圆方程；‎ （2） 若点在椭圆上，试问：点能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；‎ （3） 对（1）中点所在圆方程，设、是圆上两点，且满足，试问：是否存在一个定圆，使直线恒与圆相切.‎ 解：（1），‎ 代入 ‎ 当时，点 在圆上 ‎（2）在椭圆上，即 可设 ‎ 又，于是 ‎（令）‎ 点在双曲线上 ‎（3）圆的方程为 设由 ‎ ‎ 又 ‎， ‎ 又原点到直线距离 ，即原点到直线的距离恒为 直线恒与圆相切。‎ ‎【预习思考】‎ ‎1. 虚数单位: ；‎ ‎2. 复数的定义： 形如的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示.‎ ‎3. 复数与实数、虚数、纯虚数及的关系： 对于复数，当且仅当时，复数 是 ；当时，复数叫做 ；当且时，叫做 ；当且仅当时，就是 ‎ ‎4. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等. 这就是说，如果，，，，那么 ‎ ‎5. 复数集与其它数集之间的关系： .‎ ‎6. 复平面的有关概念：实轴是_____,虚轴是_______；复数对应的点是___________； 复数模的几何意义是________________.‎ ‎7. (1) 的几何意义是______________________________‎ ‎(2) 的几何意义是______________________________‎ ‎(3) 的几何意义是______________________________‎ ‎(4) 的几何意义是______________________________‎