高二数学教案：第4讲 圆的方程综合 8页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 圆的方程综合 教学内容 ‎1. 掌握圆的一般方程和参数方程，并能应用其性质解题；‎ ‎2. 掌握点与圆，直线与圆的位置关系及应用。‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1. 圆的一般方程： . ‎ ‎(1) 圆的一般方程由圆的标准方程展开整理得到，它是以 为圆心， ‎ 以 为半径的圆；当时， ‎ 表示点；当，没有图形.‎ ‎(2) 圆的一般方程的特点：‎ ‎①和项的系数 且不为 ； 相同 ，零 ‎②不含 项； xy ‎③； >‎ ‎2. 点和圆的位置关系的判断方法：已知点与圆，‎ ‎（1）几何法：‎ ‎（2） 代数法：‎ ‎，点在圆外；‎ ‎，点在圆上；‎ ‎，点在圆内.‎ ‎3. 直线和圆的位置关系的判断方法：‎ ‎（1）几何法：设已知圆的圆心到已知直线的距离为，‎ 当时，直线圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交.‎ ‎（2） 代数法：把已知圆的方程与已知直线的方程联立方程组，得到关于或的一元二次方程，利用判别式来讨论直线和圆的位置关系，即时直线和圆相交；时直线和圆相离；时直线和圆相切.‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 求圆关于直线对称的圆的方程。‎ ‎【答案】：解法一：对称后的圆心为，它与原来的圆心关于直线对称 所以 解得 所以对称后圆心，半径不变，仍为 所以方程为：‎ 解法二：原来的圆心关于对称后的圆心为也就是 半径不变，方程为 试一试：求曲线关于对称的曲线方程 ‎【答案】：设所求曲线上任一点，则关于的对称点应在上 ‎，即 ‎【批注】：一般的关于的对称曲线可用此方法求，求得：‎ 例2. 已知圆的方程为。设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 。‎ 解：圆的标准方程为，由已知可得：四边形的面积，又因为过点的最长弦为直径，所以， 又因为一定与垂直，结合垂径定理可得，所以.‎ 试一试：已知，为圆的两条相互垂直的弦，垂直为，则四边形面积的最大值为 。‎ 答案：5‎ 例3. 如果实数满足,求的最大值、2x-y的最小值 ‎【答案】：（1）问题可转化为求圆上一点到原点连线的斜率的最大值, 由图形性质可知, 由原点向圆作切线,其中切线斜率的最大值即为的最大值 设过原点的直线为y=kx,即kx-y=0,‎ 由,解得或 ‎（2）x,y满足,‎ ‎ ‎ 试一试：如果实数满足方程，求 的最大值和最小值；的最小值；的最大值和最小值。‎ 解：（1） 的最大值和最小值；的最小值； 的最大值和最小值.‎ 例4. 已知圆的方程为.‎ ‎(1)直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；‎ ‎(2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程．‎ ‎【答案】：(1)①当直线l垂直于x轴时，直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，其距离为2满足题意；‎ ‎②当直线l不垂直于x轴时，‎ 设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.‎ 设圆心到此直线的距离为d，‎ 则2＝2，得d＝1.‎ ‎∴1＝，k＝，‎ 故所求直线方程为3x－4y＋5＝0.‎ 综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.‎ ‎(2)设点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，‎ Q点坐标为(x，y)，则N点坐标是(0，y0)．‎ ‎∵，‎ ‎∴，即.‎ 又∵x＋y＝4，∴．‎ ‎∴Q点的轨迹方程是．‎ 试一试： ‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为 .‎ ‎【答案】：2或0‎ ‎2. 直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于 .‎ ‎【答案】：－3或 ‎3. 自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则光线所在直线方程为_________ ‎ ‎【答案】：光线所在的直线与圆关于x轴对称的圆相切,求得或 ‎4. 已知直线l：kx-y-3k=0；圆M：x2+y2-8x-2y+9=0，‎ ‎(1)求证：直线l与圆M必相交；‎ ‎(2)当圆M截l所得弦最长时，求k的值。‎ ‎【答案】：(1)证明：直线l可化为：y=k(x-3)，过定点A(3,0)，又圆M：(x-4)2+(y-1)2=8而|AM|==<2，所以点A在圆M内，于是直线l与圆M必相交。‎ ‎(2)要使圆M截l所得弦最长，则l过圆心M，把点(4,1)代入直线方程得k=1。‎ ‎5. 设在圆上，则的最小值为 解：由距离公式的概念可知即为圆上的点与点的距离，又因为点与圆的圆心的距离为，所以可知的最小值为.‎ ‎6. 已知圆与直线相交于、两点，定点，若，求实数的值．‎ ‎【答案】：设、，‎ ‎ 由，消去得：， ①‎ ‎ 由题意：方程①有两个不等的实数根，∴，，‎ ‎ 由韦答定理：，‎ ‎ ∵，∴，∴，即，‎ ‎ 即， ②‎ ‎∵，∴，‎ ‎ ，代入②得：，即，‎ ‎∴，适合，所以，实数的值为。‎ ‎7. 如图，圆与轴的正半轴交于点B，P是圆上的动点，P点在轴上的投影是D，点M满足 ‎。‎ ‎ （1）求动点M的轨迹C的方程。‎ O P D M B ‎ （2）过点B的直线与M点的轨迹C交于不同的两点E、F，若，求直线的方程。‎ ‎【答案】：（1）‎ ‎ 设，则题意轴且M是DP的中点，‎ ‎ 所以 ‎ 又P在圆上，所以，即 ‎，即 ‎ （2）方法一：当直线的斜率不存在时，，不满足题意。 ‎ ‎ 设直线方程为，代入椭圆方程得：‎ ‎ △ ‎ ‎ 设，则　‎ ‎ 由知E是BF中点，所以　‎ ‎ 解得满足，所以 ‎ 即所求直线方程为： ‎ ‎ 注：解题过程中若不验证斜率不存在或△符号时，扣分。‎ ‎ 方法二：设，由知E是BF中点，又，所以，因都在椭圆上，所以 ‎ 解得：‎ ‎ 若，则 ‎ 所以直线方程为：‎ ‎ ‎ 本节课主要知识点：圆的一般方程，圆的参数方程，直线与圆的关系及应用。‎ ‎【巩固练习】‎ ‎1. 对于任意实数，直线与圆的位置关系是_________‎ ‎2. 为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为_______.‎ ‎3. 若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是___________；‎ ‎4. 若实数满足方程， 求的最大值.‎ 解：的最大值.‎ ‎5. 若圆上任意一点都使不等式恒成立，求实数的取值范围。‎ 解：‎ ‎【预习思考】‎ ‎1、椭圆的定义：‎ ‎2、椭圆的图像与性质：‎ 图像 y O x 标准方程 范围 顶点 对称性 焦点 ‎，，的意义 ‎2长轴长，短轴长，焦距，‎