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‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十四 一选择题(每小题6分，共36分)‎ ‎1． 设等差数列{an }满足‎3a8=‎5a13且a1>0，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是( )‎ ‎ (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21‎ ‎2． 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，…，Z20，则复数Z，Z，…，Z所对应的不同的点的个数是( )‎ ‎ (A)4 (B)5 (C)10 (D)20‎ ‎3． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )‎ ‎ (A)1个 (B)2个 (C)50个 (D)100个 ‎4． 已知方程|x－2n|=k (n∈N*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( )‎ ‎ (A)k>0 (B)00，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是( )‎ ‎ (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21‎ ‎ 解：3(a+7d)=5(a+12d)，Þd=－a，令an=a－a (n－1)≥0，an+1= a－a n<0，得n=20．选C．‎ ‎2． 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，…，Z20，则复数Z，Z，…，Z所对应的不同的点的个数是( )‎ ‎ (A)4 (B)5 (C)10 (D)20‎ ‎ 解：设z1=cosθ+isinθ，则zk=z1εk－1，其中ε=cos+isin．ε20=1．ε15=－i，ε10=－1，ε5=i．‎ ‎ ∴ zk1995=(cos1995θ+isin1995θ) ε1995(k－1)= (cos1995θ+isin1995θ)(－i)k－1．‎ ‎ ∴ 共有4个值．选A．‎ ‎3． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )‎ ‎ (A)1个 (B)2个 (C)50个 (D)100个 解：把身高按从高到矮排为1~100号，而规定二人比较，身高较高者体重较小，则每个人都是棒小伙子．故选D．‎ ‎4． 已知方程|x－2n|=k(n∈N*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( )‎ ‎ (A)k>0 (B)00．‎ ‎ 由图象可得，x=2n+1时，k≤1．即k≤．故选B．‎ ‎ 又解：y=(x－2n)2与线段y=k2x(2n－10．且(2n－1)2－(4n+k2)(2n－1)+4n2>0，(2n+1)2－(4n+k2)(2n+1)+4n2≥0，2n－1<2n+k2<2n+1．Þ k≤．‎ ‎5． logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1的大小关系是 ‎(A) logsin1cos1< logcos1sin1< logsin1tan1< logcos1tan1‎ ‎(B) logcos1sin1< logcos1tan1< logsin1cos1< logsin1tan1‎ ‎(C) logsin1tan1< logcos1tan1< logcos1sin1< logsin1cos1‎ ‎(D) logcos1tan1< logsin1tan1< logsin1cos1< logcos1sin1‎ 解：<1<，故00，logcos1sin1>0，‎ 设logsin1cos1=a，则得(sin1)a=cos11；logcos1sin1=b，则(cos1)b=sin1>cos1，01，本题中取n=1995)．连结对边相应分点，把矩形ABCD分成n2个小矩形．‎ AB边上的分点共有n+1个，由于n为奇数，故必存在其中两个相邻的分点同色，(否则任两个相邻分点异色，则可得A、B异色)，不妨设相邻分点E、F同色．考察E、F所在的小矩形的另两个顶点E¢、F¢，若E¢、F¢异色，则△EFE¢或△DFF¢为三个顶点同色的小直角三角形．若E¢、F¢同色，再考察以此二点为顶点而在其左边的小矩形，…．这样依次考察过去，不妨设这一行小矩形的每条竖边的两个顶点都同色．‎ 同样，BC边上也存在两个相邻的顶点同色，设为P、Q，则考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一横边两个顶点异色，则存在三顶点同色的小直角三角形．否则，PQ所在列的小矩形的每条横边两个顶点都同色．‎ 现考察EF所在行与PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都与N同色，△MNH为顶点同色的直角三角形．‎ 由n=1995，故△MNH∽△ABC，且相似比为1995，且这两个直角三角形的顶点分别同色．‎ 证明2：首先证明：设a为任意正实数，存在距离为2a的同色两点．任取一点O(设为红色点)，以O为圆心，2a为半径作圆，若圆上有一个红点，则存在距离为2a的两个红点，若圆上没有红点，则任一圆内接六边形ABCDEF的六个顶点均为蓝色，但此六边形边长为2a．故存在距离为2a的两个蓝色点．‎ 下面证明：存在边长为a，a，2a的直角三角形，其三个顶点同色．如上证，存在距离为2a的同色两点A、B(设为红点)，以AB为直径作圆，并取圆内接六边形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一点为红色，则存在满足要求的红色三角形．若C、D、E、F为蓝色，则存在满足要求的蓝色三角形．‎ 下面再证明本题：由上证知，存在边长为a，a，2a及1995a，1995a，1995´2a的两个同色三角形，满足要求．‎ 证明3：以任一点O为圆心，a及1995a为半径作两个同心圆，在小圆上任取9点，必有5点同色，设为A、B、C、D、E，作射线OA、OB、OC、OD、OE，交大圆于A¢，B¢，C¢，D¢，E¢，则此五点中必存在三点同色，设为A¢、B¢、C¢．则DABC与DA¢B¢C¢为满足要求的三角形．‎ ‎ ‎