2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练10 导数的应用（单调性、最值、极值） 55页

考点10 导数的应用（单调性、最值、极值）‎ ‎【考点分类】‎ 热点一 利用导数研究函数的单调性 ‎1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示，则该函数的图像是（ ）‎ D C B A ‎ ‎ ‎2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】若函数在是增函数，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.（2012年高考（辽宁文））函数y=x2㏑x的单调递减区间为 （　　）‎ A．(1,1] B．(0,1] C．[1,+∞) D．(0,+∞)‎ ‎【答案】B ‎ ‎4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】‎ 设函数(其中).‎ ‎ (Ⅰ) 当时,求函数的单调区间；‎ ‎(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.‎ ‎5.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】设函数，，其中为 实数.‎ ‎（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；‎ ‎（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.‎ 当，即时，，又，且函数 在的图象不间断，∴在上存在零点.‎ 又当时，，故在是单调减函数，所以，在上只有一个零点.‎ 综上所述，当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.‎ ‎6.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】‎ 已知函数 ‎(Ι)设是的极值点，求，并讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明.‎ 故=，‎ 综上，当m≤2时，.‎ ‎7.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】‎ 已知函数 ‎（I）当时，讨论的单调性；‎ ‎（II）若时，，求的取值范围.‎ ‎8.【2013年普通高等学校统一考试(天津卷)理科】 ‎ 已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; ‎ ‎(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使. ‎ ‎(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 函数f(x)的定义域为，‎ ‎9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科】‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）(x1≠x2)时，x1+x2＜0.‎ 则有 ‎0‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎1‎ 减 极小值 增 ‎1‎ 所以. ‎ 当时,. ‎ 故. ‎ ‎11.（2012年高考（新课标理））已知函数满足满足;‎ ‎(1)求的解析式及单调区间;‎ ‎(2)若,求的最大值.‎ ‎【方法总结】‎ 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 ‎(1)确定函数f(x)的定义域．‎ ‎(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实数根．‎ ‎(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间．‎ ‎(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．‎ 热点二 利用导数研究函数的最值极值 ‎12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）‎ A． B.是的极小值点 ‎ C. 是的极小值点 D.是的极小值点 ‎ ‎[答案]D ‎13.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知函数f(x)=,下列结论中错误的是（ ）‎ ‎ （A）, f()=0‎ ‎ （B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形 ‎ （C）若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减 ‎ （D）若是f（x）的极值点，则 ()=0‎ ‎14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】设函数 ‎（ ）‎ ‎（A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值 ‎ ‎（C）既有极大值又有极小值 （D）既无极大值也无极小值 ‎15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】已知为自然对数的底数，设函数，则（ ）‎ A. ‎ 当时，在处取得极小值 ‎ B. 当时，在处取得极大值 ‎ C. 当时，在处取得极小值 ‎ D. ‎ 当时，在处取得极大值 ‎ ‎16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】已知为常数，函数有两个极值点，‎ ‎，则（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎17.（2012年高考（陕西理））设函数,则 （　　）‎ A．为的极大值点 B．为的极小值点 ‎ C．为的极大值点 D．为的极小值点 ‎【答案】D ‎【解析】,令得,时,,为减函数;时,,为增函数,所以为的极小值点,选D.‎ ‎18.（2012年高考（重庆理））设函数在R上可导,其导函数为,且函数 的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 （　　）‎ A．函数有极大值和极小值 ‎ B．函数有极大值和极小值 ‎ C．函数有极大值和极小值 ‎ D．函数有极大值和极小值 ‎19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】 设函数，其中，区间.‎ ‎（Ⅰ）求的长度（注：区间的长度定义为；‎ ‎（Ⅱ）给定常数，当时，求长度的最小值.‎ ‎22.（2012年高考（广东文））设,集合,,.‎ ‎(Ⅰ)求集合(用区间表示);‎ ‎(Ⅱ)求函数在内的极值点.‎ ‎,. ‎ ‎(Ⅱ),令可得.因为,所以有两根和,且. ‎ ‎①当时,,此时在内有两根和,列表可得 ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递增 极小值 递减 极大值 递增 所以在内有极大值点1,极小值点. ‎ ‎②当时,,此时在内只有一根,列表可得 ‎[来源:学*科*网]‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎+‎ 递增 极小值 递减 递增 所以在内只有极小值点,没有极大值点. ‎ ‎③当时,,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎+‎ 递增 极小值 递减 递增[来源:学科网ZXXK]‎ 所以在内只有极小值点,没有极大值点. ‎ ‎23.（2012年高考（湖南理））已知函数=,其中a≠0.‎ ‎(1) 若对一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.‎ ‎(2)在函数的图像上取定两点,,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 令则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ‎【方法总结】‎ ‎1.求函数极值的步骤 ‎(1)确定函数的定义域．‎ ‎(2)求方程f′(x)＝0的根．‎ ‎(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．‎ ‎(4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.‎ ‎2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展．从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值.[来源:Z_xx_k.Com]‎ 热点三 利用导数研究综合问题 ‎24.【2013年全国高考新课标（I）文科】已知函数，若，则 的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） (C) (D) ‎ ‎25.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若时，，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）设数列的通项，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）由已知，，.‎ 若，则当时，，所以.‎ ‎26.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理】‎ 设是正整数，为正有理数. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）设，记为不小于的最小整数，例如，，.‎ 令，求的值. ‎ ‎ （参考数据：，，，）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ）在④中，令，分别取值81，82，83，…，125，得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ………‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎27.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）文科】‎ ‎（I）证明：当 ‎ ‎（II）若不等式取值范围.‎ ‎28.【2013年全国高考新课标（I）理科】已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2.‎ ‎（Ⅰ）求a，b，c，d的值 ‎（Ⅱ）若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围.‎ ‎【答案】（1）因为曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，所以b=d=2；因为，故；，故，故；所以，；‎ ‎（2）令，则，由题设可得，故，令得，‎ ‎（1）若，则，从而当时，，当时，即在上最小值为，此时f(x)≤kg(x)恒成立；‎ ‎（2）若，，故在上单调递增，因为所以f(x)≤kg(x)恒成立 ‎（3）若，则，故f(x)≤kg(x)不恒成立；‎ 综上所述k的取值范围为.‎ ‎29.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】‎ 已知函数 ‎（I）求证： ‎ ‎（II）若取值范围.‎ 此时 综上：.‎ ‎30.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】‎ 设，，已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，称为、关于的加权平均数.‎ ‎（i）判断, ,是否成等比数列，并证明；‎ ‎（ii）、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数，记为H. ‎ 若，求的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎31.（2012年高考（天津文））已知函数 ‎(I)求函数的单调区间;‎ ‎ (II)若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;‎ ‎(III)当时,设函数在区间上的最大值为,最小值为,记,求函数在区间上的最小值.‎ ‎【解析】(Ⅰ) ‎ ‎ 或，‎ ‎ 得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为 ‎32.（2012年高考（陕西文））设函数 ‎(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;‎ ‎(2)设n为偶数,,,求b+‎3c的最小值和最大值;‎ ‎(3)设,若对任意,有,求的取值范围;‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎ 综上可知，．‎ ‎ 注：（ⅱ）（ⅲ）也可合并并证明如下：‎ ‎ 用，当，‎ ‎ ‎ ‎【方法总结】‎ 利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意x∈[a，b]都有f(x)≥g(x)，可设h(x)＝f(x)－g(x)只要利用导数说明h(x)在[a，b]上的最小值为0即可．解题技巧总结如下：‎ ‎（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.‎ ‎（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.‎ ‎（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.‎ ‎【考点剖析】‎ 一．明确要求 ‎1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)．‎ ‎2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).‎ ‎3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．‎ ‎4.会利用导数解决某些实际问题.‎ 二．命题方向 ‎1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点．‎ ‎2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值．解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题.‎ ‎3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的考点且每年必考！‎ ‎4.选择题、填空题主要考查函数的最值，而解答题则考查函数综合问题，一般难度较大.‎ 三．规律总结 两个注意 ‎(1)注意函数定义域的确定．‎ ‎(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．‎ 两个条件 ‎(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．‎ ‎(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．‎ 三个防范 ‎(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．‎ ‎(2)f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0取极值的既不充分也不必要条件．‎ 如①y＝|x|在x＝0处取得极小值，但在x＝0处不可导；‎ ‎②f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．‎ ‎(3)若y＝f(x)可导，则f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取极值的必要条件．‎ ‎【考点模拟】‎ 一．扎实基础 ‎1. 【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】设函数在定义域内的导函数为，若的图象如图1所示，则的图象可能为（ ）‎ ‎3. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】已知常数、、都是实数，‎ 的导函数为，的解集为，若 的极小值等于，则的值是( )‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎4. 【东北三校2013届高三4月第二次联考】当时，函数的图像大致是( )‎ ‎5. 【安徽省淮南一中、颍上一中、怀远一中、蒙城一中四校2013届高三5月联考】‎ 函数在R上可导，且导函数满足则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 【安徽省马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测】已知函数 ‎，则下列结论正确的是( )‎ ‎（A）在上恰有一个零点 （B）在上恰有两个零点 ‎（C）在上恰有一个零点 （D）在上恰有两个零点 ‎7. 【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】已知在处取最大值，以下各式正确的序号为 （ ）‎ ‎①②③④⑤‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知函数=有零点，则的取值范围是 .‎ ‎9. 【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】‎ 函数在区间上最大值为 .‎ ‎10. .【2013年浙江省第二次五校联考】设函数（为实数），在区间和上单调递增，则实数的取值范围为______________．‎ 二．能力拔高 ‎11. .【浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷】设函数的导函数为，对任意R都有成立，则（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）的大小不确定 ‎【答案】C ‎ ‎12. 【北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）】已知函数是 定义在上的奇函数，且当时，（其中是的导函 数），若，，，则，，的大 小关系是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎13. 【浙江省镇海中学2013年高三考前模拟】已知函数,则下列说法不正确的是（ ）‎ ‎（A）当时，函数有零点 ‎（B）若函数有零点，则 ‎（C）存在，函数有唯一的零点 ‎（D）若函数有唯一的零点，则 ‎14. 【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】设D是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间D上存在次不动点，若函数在区间上存在次不动点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎15. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】（本小题满分12分）‎ 已知．‎ ‎（Ⅰ）求的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎16. 【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】已知函数 ‎（Ⅰ）若在（0，）单调递减，求a的最小值； ‎ ‎（Ⅱ）若f(x)有两个极值点，求a的取值范围.‎ ‎…7分 ‎17. 【广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高考第一次联合模拟考试】‎ ‎ 已知函数f（x）=x|x－a|－lnx，a∈R.‎ ‎ （Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；‎ ‎ （Ⅱ）若f（x）>0恒成立，求a的取值范围.‎ ‎ 18. 【2013年哈尔滨市第三中学高三四月第二次高考模拟考试】[来源:Z_xx_k.Com]‎ 已知函数.‎ ‎（1）若函数满足，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；‎ ‎（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）当时，试比较与的大小.‎ ‎ 19. 【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】 (本题满分14分) 设函数，．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性； ‎ ‎（Ⅱ）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；‎ ‎（Ⅲ）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ）当时，恒成立 等价于恒成立， ．．．．．．．．．．．11分 记，所以 ‎， .‎ ‎20. 【山东省淄博市2013届高三3月第一次模拟考试】(理科)（本小题满分13分）‎ 已知函数， 令.‎ ‎ (Ⅰ)当时，求的极值；‎ ‎(Ⅱ) 当时，求的单调区间；‎ ‎(Ⅲ)当时，若存在，‎ 使得成立，求的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）依题意，‎ ‎ 单调递增区间是；‎ 当时，的单调递减区间是；‎ 三．提升自我 ‎21. 【山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试】定义在R上的函数的导函数为，已知是偶函数. 若，且，则与的大小关系是( )‎ A． B． ‎ ‎ C． D．不确定 ‎【答案】C ‎ ‎【解析】由可知，当时，函数递减.当时，函数递增.因为函数是偶函数，所以，，即函数的对称轴为.所以若，则.若，则必有，则，此时由，即，综上，选C.‎ ‎22. 【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知函数，设，且函数的零点均在区间内，圆的面积的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎23. 【湖南省永州市2013届高三第一次模拟考试】 已知函数． ‎ ‎(1) 若函数在定义域内为减函数，求实数的取值范围；‎ ‎(2) 如果数列满足，，试证明：‎ 当时，．(本题满分13分)‎ 解：(1) 函数的定义域为.‎ ‎，，….，‎ 将这n－2个式子相加得 [来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎，将代入得 故当时，　　　 　　　　　　　　　　　…………….13分 ‎24. 【湖北省八校2013届高三第二次联考】已知函数，且在处的切线方程为 ‎（1）求的解析式； ‎ ‎（2）证明：当时，恒有 ‎（3）证明：若且则 时，;‎ 时，.‎ ‎ （12分）‎ ‎.‎ ‎ （14分）‎ ‎25. 【浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷】设函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）如果是函数的一个极值点，求实数a的值及的最大值；‎ ‎（Ⅱ）求实数a的值，使得函数f(x)同时具备如下的两个性质：‎ ‎ ① 对于任意实数且，恒成立；‎ ‎② 对于任意实数且， 恒成立．‎ ‎ ……………8分 ‎【考点预测】‎ ‎1. 设函数有三个零点、x2、x3，且则下列结论正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.函数满足，，则不等式的解集为______.‎ ‎3. 定义在R上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x≠0时, ,则函数的零点的个数为( )‎ A.1 B‎.2 ‎ C.0 D.0或2‎ ‎4. 若函数对任意的实数，，均有，则称函数 是区间上的“平缓函数”. ‎ ‎(1) 判断和是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；‎ ‎(2) 若数列对所有的正整数都有 ，设, ‎ 求证： .‎ 当 ‎5. 已知函数（）.‎ ‎(1)若函数在处取得极大值,求的值;‎ ‎(2)时,函数图象上的点都在所表示的区域内,求的取值范围;‎ ‎(3)证明:，.‎ 综上，－ln(2n＋1)＜2， ……………………………… 12分