2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练15 平面向量的线性运算和坐标运算 20页

考点15 平面向量的线性运算和坐标运算 ‎【考点分类】‎ 热点一 平面向量的线性运算 ‎1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：‎ ‎①给定向量，总存在向量，使；‎ ‎②给定向量和，总存在实数和，使；‎ ‎③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；‎ ‎④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；‎ 上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________.‎ ‎【答案】2‎ ‎3.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是 .‎ ‎4.(2012年高考浙江卷理科5)设a，b是两个非零向量, 下列命题正确的是( )‎ A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ ‎5.(2012年高考辽宁卷理科3)已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是( )‎ ‎ (A) a∥b (B) a⊥b [来源:学科网ZXXK]‎ ‎(C) (D)a+b=ab ‎【答案】B ‎6. (2012年高考四川卷理科)设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）‎ A、 B、 C、 D、且 ‎7.(2012年高考全国卷理科6)中，边上的高为，若，则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．‎ ‎2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算．‎ ‎3. 用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.‎ 热点二 平面向量的坐标运算 ‎8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】‎ 已知点( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知向量，，若 ‎，则=（ ）‎ A．-4 B．‎-3 ‎‎ C．-2 D．-1‎ ‎10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，则= .‎ ‎11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】在四边形中，，,则该四边形的面积为（ ）‎ A. B. C.5 D.10 ‎ ‎12.(2012年高考广东卷理科3) 若向量=（2,3），=（4,7），则=( )‎ A （-2,-4） B (3,4) C (6,10 D (-6,-10)‎ ‎13.(2012年高考安徽卷理科8)在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量,则点的坐标是（ ）‎ ‎ ‎ ‎14.（2012年高考（福建文））已知向量,则的充要条件是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎15.（2012年高考（江西文））设单位向量。若,则____________.‎ ‎【方法总结】1．解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)的思想．‎ ‎2.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．‎ ‎(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．‎ ‎【考点剖析】‎ 一．明确要求 ‎1.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．‎ ‎2.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．‎ ‎3.了解平面向量基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．‎ ‎4.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．‎ ‎5.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．‎ ‎6.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. ‎ 二．命题方向 ‎1.平面向量的线性运算是考查重点．共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点．题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.‎ ‎2.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点．向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见．常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档.‎ 三．规律总结[来源:学,科,网]‎ 一个区别 向量坐标与点的坐标的区别：‎ 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A 的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．‎ 当平面向量平行移动到时，向量不变，即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．‎ 两个防范 ‎(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．‎ ‎(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.[来源:学_科_网]‎ 一条规律 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．‎ 两个防范 ‎(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠‎0”‎，否则λ可能不存在，也可能有无数个．‎ ‎(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．‎ ‎【考点模拟】‎ 一．扎实基础 ‎1. 【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】‎ 已知是平面向量，下列命题中真命题的个数是（ ）‎ ‎① ② ‎ ‎③ ④ ‎ A. 1 B. ‎2 ‎ C. 3 D. 4‎ ‎2. 【安徽省江淮名校2013届高考最后一卷理科数学】已知向量，，其中，则“x=‎2”‎是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要 ‎3. 【广东省惠州市2013届四月高三第一次模拟考试】已知向量，，，则（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎4.【山东省济宁市2013届高三上学期期末考试】已知点P是所在平面内一点，则是点P在线段AC上的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎5. 【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】‎ 已知向量且，则等于 （ ）‎ A. B‎.0 C . D.‎ ‎6.[安徽省宣城市6校2013届高三联合测评考]如图，正六边形ABCDEF中，，若，则=（ ）‎ A． B．‎1 ‎‎ C． D．3‎ ‎7. 【广东省潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测】平面四边形中，，则四边形是( )‎ ‎ A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 ‎8. 【山东省烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测】‎ 若向量,则下列结论中错误的是( ) ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．对任一向量，存在实数，使 ‎9. 【北京市西城区2013届高三上学期期末理】 已知向量，，.若向量与 向量共线，则实数 _____．‎ ‎10. 【江苏省南通市2013届高三第二次调研测试】在平面直角坐标系中，已知向量= (2，1)，向量= (3，5)，则向量的坐标为 ．‎ 二．能力拔高 ‎11. 【北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习】已知向量，.若，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试】在平行四边形中，‎ 点在边上， 则（ ）‎ A． B． ‎1 C． D．‎ ‎13. 【成都龙泉驿区2013届5月高三数学押题试卷】如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝，＝，则的值为（ ）‎ A．3 B. C．2 D.‎ ‎【答案】B ‎ ‎14. 【山东省济宁市2013届高三上学期期末考试文】已知O是所在平面内一点，D为BC边中点，且，则有( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎15. 【2013年山东省日照高三一模模拟考试】如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是( )‎ A.满足的点P必为BC的中点 ‎ B.满足的点P有且只有一个 C.的最大值为3 ‎ D.的最小值不存在 ‎16. 【河南中原名校2012—2013学年度第一学期期中联考】[设P,Q为△ABC内的两点，且 ‎，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎17. 【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】如右图,在△中, ,是上的一点,若,则实数的值为( ) ‎ A. B C. 1 D. 3‎ ‎18. 【山东省烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测】在中，是边中点，‎ 角，，的对边分别是，，，若，则的形状为 ‎ A. 等边三角形 B.钝角三角形 ‎ C.直角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形.‎ ‎19.【上海市闵行2013届高三一模】(理)已知△ABC的面积为，在△ABC所在的平面内有两 点P、Q，满足，，则四边形BCPQ的面积为 .‎ A B C P Q ‎20. 【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】已知向量，，其中分别是直角坐标系内x轴y轴正方向上的单位向量。‎ ‎（1）A,B,C能够成三角形，求实数m应满足的条件。‎ ‎（2）对任意m使不等式恒成立，求x的取值范围 三．提升自我 ‎21. 【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试】如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ A ‎22. 【上海市2013届高考普陀二模卷】 如图，△是边长为1的正三角形，点在△所在的平面内，且（为常数）.下列结论中，正确的是（ ）‎ ‎.当时，满足条件的点有且只有一个.‎ ‎.当时，满足条件的点有三个.[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎.当时，满足条件的点有无数个.‎ ‎.当为任意正实数时，满足条件的点是有限个.‎ ‎[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ x y O ‎23. 【上海市普陀2013届高三一模】如图,四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是( )‎ ‎（A）满足的点P必为BC的中点（B）满足的点P有且只有一个 ‎（C）的最大值为3 （D）的最小值不存在 P A B C D E x y ‎24. 【天津一中2012-2013学年高三年级一月考】在四边形中，，‎ ‎，则四边形的面积为 ．‎ ‎　‎ ‎25. 【2013年安徽省安庆市高三模拟考试（三模）】如图，倾斜角为的直线OP与单位圆在第一象限的部分交于点P，单位圆与坐标轴交于点A(-1,0)，点B(0,-1)，PA与y轴交于点N，PB与x轴交于点M，设 ‎（1）用角表示点M、点N的坐标；‎ ‎（2）求x+y的最小值. ‎ ‎【解析】（1）设，、、共线，设 ‎【考点预测】‎ ‎·‎ O D C B A ‎1. 如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的一点D，若，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎3. 已知是△外接圆的圆心，、、为△的内角，若，则的值为( )‎ ‎ ‎ ‎(A)1 (B)sinA (C)cosA (D)tanA A B C O D ‎4. 已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若，，则的最小值是 ．‎