2013年全国高校自主招生数学模拟试卷8 7页

‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷八 一、选择题（36分，每小题6分）‎ 本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．‎ ‎1．已知a为给定的实数，那么集合M={x| x2-3x-a2+2=0，x∈R}的子集的个数为 ‎（A） 1 （B） 2 （C） 4 （D） 不确定 ‎【答】（ C ）‎ ‎【解】 方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+‎4a2>0，方程有两个不相等的实数根．由M有2个元素，得集合M有22=4个子集．‎ ‎2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点; ‎ 命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点; ‎ ‎ 命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点.‎ ‎ 以上三个命题中正确的有 ‎ ‎（A） 0个 （B） 1个 （C） 2个 （D） 3个 ‎ ‎【答】（ B ）‎ ‎【解】 只有命题1对． ‎ ‎3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在(0，)上单调递增的偶函数是 ‎ ‎ （A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx|‎ ‎【答】（ D ）‎ ‎【解】 y=sin|x|不是周期函数．y=cos|x|=cosx以2为周期．y=|ctgx|在（0，）上单调递减．只有y=lg|sinx|满足全部条件．‎ ‎4．如果满足∠ABC=60°，AC=12， BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是 ‎（A） k= （B）024,4x+5y<22.令6x+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出x=,y=.‎ 所以2x-3y==0，即2x>3y． ‎ 也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究．‎ 二、填空题（54分，每小题9分）‎ ‎7．椭圆的短轴长等于．‎ ‎【解】 故．从而．‎ ‎8．若复数z1，z2满足| z1|=2，| z2|=3，3z1-2z2=，则z1·z2=．‎ ‎【解】 由3z1-2z2==‎ 可得 ‎．本题也可设三角形式进行运算．‎ ‎9．正方体ABCD—A1B‎1C1D1的棱长为1，则直线A‎1C1与BD1的距离是．‎ ‎【解】 作正方体的截面BB1D1D，则A‎1C1⊥面BB1D1D．设A‎1C1与B1D1交于点O，在面BB1D1D内作OH⊥BD1，H为垂足，则OH为A‎1C1与BD1的公垂线．显然OH等于直角三角形BB1D1斜边上高的一半，即OH=．‎ ‎10. 不等式的解集为．‎ ‎【解】 等价于或． ‎ 即或．‎ 此时或或．‎ ‎∴解为x >4或00．由此得 a12(a1+2d)2=(a1+d)4‎ 化简得‎2a12+‎4a1d+d2=0‎ 解得d=() a1.………………………………………………………………5分 而<0，故a1<0．‎ 若d=() a1，则； ‎ 若d=()a1，则；…………………………………………10分 但存在，故|q|<1．于是不可能．‎ 从而．‎ 所以a1=，d=() a1=()()=．……………………20分 ‎14．设曲线C1：（a为正常数）与C2：y2=2（x+m） 在x轴上方仅有一个公共点P．‎ ‎⑴ 求实数m的取值范围（用a表示）；‎ ‎⑵ O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当00，从而取值最大，此时yp=2，∴S=a．‎ 当m=时，xp=-a2，yp=，此时S=a．‎ 下面比较a与a的大小：‎ 令a=a，得a=.‎ 故当0a2>a3>a4>a5>a6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．‎ ‎ 【解】 设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为RFG．当Ri=ai ，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，RFG最小．…………………………………………5分 证明如下 ‎1°设当两个电阻R1，R2并联时，所得组件阻值为R：则．故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1>R2．‎ R1‎ R3‎ R2‎ ‎2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB：‎ ‎．‎ R3‎ R4‎ R1‎ R2‎ 显然R1+R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个．‎ ‎3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD：‎ ‎．‎ 若记，．则S1、S2为定值．‎ 于是．‎ 只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4