2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练31 排列与组合、二项式定理（理） 16页

考点31 排列与组合、二项式定理（理）‎ ‎【考点分类】‎ 热点一 排列与组合 ‎1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】用十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为（ ）‎ A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 ‎ ‎3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】从这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为，共可得到的不同值的个数是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4.(2012年高考新课标全国卷理科2)将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、‎ 乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有 ‎（ ）‎ ‎ 种 种 种 种 ‎5. (2012年高考北京卷理科6)从0，2中选一个数字.从‎1.3.5‎中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )‎ A. 24 B. ‎18 C. 12 D. 6‎ ‎6．(2012年高考浙江卷理科6)若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）‎ A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 ‎7.(2012年高考山东卷理科11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）‎ ‎（A）232 (B)252 (C)472 (D)484‎ ‎【答案】C ‎8. (2012年高考辽宁卷理科5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）‎ ‎(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！‎ ‎6.(2012年高考安徽卷理科10)‎ ‎6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为（ ）‎ ‎ 或 或 或 或 ‎7. (2012年高考陕西卷理科8)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）‎ ‎（A） 10种 （B）15种 （C） 20种 （D） 30种 ‎ ‎ 则所有可能出现的情况共20种，故选C.‎ ‎8.(2012年高考全国卷理科11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）‎ ‎（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种 ‎9. (2012年高考四川卷理科11)方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）‎ A、60条 B、62条 C、71条 D、80条 综上，共有23+23+16=62种.‎ ‎10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .‎ 种，故不同的分法种数是种.‎ ‎11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】将六个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）.‎ ‎12.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）‎ ‎【方法总结】解排列组合的应用题要注意以下几点 ‎(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步．‎ ‎(2)深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辨证思维，多角度分析，全面考虑．‎ ‎(3)对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决．‎ ‎(4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同．在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复．‎ 热点二 二项式定理 ‎13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】‎ 使得 ( )[来源:Z.xx.k.Com]‎ A． B． C． D． ‎ ‎14.【2013年全国高考新课标（I）理科】设m为正整数，(x＋y)‎2m展开式的二项式系数的最大值为a，‎ ‎(x＋y)‎2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若‎13a=7b，则m＝ ( )‎ A、5 B、‎6‎ C、7 D、8‎ ‎15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】设函数 , 则当x>0时, 表达式的展开式中常数项为 （ ）‎ ‎ (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15‎ ‎16.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】的展开式中的系数是（ ）‎ A．56 B．‎84 ‎‎ C．112 D．168‎ ‎【答案】D ‎17.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知的展开式中的系数为5，则=（ ）‎ ‎（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1‎ ‎18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】展开式中的常数项为（ ）‎ A．80 B.-80 C.40 D.-40‎ ‎[来源:学|科|网]‎ ‎19.(2012年高考安徽卷理科7)的展开式的常数项是（ ）‎ ‎ ‎ ‎20. (2012年高考湖北卷理科5)设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=( )‎ A.0 B.1 C.11 D.12‎ ‎21.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】设常数，若的二项展开式中项的系数为，则.‎ ‎22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】设二项式的展开式中常数项为，则________.‎ ‎23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】二项式的展开式中，含的项的系数是____________.（用数字作答）‎ ‎24. (2012年高考福建卷理科11)的展开式中的系数等于8，则实数_________.‎ ‎25. (2012年高考湖南卷理科13) ( -)6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）‎ 所以二项展开式中的常数项为.‎ ‎26.(2012年高考全国卷理科15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为 .‎ ‎【方法总结】‎ ‎1．二项式的项数与项 ‎(1)二项式的展开式共有n＋1项，Can－kbk是第k＋1项．即k＋1是项数，Can－kbk是项．(2)通项是Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1,2，…，n)．其中含有Tk＋1，a，b，n，k五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．‎ ‎2．二项式系数的最大值，最小值要根据n的奇偶性确定同时注意二项式系数最大时该项的系数不一定最大，还要取决于a、b的系数．‎ ‎【考点剖析】[来源:Z*xx*k.Com]‎ 一．明确要求 ‎1.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．‎ ‎2.能解决简单的实际问题.‎ ‎3.能用计数原理证明二项式定理 ‎4.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 二．命题方向 以实际问题为背景考查排列、组合的应用，同时考查分类讨论的思想．以选择题或填空题的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查. 二项展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等是高考的热点．常以选择题、填空题的形式考查.‎ 三．规律总结 一个区别 排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．‎ ‎ 两个公式 ‎(1)排列数公式A＝ ‎(2)组合数公式C＝利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和组合问题中的组合数．‎ ‎①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．‎ ‎②‎ 要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．‎ 四字口诀 求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”‎ 一个防范 运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Can－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．‎ 一个定理 二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．‎ 两种应用 ‎(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．‎ ‎(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．‎ 三条性质 ‎(1)对称性；‎ ‎(2)增减性；‎ ‎(3)各项二项式系数的和；‎ 以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎【考点模拟】‎ 一．扎实基础 ‎1.【山东省济南市2013届高三高考第一次模拟考试】二项式的展开式中常数项是（ ）‎ A．28 B．‎-7 C．7 D．-28‎ ‎2. 【北京市顺义区2013届高三第一次统练】从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为（ ）‎ A.36 B.30 C.24 D.12‎ ‎3.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】若的展开式中第四项为常数项，则（ ） ‎ A．4 B．‎5 ‎ C．6 D．7‎ ‎4.【江西省南昌市2013届二模考试】将5名学生分到A,B,C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有（ ）‎ ‎ A.18种 B.36种 ‎ ‎ C.48种 D.60种 ‎5.【安徽省江淮名校2013届高考最后一卷理科数学】在的展开式中，的系数是（ ）‎ A．-25 B．‎45 ‎‎ C．-55 D．25‎ ‎6. 【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】从5位男生，4位女生中选派4位代表参 加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有 （ ）‎ ‎ A．80种 B．100种 C．120种 D．240种 ‎7. 【北京市顺义区2013届高三第一次统练】从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为 A.36 B.30 C.24 D.12‎ ‎【2013年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试长春三模】‎ ‎8. 【石室中学高2013级“一诊模拟”】反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录有三个不同点数时即停止抛掷，则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是（ ）‎ ‎（A）种 （B）种 （C）种 （D）种 ‎9.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为_____________.‎ ‎10.【浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷】的展开式的常数项是 ．‎ ‎[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ 二．能力拔高 ‎11. 【山东省滨州市2013届高三第一次模拟】2013年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生 申请当A，B，C三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人 只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A比赛项目，则不同的安排方案共有（ ）‎ ‎（A）20种 （B）24种 （C）30种 （D）36种 ‎【答案】B ‎12.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为 （ ）‎ ‎ A.24种 B.30种 C.36种 D. 81种 ‎13.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】若，则的常数项为（ ）‎ A． B．‎12 ‎‎ C． D．‎ ‎14.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少名教师，则不同的分配方案的种数为（ ）‎ ‎ A．12 B．‎36 C．72 D．108‎ ‎15.【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】 若展开式中的系数为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎16.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷】现有2门不同的考试要安排在连续的5天之内进行，每天最多考一门，且不能连续两天有考试,则不同的安排方案有( )‎ A.6种 B.8种 C.12种 D.16种 ‎17. 【成都龙泉驿区2013届5月高三数学押题试卷】二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）‎ A．180 B．‎90 ‎ C．45 D．360‎ ‎19. 【浙江省镇海中学2013年高三考前模拟】给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有4种颜色可供选择，则共有 种不同的染色方案．‎ ‎【答案】96 ‎ ‎20. 【江西省临川二中2013届高三12月月考】已知，则展开式中 的常数项为 。‎ 三．提升自我 ‎21. 【山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试】设，则二项式展开式中的项的系数为（ ）‎ ‎ A．-20 B．‎20 C．-160 D．160‎ 所以项的系数为.选C.‎ ‎22. 【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少名教师，则不同的分配方案的种数为（ ）‎ ‎ A．12 B．‎36 C．72 D．108‎ ‎23. 【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】在某次技能大赛中，有6位参赛者的成绩分别是 ‎70,76,72,70,72,90，从这6位参赛者中随机地选x位，其中恰有1位的成绩是72的概率是，则x等于（ ）‎ A．2 B．‎4 ‎‎ C．3 D．2或4‎ ‎24. 【河北省唐山一中、衡水一中2013届高三4月联考】某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 .‎ ‎25. 【浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷】从6名候选人中选派出3人参加、、三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加活动，则不同的选派方法有 种．‎ ‎【考点预测】‎ ‎1. (1-x)3(1-)3展开式中常数项是( )‎ A －20 B 18 C 20 D 0‎ ‎2. 设函数，其中，，则的展开式中的系数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 1,2,…,n共有n!种排列a1，a2，…，an(n≥2, nÎN*)），其中满足“对所有k=1,2,…,n都有ak≥k-2”的不同排列有 种. ‎ ‎4. 已知则 .‎