高中数学第一章解三角形1-2应用举例第3课时三角形中的几何计算达标检测含解析新人教A版必修5 6页

三角形中的几何计算 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，a＝5，b＝4，cos C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A．8 B．6 C．4 D．2‎ 解析：因为cos C＝，C∈(0，π)，‎ 所以sin C＝，‎ 所以S△ABC＝absin C＝×5×4×＝6.‎ 答案：B ‎2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于(　　)‎ A. B. C. D.3 解析：面积S＝＝bcsin A＝×1×c×，‎ 所以c＝4，‎ 因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝12＋42－2×1×4×＝13，‎ 所以＝＝.‎ 答案：A ‎3．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积是(　　)‎ A．8 B．16 C．18 D．32‎ 解析：在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝65，‎ 即AB2＋AD2－2AB·AD·cos B＝65，①‎ 在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝17，②‎ 又cos A＋cos B＝0.‎ - 6 -‎ ‎①＋②得AB2＋AD2＝41.‎ 因为平行四边形的周长为18，‎ 所以AB＋AD＝9，又AB2＋AD2＝41，‎ 所以AB＝4，AD＝5或AB＝5，AD＝4.‎ 所以cos A＝＝，‎ 所以sin A＝，‎ 故平行四边形的面积为×AB×AD×sin A×2＝16.‎ 答案：B ‎4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，tan C等于(　　)‎ A． B．－ C．－2 D．－2‎ 解析：S△ABC＝acsin B＝·1·c·＝，‎ 所以c＝4，‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝13，‎ 所以b＝，‎ 所以cos C＝＝－，‎ 所以sin C＝，‎ 所以tan C＝＝－＝－2.‎ 答案：C ‎5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于(　　)‎ A． B． C．2 D．3‎ 解析：因为b2－bc－2c2＝0，‎ 所以(b－2c)(b＋c)＝0，‎ 所以b＝2c.‎ 由a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 解得c＝2，b＝4，‎ 因为cos A＝，所以sin A＝，‎ - 6 -‎ 所以S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝.‎ 答案：A 二、填空题 ‎6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．‎ 答案：6 ‎7．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．‎ 解析：因为a－b＝4，所以a＞b，‎ 又因为a＋c＝2b，所以b＋4＋c＝2b，‎ 所以b＝4＋c，所以a＞b＞c.‎ 所以最大角为A，所以A＝120°，‎ 所以cos A＝＝－，‎ 所以b2＋c2－a2＝－bc，‎ 所以b2＋(b－4)2－(b＋4)2＝－b(b－4)，‎ 即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b，‎ 所以b＝10，所以a＝14，c＝6.‎ 故周长为30.‎ 答案：30‎ ‎8．在△ABC中，A＝，BC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，△BCD的面积为4，则AC的长是________．‎ 解析：设∠BCD＝θ，因为S△BCD＝4＝·CD·CB·sin θ，‎ 所以sin θ＝，θ∈(0，π)，所以cos θ＝±.‎ 在△BCD中，由余弦定理得 BD2＝CD2＋CB2－2CD·CB·cos θ，‎ 从而BD＝4或BD＝4.‎ 当BD＝4时，由＝得sin B＝＝，又由＝得AC＝＝2，‎ 当BD＝4时，同理可得AC＝4.‎ - 6 -‎ 综上，AC＝4或AC＝2.‎ 答案：4或2 三、解答题 ‎9.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAC＝∠DAC，CD＝2AB＝4.‎ ‎(1)若AC＝2，求△ABC的面积；‎ ‎(2)若∠ADC＝，求AC.‎ 解：(1)在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC，‎ 因为∠ABC＝，AB＝2，AC＝2，‎ 所以20＝4＋BC2＋4×BC×，‎ 所以BC2＋2BC－16＝0，‎ 所以BC＝2或BC＝－4(舍去)，‎ 所以S△ABC＝AB·BC·sin ∠ABC＝×2×2×＝2.‎ ‎(2)设∠BAC＝∠CAD＝θ，则0<θ<，∠BCA＝－θ，‎ 在△ABC中，＝，即＝，‎ 所以AC＝.‎ 在△ACD中，＝，即＝，‎ 所以AC＝.‎ 由＝，解得2sin θ＝cos θ，‎ 又0<θ<，所以sin θ＝，‎ 所以AC＝＝2.‎ - 6 -‎ ‎10．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足bsin A＋bcos A＝c.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若角A的平分线与BC相交于D点，AD＝AC，BD＝2，求△ABC的面积．‎ 解：(1)由题意，利用正弦定理可得 sin Bsin A＋sin Bcos A＝sin C＝sin(A＋B)，‎ 整理可得sin B＝cos B，所以B＝.‎ ‎(2)由AD＝AC，可知∠ACD＝∠ADC.‎ 设∠BAD＝∠DAC＝α，∠ACD＝∠ADC＝β，‎ 则 所以α＝30°，β＝75°，△ABD中，由正弦定理可得＝＝，‎ 所以AB＝＋，AD＝2，所以AC＝2，‎ 所以S△ABC＝AB·AC·sin 2α＝3＋.‎ B级　能力提升 ‎1．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为(　　)‎ A．40 B．20 C．40 D．20 解析：设另两边长为8x，5x，‎ 则cos 60°＝＝，‎ 解得x＝2.‎ 所以两边长是16与10，‎ 所以三角形的面积是×16×10×sin 60°＝40.‎ 答案：A ‎2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝2，1＋＝，则角C的值为________．‎ 解析：由正弦定理得1＋·＝，‎ 即＝，‎ - 6 -‎ 所以cos A＝，A∈(0，π)，A＝，sin A＝，‎ 由＝得sin C＝，又c