高考数学模拟试卷 2 (3) 11页

- 1 - 长郡中学 2018 届高考模拟卷（二） 数学（理科）(19) 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合  | 2A x x  ，  | 0 3B x x   ，则 A B  （ ） A． | 2x x  B． | 3x x  C． | 2 3x x  D． | 2 3x x  2.若 1iz i   ，则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.设曲线 C 是双曲线，则“C 的方程为 2 2 14 yx   ”是“C 的渐近线方程为 2y x  ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.若 2 2 1m n  ，则（ ） A． 1 1 m n  B． 1 1 2 2 log logm n C． ln( ) 0m n  D． 1m n   5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A．16 3  B． 3  C． 2 9  D．16 9  6.我们可以用随机模拟的方法估计 的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数 RAND 是产 生随机数的函数，它能随机产生 (0,1) 内的任何一个实数）．若输出的结果为 786 ，则由此可 估计 的近似值为（ ） - 2 - A．3.126 B．3.144 C．3.213 D．3.151 7.已知函数 ( ) sin( )f x x   （ 0  ，| | 2   ），其图象相邻两条对称轴之间的距离为 4  ， 将函数 ( )y f x 的图象向左平移 3 16  个单位后，得到的图象关于 y 轴对称，那么函数 ( )y f x 的图象（ ） A．关于点 ( ,0)16  对称 B．关于点 ( ,0)16  对称 C．关于直线 16x  对称 D．关于直线 4x   对称 8.《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的 配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．因为前四场播出后反响很好，所以节目组决定《将进 酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要 求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少 府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ） A．144 种 B．48 种 C．36 种 D．72 种 9.已知椭圆 E ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点为 F ，短轴的一个端点为 M ，直线l ： 3 4 0x y  交椭圆 E 于 A ， B 两点，若| | | | 6AF BF  ，点 M 与直线l 的距离不小于 8 5 ， 则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ ） A． 2 2(0, ]3 B． 5(0, ]3 C． 6[ ,1)3 D． 2 2[ ,1)3 - 3 - 10.已知变量 x ， y 满足条件 , 2, 3 6, y x x y y x        则目标函数 2 2 3x yz x y   的最大值为（ ） A． 1 2 B．1 C． 3 D． 6 2 2  11.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） A BCD 的外 接球， 3BC  ， 2 3AB  ，点 E 在线段 BD 上，且 6BD BE ，过点 E 作球O 的截面，则 所得截面圆面积的取值范围是（ ） A． 5 ,44       B． 7 ,44       C． 9 ,44       D． 11 ,44       12.已知函数 ( )f x 的导函数为 '( )f x ，且对任意的实数 x 都有 '( ) (2 3) ( )xf x e x f x   （ e 是自然对数的底数），且 (0) 1f  ，若关于 x 的不等式 ( ) 0f x m  的解集中恰有两个整数， 则实数 m 的取值范围是（ ） A． ( ,0]e B． 2[ ,0)e C．[ ,0)e D． 2( ,0]e 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 61(2 1)(1 )x x   的展开式中的常数项是 ． 14.已知数列 na 的首项为 3，等比数列 nb 满足 1n n n ab a  ，且 1009 1b  ，则 2018a 的值 为 ． 15.如图，在平面四边形 ABCD 中， 45A   ， 60B   ， 150D   ， 2 8AB BC  ， 则四边形 ABCD 的面积为 ． 16.如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形，去 掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星．设正八角星的中心为 O ，并且 1OA e  ， 2OB e  ，若将点O 到正八角星 16 个顶点的向量都写成 1 2e e   ， 、 R  的 - 4 - 形式，则   的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数 ( ) 2sin( )cos( ) 3sin 24 4f x x x x     ． （1）求函数 ( )f x 的最小正周期； （2）求函数 ( )f x 在区间 0, 2      上的最值及相应的 x 值． 18.如图，已知在四棱锥 P ABCD 中，O 为 AB 中点，平面 POC  平面 ABCD ， / /AD BC ， AB BC ， 2PA PB BC AB    ， 3AD  ． （1）求证：平面 PAB  平面 ABCD ； （2）求二面角O PD C  的余弦值． 19.1995 年联合国教科文组织宣布每年的 4 月 23 日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在 全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文 学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高 校随机抽取 100 名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成 7 组[20,30) ， [30,40) ，…，[80,90) ，并整理得到如图频率分布直方图： - 5 - （1）估计其阅读量小于 60 本的人数； （2）一只阅读量在[20,30) ，[30,40) ，[40,50) 内的学生人数比为 2:3:5．为了解学生阅读 课外书的情况，现从阅读量在[20,40) 内的学生中随机选取 3 人进行调查座谈，用 X 表示所 选学生阅读量在[20,30) 内的人数，求 X 的分布列和数学期望； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计 100 名学生该年课外阅读 量的平均数在第几组（只需写出结论）． 20.椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左右焦点分别为 1F ， 2F ，与 y 轴正半轴交于点 B ，若 1 2BF F 为等腰直角三角形，且直线 1BF 被圆 2 2 2x y b  所截得的弦长为 2． （1）求椭圆的方程； （2）直线l 与椭圆交于点 A 、C ，线段 AC 的中点为 M ，射线 MO 与椭圆交于点 P ，点O 为 PAC 的重心，探求 PAC 的面积 S 是否为定值，若是求出这个值，若不是，求 S 的取值范 围． 21.设函数 2( ) ln( 1 )f x x x x    ． （1）探究函数 ( )f x 的单调性； （2）若 0x  时，恒有 3( )f x ax ，试求 a 的取值范围； （3）令 6 2 41 1 1 1( ) ln ( ) 1 ( )9 2 2 2 n n n na         （ *n N ），试证明： 1 2 1 3na a a   … ． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 - 6 - 在直角坐标系 xOy 中，直线l 的方程是 2 2x  ，曲线 C 的参数方程为 2cos , 2 2sin x y       （ 为参数），以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）射线OM ：  （其中 50 12   ）与曲线C 交于O ，P 两点，与直线l 交于点 M ， 求 | | | | OP OM 的取值范围． 23.选修 4-5：不等式选讲 设函数 ( ) | 2 1|f x x  ． （1）设 ( ) ( 1) 5f x f x   的解集为 A ，求集合 A ； （2）已知 m 为（1）中集合 A 中的最大整数，且 a b c m   （其中 a ，b ， c 为正实数）， 求证：1 1 1 8a b c a b c      ． - 7 - 炎德 英才大联考长郡中学 2018 届高考模拟卷（二）数学（理科）答案(19) 一、选择题 1-5: BDADD 6-10: BBCBC 11、12： AA 二、填空题 13. 11 14.3 15. 24 4 3 16. 1 2,1 2     三、解答题 17.解：（1） ( ) sin( 2 ) 3sin 2 cos2 3sin 2 2sin(2 )2 6f x x x x x x        ， 所以 ( )f x 的最小正周期是 ． （2）因为 0 2x   ，所以 0 2x   ， 所以 726 6 6x     ， 当 6x  时， max( ) 2f x  ；当 2x  时， min( ) 1f x   ． 18.（1）证明：∵ / /AD BC ， AB BC ， 2BC AB  ， 3AD  ， ∴ 5OC  ， 10OD  ， 5CD  ， 2 2 2OD OC DC  ， ∴OC CD ，∴CD  平面 POC ， ∴CD PO ， ∵ PA PB AB  ，O 为 AB 中点， ∴ PO AB ，∴ PO  底面 ABCD ， ∴平面 PAB  平面 ABCD ． （2）如图建立空间直角坐标系O xyz ，则 (0,0, 3)P ， ( 1,3,0)D  ， (1,2,0)C ， ∴ (0,0, 3)OP  ， ( 1,3,0)OD   ， ( 1, 2, 3)CP    ， ( 2,1,0)CD   ， 设平面OPD 的一个法向量为 1 1 1( , , )m x y z ，平面 PCD 的法向量为 2 2 2( , , )n x y z ，则 由 0, 0, OP m OD m          可得 1 1 1 3 0, 3 0, z x y     取 1 1y  ，得 1 3x  ， 1 0z  ，即 (3,1,0)m  ， 由 0, 0, CP n CD n          可得 2 2 2 2 2 2 3 0, 2 0, x y z x y       取 2 3x  ，得 2 2 3y  ， 2 5z  ，即 ( 3,2 3,5)n  ， - 8 - ∴ 5 3 3cos , 4| | | | 10 40 m nm n m n            ． 故二面角O PD C  的余弦值为 3 4 ． 19.解：（1）100 100 10 (0.04 0.02 2) 20      （人）． （2）由已知条件可知： [20,50) 内的人数为：100 100 10(0.04 0.02 0.02 0.01) 10      ， [20,30) 内的人数为 2 人，[30,40) 内的人数为 3 人，[40,50) 内的人数为 5 人． X 的所有可能取值为 0，1,2， 3 0 3 2 3 5 1( 0) 10 C CP X C    ， 2 1 3 2 3 5 3( 1) 5 C CP X C    ， 1 2 3 2 3 5 3( 2) 10 C CP X C    ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 1 3 3 6( ) 0 1 210 5 10 5E X        ． 20.解：（1）由 1 2BF F 为等腰直角三角形可得b c ，直线 1BF ： y x b  被圆 2 2 2x y b  所截得的弦长为 2，所以 2a  ， 2b c  ，所以椭圆的方程为 2 2 14 2 x y  ． - 9 - （2）若直线l 的斜率不存在，则 1 3 66 32 2S     ． 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 y kx m  ，设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 即 2 2 1,4 2 , x y y kx m       则 1 2 2 4 1 2 kmx x k     , 2 1 2 2 2( 2) 1 2 mx x k   , 1 2 1 2 2 2( ) 2 1 2 my y k x x m k       , 由题意点 O 为 PAC 重心，设 0 0( , )P x y ，则 1 2 0 03 x x x   ， 1 2 0 03 y y y   ， 所以 0 1 2 2 4( ) 1 2 kmx x x k      ， 0 1 2 2 2( ) 1 2 my y y k       ，代入椭圆 2 2 14 2 x y  ，得 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1(1 2 ) (1 2 ) k m m k k    ，整理得 2 2 1 2 2 km  ， 设坐标原点O 到直线l 的距离为 d ，则 PAC 的面积 2 1 2 1 22 1 1 | | 3| | 3 1 | | 3 | | | |2 2 21 mS AC d k x x x x m k           2 2 2 2 3 4 2( 2)( ) 4 | |2 1 2 1 2 km m mk k       2 2 2 2 2 2(1 2 )3 | |2 1 2 k m mk     2 2 2 2 1 22(1 2 ) 1 2 3 623 2 1 2 22 kk k k       ． 综上可得 PAC 的面积 S 为定值 3 6 2 ． 21.解：（1）函数 ( )f x 的定义域为 R ． 由 2 1'( ) 1 0 1 f x x     ，知 ( )f x 是实数集 R 上的增函数． （2）令 3 2 3( ) ( ) ln( 1 )g x f x ax x x x ax       ， 则 2 2 2 1 (1 3 ) 1'( ) 1 x axg x x     ， - 10 - 令 2 2( ) 1 (1 3 ) 1h x x ax    ， 则 23 2 2 (1 6 ) 9(1 6 ) 9'( ) 1 1 x a axa x axh x x x          ． （i）当 1 6a  时， '( ) 0h x  ，从而 ( )h x 是[0, ) 上的减函数， 注意到 (0) 0h  ，则 0x  时， ( ) 0h x  ，所以 '( ) 0g x  ，进而 ( )g x 是[0, ) 上的减函数， 注意到 (0) 0g  ，则 0x  时， ( ) 0g x  时，即 3( )f x ax ． （ii）当 10 6a  时，在 1 6[0, )9 a a  上，总有 '( ) 0h x  ，从而知，当 1 6[0, )9 ax a  时， 3( )f x ax ； （iii）当 0a  时， '( ) 0h x  ，同理可知 3( )f x ax ， 综上，所求 a 的取值范围是 1[ , )6  ． （3）在（2）中，取 1 9a  ，则 3[0, )3x 时， 2 31ln( 1 ) 9x x x x    ， 即 3 21 ln( 1 )9 x x x x    ，取 21( )2 nx  ， 6 2 41 1 1 1 1( ) ln ( ) 1 ( ) ( )9 2 2 2 4 n n n n na          ， 则 1 2 1 1(1 ( ) ) 14 4 1 31 4 n na a a        … ． 22.解：（1）∵ cos , sin , x y        ∴直线l 的极坐标方程是 cos 2 2   ， 由 2cos , 2 2sin , x y       消参数得 2 2( 2) 4x y   ， ∴曲线C 的极坐标方程是 4sin  ． （2）将  分别代入 4sin  ， cos 2 2   ，得| | 4sinOP  ， 2 2| | cosOM  ， - 11 - ∴ | | 2 sin 2| | 2 OP OM  ， ∵ 50 12   ，∴ 50 2 6   ，∴ 2 20 sin 22 2   ， ∴ | | | | OP OM 的取值范围是 2(0, ]2 ． 23.解：（1） ( ) ( 1) 5f x f x   ，即| 2 1| | 2 1| 5x x    ， 当 1 2x   时，不等式化为1 2 2 1 5x x    ，解得： 5 1 4 2x    ； 当 1 1 2 2x   时，不等式化为1 2 2 1 5x x    ，不等式恒成立； 当 1 2x  时，不等式化为 2 1 2 1 5x x    ，解得： 1 5 2 4x  ． 综上可知，集合 5 5| 4 4A x x       ． （2）由（1）知 1m  ，则 1a b c   ． 则1 2a b c bc a a a    ，同理 2a c ac b b   ， 2a b ab c c   ， 则1 1 1 2 2 2 8a b c bc ac ab a b c a b c         ， 即1 1 1 8a b c a b c      ．