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‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十 一、选择题（36分） ‎ ‎1．给定公比为 q ( q≠ 1)的等比数列{ a n }，设 b 1 = a 1 + a 2 + a 3 , b 2 = a 4 + a 5 + a 6 ,…, b n = a 3 n -2 + a 3 n -1 + a 3 n ,…，则数列{ b n }(   ) ‎ ‎( A )是等差数列                 ( B )是公比为 q 的等比数列 ‎ ‎( C )是公比为 q 3 的等比数列     ( D )既非等差数列也非等比数列 ‎ 解析：(C).‎ ‎　　由题设，an=a1qn-1 ，则 ‎　　‎ ‎　　因此，｛bn｝是公比为q3的等比数列．‎ ‎2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 ‎ (| x |-1) 2 +(| y |-1) 2 ＜2的整点( x , y )的个数是(    ) ‎ ‎( A )16     ( B )17      ( C )18       ( D )25 ‎ 解析：(A)‎ ‎　　由(|x|-1)2+(|y|-1)2<2,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个．‎ ‎3．若(log23)x-(log53)x ≥(log23)-y-(log53)-y，则(    ) ‎ ‎( A ) x - y ≥0      ( B ) x + y ≥0      ‎ ‎ ( C ) x - y ≤0        ( D ) x + y ≤0 ‎ 解析：(B)‎ ‎　　记f(t)=(log23)t-(log53)t，则f(t)在R上是严格增函数．原不等式即f(x)≥f(-y)．‎ ‎　　故x≥-y，即x+y≥0．‎ ‎4．给定下列两个关于异面直线的命题： ‎ 命题Ⅰ：若平面 α 上的直线 a 与平面 β 上的直线 b 为异面直线，直线 c 是 α 与β 的交线，那么， c 至多与 a , b 中的一条相交； ‎ 命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。 ‎ 那么，(    ) ‎ ‎( A )命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确      ( B )命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 ‎ ‎( C )两个命题都正确                ( D )两个命题都不正确 ‎ 解析：(D)．‎ ‎　　如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．‎ ‎5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是(    ) ‎ ‎( A )0        ( B )1         ( C )2          ( D )3 ‎ 解析：(B)‎ ‎　　设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛．由题意，可得 ，即 =44+r．由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数．‎ ‎6．已知点 A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线 y 2 =4 x 交于另外两点 B , C ，那么，△ ABC 是(    ) ‎ ‎ ( A )锐角三角形    ( B )钝角三角形   ‎ ‎ ( C )直角三角形     ( D )答案不确定 解析：(C)‎ ‎　　设B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1，则直线BC的方程为 ，化得2x-(s+t)y+2st=0．‎ ‎　　由于直线BC过点(5，-2)，故 2×5-(s+t)(-2)+2st=0，即 (s+1)(t+1)=-4．‎ ‎　　因此， .‎ ‎　　所以，∠BAC=90°，从而△ABC是直角三角形．‎ 二、填空题（54分） ‎ ‎7．已知正整数 n 不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的 n 的个数是___________.‎ 解析： 6．‎ ‎　　首项为a为的连续k个正整数之和为 ‎　　　　　　．‎ ‎　　由Sk≤2000，可得60≤k≤62．‎ ‎　　当k=60时，Sk=‎60a+30×59，由Sk≤2000，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950；‎ ‎　　当k=61时，Sk=‎61a+30×61，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，1952；‎ ‎　　当k=62时，Sk=‎62a+31×61，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953．‎ ‎　　于是，题中的n有6个．‎ ‎8．复数(12+5i)2(239-i)的辐角主值是_________. ‎ 解析： ．‎ ‎　　z的辐角主值 ‎　　　　argz=arg［(12+5i)2(239-i)］‎ ‎　　　　　　=arg［(119+120i)(239-i)］‎ ‎ =arg［28561+28561i］=．‎ ‎8．在△ ABC 中，记 BC = a ， CA = b ， AB = c ，若‎9 a 2 +9 b 2 ‎-19 c 2 =0，则 =__________. ‎ 解析： ．‎ ‎　　　 ‎ ‎10．已知点 P 在双曲线上，并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么， P 的横坐标是_____. ‎ 解析： ．‎ ‎　　记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a=4, b=3, c=5, , 右准线l为. ‎ ‎　　如果P在双曲线右支，则 ‎　　　　　|PF1|=|PF2|+‎2a=ed+‎2a．‎ ‎　　从而，‎ ‎|PF1|+|PF2|=(ed+‎2a)+ed=2ed+‎2a>2d，‎ ‎　　这不可能；故P在双曲线的左支，则 ‎　　　　　|PF2|-|PF1|=‎2a,|PF1|+|PF2|=2d．‎ ‎　　两式相加得2|PF2|=‎2a+2d．‎ ‎　　又|PF2|=ed,从而ed=a+d．‎ ‎　　故 .‎ ‎　　因此，P的横坐标为．‎ ‎11．已知直线中的 a , b , c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______. ‎ 解析： 43‎ ‎　　设倾斜角为θ，则tgθ=->0．不妨设a>0，则b<0．‎ ‎　　(1)c=0,a有三种取法，b有三种取法，排除2个重复(3x-3y=0,2x-2y=0与x-y=0为同一直线)，故这样的直线有3×3-2=7条；‎ ‎　　(2)c≠0，则a有三种取法，b有三种取法，c有四种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有3×3×4=36条．‎ ‎　　从而，符合要求的直线有7+36=43条．‎ ‎12．已知三棱锥 S - ABC 的底面是正三角形， A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△ SBC 的垂心，二面角 H - AB - C 的平面角等于30°, SA =2 。那么三棱锥 S - ABC 的体积为__________. ‎ 解析： ．‎ ‎　　由题设，AH⊥面SBC．作BH⊥SC于E．由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB．故SC⊥面ABE．设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC．由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．同理，BO⊥AC．故O为△ABC的垂心．‎ ‎　　又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=．‎ 因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB． 所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角．故∠EFC=30°，‎ OC=SCcos60°= ，‎ ‎　　　　 SO=tg60°=×=3．‎ ‎　　又 OC=AB，故AB=OC=×=3．‎ ‎　　所以，VS-ABC=． ‎ 三、解答题(满分60分，每小题20分)‎ ‎13.已知当 x ∈[0,1]时，不等式 ‎ x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0，‎ 恒成立，试求θ的取值范围。 ‎ 解析：若对一切x∈［0，1］，恒有 f(x)=x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0，‎ ‎　　则 ‎　　　　cosθ=f(1)>0,sinθ=f(0)>0. 　(1)‎ ‎　　取 x0= ∈(0，1)，则 ．‎ ‎　　由于 +2x(1-x)，‎ ‎　　所以，00 　(2)‎ ‎　　反之，当(1)，(2)成立时，f(0)=sinθ>0，f(1)=cosθ>0，且x∈(0，1)时，f(x)≥2x(1-x)>0．‎ 先在［0,2π］中解(1)与(2)：‎ ‎　　由cosθ>0,sinθ>0，可得0<θ<.‎ ‎　　又-+>0, > , ‎ ‎　　　sin2θ>, sin2θ>,‎ 注意到 0<2θ<π，故有 <2θ< ,‎ ‎　　所以，<θ< .‎ 因此，原题中θ的取值范围是 2kπ+<θ<2kπ+ ,k∈Z．‎ ‎14.给定 A (-2,2)，已知 B 是椭圆上的动点， F 是左焦点，当| AB |+ | BF |取最小值时，求 B 的坐标。 ‎ 解析：记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，离心率为e．则a=5,b=4,c=‎ ‎==3,e==，左准线为x=-．‎ ‎　　过点B作左准线x=-的垂线，垂足为N，过A作此准线的垂线，垂足为M．由椭圆定义，‎ ‎　　　　|BN|==|BF| .‎ 于是， |AB|+|BF|=|AB|+|BN|≥|AN|≥|AM|(定值)，等号成立当且仅当B是AM与椭圆的交点时，此时B(，2)‎ ‎　　所以，当|AB|+|BF|取最小值时，B的坐标为(，2)． ‎ ‎15. 给定正整数 n 和正数 M ，对于满足条件≤ M 的所有等差数列 a 1 , a 2 , a 3 ,….，试求 S = a n +1 + a n +2 +…+ a 2 n +1 的最大值。 ‎ 解析：设公差为d,an+1=α,则 ‎　　S=an+1+an+2+…a2n+1=(n+1)α+d．‎ ‎　　故 .‎ ‎　　则 ‎　　　　 ‎ 因此 |S|≤(n+1)，‎ ‎　　且当 α=,d=· 时，‎ ‎　　S=(n+1)〔+··〕‎ ‎　　 =(n+1) =(n+1)‎ ‎　　由于此时4α=3nd,故 ．‎ ‎　　所以，S的最大值为(n+1)．‎ ‎ ‎