2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷02（人教A版2019） 12页

‎2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷02（人教A版2019）‎ ‎（本卷满分150分，考试时间120分钟）‎ 测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1．直线恒过一定点，则此定点为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线可变形为：，若该方程对任意都成立，‎ 则，即，直线恒过点，故选D。‎ ‎2．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的( )。‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由，得：，是必要条件，‎ 而“”不一定有，也可能，故不是充分条件，故选B。‎ ‎3．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若 ‎，则( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ 则，故选C。‎ ‎4．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为( )。‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵两条直线与的距离为，∴所求圆的半径为，‎ 由得，由得，∴直径的两个端点、，‎ 因此圆心坐标，圆的方程为，故选B。‎ ‎5．在边长为的等边三角形中，于，沿折成二面角后，，此时二面角的大小为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】就是二面角的平面角，‎ ‎∵，∴，故选C。‎ ‎6．已知平面内的角，射线与、所成角均为，则与平面所成角的余弦值是( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三余弦公式知，∴，故选D。‎ ‎7．在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知建立空间直角坐标系，，，‎ 由平面知识得，设球心坐标为，‎ 则，‎ 由空间两点间距离公式知：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，，，∴半径为，故选A。‎ ‎8．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则 的取值范围为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线方程变形得：。‎ 由得，∴直线恒过点，‎ ‎，，由图可知斜率的取值范围为：或，‎ 又，∴或，即或，‎ 又时直线的方程为，仍与线段相交，∴的取值范围为，故选C。‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9．已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】BC ‎【解析】若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与、的交点分别为，，‎ 截得的线段的长，符合题意，‎ 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，‎ 解得，解得，‎ 由，得，‎ 解得，即所求的直线方程为，‎ 综上可知，所求直线的方程为或，故选BC。‎ ‎10．已知，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点坐标为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】BD ‎【解析】设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，‎ ‎∴的垂直平分线方程为，即，‎ ‎∵点在直线上，∴，‎ 又点到直线：的距离为，∴，即，‎ 联立可得、或、，∴所求点的坐标为或，‎ 故选BD。‎ ‎11．定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：(1)，，且、和构成右手系(即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致)；(2)的模(表示向量、的夹角)。‎ 如右图所示，在正方体中，有以下四个结论中，不正确的有( )。‎ A、与方向相反 B、‎ C、与正方体表面积的数值相等 D、与正方体体积的数值相等 ‎【答案】ABD ‎【解析】对于A、根据向量外积的第一个性质可知与的方向相同，故A错，‎ 对于B、根据向量外积的第一个性质可知与的方向相反，‎ 不可能相等，故B错，‎ 对于C、根据向量外积的第二个性质可知，‎ 则与正方体表面积的数值相等，故C对，‎ 对于D、与的方向相反，则，故D错，‎ 故选ABD。‎ ‎12．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点。若点在直线上，则下列结论不 正确的是( )。‎ A、当点为线段的中点时，平面 B、当点为线段的三等分点时，平面 C、在线段的延长线上，存在一点，使得平面 D、不存在点，使与平面垂直 ‎【答案】ABC ‎【解析】以为原点，、、为轴、轴、轴建系，‎ 由已知可得，，，，，‎ 则，，，，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 取，则，，则，‎ 设在直线上存在一点，使得平面，‎ 设则，且，‎ ‎，则，，，‎ 则，若平面，则与共线，‎ 则，此时无解，故不存在点，使得平面，故选ABC。‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知是空间任一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，且满足 ‎，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴，‎ ‎∵是空间任一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，‎ ‎∴，∴。‎ ‎14．已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 。（本小题每空2.5分）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意，或，‎ 当时方程为，即，‎ 圆心为，半径为，‎ 当时方程为，不表示圆。‎ ‎15．已知圆：和点，若顶点()和常数满足：对圆上任意一点，都有，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，∵，‎ ‎∴，‎ 任取、代入可得，‎ ‎，解得，，。‎ ‎16．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为 ‎，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面成角的正弦值为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵平面的方程为，∴平面的法向量可取，‎ 平面的法向量为，平面的法向量为，‎ 设两平面的交线的方向向量为，‎ 由，令，则直线与平面所成角的大小为，‎ 则。‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 如图所示，已知平行六面体中，各棱长均为，底面是正方形，且，设，，。‎ ‎(1)用、、表示，并求；‎ ‎(2)求异面直线与所成的角的余弦值。‎ ‎【解析】(1)∵， 2分 ‎∴‎ ‎， 4分 ‎∴； 5分 ‎(2)，‎ 则， 7分 又，，‎ ‎∴， 9分 ‎∴异面直线与所成的角的余弦值为。 10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎(1)求与向量共线且满足方程的向量的坐标；‎ ‎(2)已知，，，求点的坐标使得；‎ ‎(3)已知，，求：①；②与夹角的余弦值；③确定、的值使得与轴垂直，且。‎ ‎【解析】(1)∵与共线，故可设，由得：，‎ 故，∴； 2分 ‎(2)设，则，，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴点坐标为； 5分 ‎(3)①， 6分 ‎②∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴与夹角的余弦值为， 9分 ‎③取轴上的单位向量，，依题意，‎ 即，故，‎ 解得，。 12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知点，点，圆：。‎ ‎(1)求过点的圆的切线方程；‎ ‎(2)求过点的圆的切线方程，并求出切线长。‎ ‎【解析】由题意得圆心，半径，‎ ‎(1)∵，∴点在圆上，又， 2分 ‎∴切线的斜率， 4分 ‎∴过点的圆的切线方程是，即； 5分 ‎(2)∵，∴点在圆外部，‎ 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，即， 6分 又点到直线的距离，即此时满足题意， 7分 ‎∴直线是圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为， 8分 即，‎ 则圆心到切线的距离，解得， 9分 ‎∴切线方程为，即， 10分 综上可得，过点的圆的切线方程为或，‎ ‎∵，∴过点的圆的切线长为。 12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图所示，在三棱柱中，，，。‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)若，在棱上是否存在点，使得二面角的大小为。若存在，求的长；若不存在，说明理由。‎ ‎【解析】(1)证明：连接，∵为平行四边形，且，‎ ‎∴为菱形，， 2分 又∵，∴平面，∴，又∵，‎ ‎∴平面，∴ ； 4分 ‎ (2)解：∵，，，∴，‎ ‎∴、、两两垂直，以为坐标原点，‎ ‎、、的方向为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 5分 则、、、、，设，‎ 则，，，‎ 易知，平面，则平面的一个法向量， 7分 设是平面的一个法向量，则，‎ ‎∴，得， 9分 ‎∴，解得，‎ ‎∴在棱上存在点，当时，得二面角的大小为。 12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，‎ ‎，平面平面。‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值。‎ ‎【解析】(1)取的中点，连接，∵，，∴，‎ ‎∴四边形是平行四边形， 2分 ‎∴，又，∴， 3分 令，则，，‎ ‎∴，∴， 4分 又平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，又平面，∴； 5分 ‎(2)取的中点，连接、，则易知，，‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，∴，∴、、两两垂直， 6分 故可以以、、所在直线分别、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则、、、、，‎ ‎∴、、， 7分 设平面的法向量为，则，即，‎ ‎∴，令，则，∴为平面的一个法向量， 9分 设直线与平面所成的角为，‎ 则， 11分 ‎∴直线与平面所成角的正弦值为。 12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 如图所示，在多面体中，四边形、、均为正方形，为的中点，过、、的平面交于。‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)求二面角的余弦值。‎ ‎【解析】(1)证明：由正方形的性质可知，且， 1分 ‎∴四边形为平行四边形，∴， 2分 又∵平面，平面，∴平面， 3分 又∵平面，平面平面，∴； 4分 ‎(2)解：∵四边形、、均为正方形，‎ ‎∴，，且，‎ 以为原点，分别以、、为轴、轴、轴单位正向量，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系， 6分 可得点的坐标、、、、、，‎ 而点为的中点，∴， 7分 设平面的法向量为，‎ ‎，，则，即，‎ 令，则、，则， 9分 设平面的一个法向量，‎ ‎，，则，即，‎ 令，则、，则， 11分 设二面角的平面角为，经观察为锐角，‎ ‎∴。 12分