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- 2021-07-01 发布
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专题六 第二讲
一、选择题
1.(2013·常德市模拟)设m、n是不同的直线,α、β是不同的平面,且m、n⊂α,则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ∵m、n⊂α,α∥β⇒m∥β且n∥β;若m∥β,n∥β,m⊂α,n⊂α,则当m与n相交时,α∥β,否则α∥β不成立,故选A.
2.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( )
A.x+y-2=0 B.y-1=0
C.x-y=0 D.x+3y-4=0
[答案] A
[解析] 本题主要考查了过圆内一点最短弦问题及点斜式方程的求法.
两部分的面积之差最大是指直线与圆相交弦长最短时,此时直线与OP垂直(如图所示),kOP=1,则所求直线斜率为-1.故所求直线方程为y-1=-(x-1)即x+y-2=0.
3.(文)(2014·衡水中学模拟)若{an}是等差数列,首项a1>0,a2011+a2012>0,a2011·a2012<0,则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是( )
A.2011 B.2012
C.4022 D.4023
[答案] C
[解析] ∵a2011+a2012>0,a2011·a2012<0,a1>0,
∴a2011>0,a2012<0,∴S4022>0,S4023<0,∴选C.
(理)(2014·郑州市质检)等差数列{an}中的a1、a4027是函数f(x)=x3-4x2+12x+1的极值点,则log2a2014( )
A.2 B.3
C.4 D.5
[答案] A
[解析] f′(x)=x2-8x+12=0则x1=2,x2=6,即a1=2,a4027=6或a1=6,a4027=2,a2014==4
∴log2a2014=2,故选A.
4.(2014·东北三省三校二模)设函数f(x)的导函数为f′(x),若对任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立,则( )
A.f(ln2014)<2014f(0)
B.f(ln2014)=2014f(0)
C.f(ln2014)>2014f(0)
D.f(ln2014)与2014f(0)的大小关系不确定
[答案] C
[解析] 令g(x)=,则
g′(x)==>0,
∴g(x)为增函数,∵ln2014>0,∴g(ln2014)>g(0),
即>,
∴f(ln2014)>2014f(0),故选C.
5.将正奇数1,3,5,7,…排成五列(如下表),按此表的排列规律,89所在的位置是( )
A.第一列 B.第二列
C.第三列 D.第四列
[答案] D
[解析] 正奇数从小到大排,则89位居第45位,而45=4×11+1,故89位于第四列.
6.观察下图:
则第( )行的各数之和等于20112.( )
A.2010 B.2009
C.1006 D.1005
[答案] C
[解析] 由题设图知,第一行各数和为1;第二行各数和为9=32;第三行各数和为25=52;第四行各数和为49=72;…,∴第n行各数和为(2n-1)2,令2n-1=2011,解得n=1006.
[点评] 观察可见,第1行有1个数,第2行从2开始有3个数,第3行从3开始有5个数,第4行从4开始有7个数,…,第n行从n开始,有2n-1个数,因此第n行各数的和为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)==(2n-1)2.
二、填空题
7.(文)(2013·眉山二诊)已知2+=22×,3+=32×,4+=42×,…,若9+=92×(a、b为正整数),则a+b=________.
[答案] 89
[解析] 观察前三式的特点可知,3=22-1,8=32-1,15=42-1,故其一般规律为n+=n2×,此式显然对任意n∈N,n≥2都成立,故当n=9时,此式为9+=81×,∴a=80,b=9,a+b=89.
(理)(2013·陕西理,14)观察下列等式
12=1,
12-22=-3,
12-22+32=6,
12-22+32-42=-10,
……
照此规律,第n个等式可为________.
[答案] 12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1·(n∈N*)
[解析] 观察上述各式等号左边的规律发现,左边的项数每次加1,故第n个等式左边有n项,每项所含的底数的绝对值也增加1,依次为1,2,3…n,指数都是2,符号成正负交替出现可以用(-1)n+1表示,等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和,故等式的右边可以表示为
(-1)n+1·,所以第n个式子可为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1
·(n∈N*).
8.(2014·哈三中二模)对称数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等,显然2位对称数有9个;11,22,33,…,99,3位对称数有90个,101,111,121,…,191,202,…,999,则2n+1(n∈N*)位对称数有________个.
[答案] 9×10n
[解析] 易知对称数的位数与个数如表:
位数
2
3
4
5
…
个数
9
90
90
900
…
∴2n+1倍对称数有9×10n个.
9.(文)(2014·东北三省三校二模)观察下列等式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第n个等式为______________.
[答案] 13+23+…+n3=
[解析] 本题考查归纳推理,等式左边是连续n个正整数的立方和,右边的数都是整数的平方,由于1=1,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,∴第n个等式右边是(1+2+3+…+n)2,即[]2,
故填13+23+…+n3=.
(理)(2014·石家庄模拟)已知数列{an}:,,,,,,,,,,…,根据它的前10项的规律,则a99+a100的值为________.
[答案]
[解析] 由前10项的构成规律知,分子分母和为n+1(n∈N*)的共有n项,从和为2到和为n+1的最后一项,共有1+2+3+…+n=项,当n=13时,=91,n=14时,=105,因此a99和a100分别为和为15的第8项和第9项,∴a99+a100=+=.
三、解答题
10.(文)已知函数f(x)=+lnx(a∈R),当x=1时,函数y=f(x)取得极小值.
(1)求a的值;
(2)证明:若x∈(0,),则f(x)>-x.
[解析] (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f ′(x)=-+=.
∵x=1时函数y=f(x)取得极小值,
∴f ′(1)=0,∴a=1.
当a=1时,在(0,1)内f ′(x)<0,在(1,+∞)内f ′(x)>0,
∴x=1是函数y=f(x)的极小值点,满足题意.
∴a=1.
(2)证明:f(x)>-x等价于:f(x)+x>
令g(x)=f(x)+x,则g ′(x)=+1=,
令h(x)=x2+x-1.
∵h(0)=-1<0,h()=-<0,
∴0g(),即g(x)>2-ln2+=+(1-ln2)>,∴f(x)>-x.
(理)(2014·沈阳市质检)已知函数f(x)=mx-sinx,g(x)=axcosx-2sinx(a>0).
(1)若函数y=f(x)是(-∞,+∞)上的单调递增函数,求实数m的最小值;
(2)若m=1,且对于任意x∈[0,],都有不等式f(x)≥g(x)成立,求实数a的取值范围.
[解析] (1)∵函数f(x)=mx-sinx在R上单调递增,
∴f′(x)≥0恒成立,
∵f′(x)=m-cosx,
∴m≥cosx,∴mmin=1.
(2)∵m=1,∴函数f(x)=x-sinx,
∵f(x)≥g(x),∴x+sinx-axcosx≥0,
对于任意x∈[0,],令H(x)=x+sinx-axcosx,
则H′(x)=1+cosx-a(cosx-xsinx)=1+(1-a)cosx+axsinx.
①当1-a≥0时,即00,
∴H(x)在[0,]上为单调增函数,
∴H(x)≥H(0)=0符合题意,∴01时,令h(x)=1+(1-a)cosx+axsinx,
于是h′(x)=(2a-1)sinx+axcosx,
∵a>1,∴2a-1>0,∴h′(x)≥0,
∴h(x)在[0,]上为单调增函数,
∴h(0)≤h(x)≤h(),即2-a≤h(x)≤a+1,
∴2-a≤H′(x)≤a+1.
(ⅰ)当2-a≥0,即12时,存在x0∈(0,),使得当x∈(0,x0)时,有H′(x)<0,
此时H(x)在(0,x0)上为单调减函数,
从而H(x)0恒成立.
综上所述,实数a的取值范围为00,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由零点存在性定理知,选A.
(理)(2014·山东理,4)用反证法证明命题“设a、b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
[答案] A
[解析] 至少有一个实根的否定为:没有实根.
12.(文)正方形ABCD的边长是a,依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形,再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形,依次得到一系列的正方形,如图所示.现有一只小虫从A点出发,沿正方形的边逆时针方向爬行,每遇到新正方形的顶点时,沿这个正方形的边逆时针方向爬行,如此下去,爬行了10条线段.则这10条线段的长度的平方和是( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
[答案] A
[解析] 由题可知,这只小虫爬行的第一段长度的平方为a=(a)2=a2,第二段长度的平方为a=(a)2=a2,…,从而可知,小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a=a2为首项,为公比的等比数列,所以数列的前10项和为S10==.
(理)对于大于1的自然数m的三次幂可以用技术进行以下方式的“分裂”:23=,33=,43=,…,仿此,若m3的“分裂数”中有一个是59,则m=( )
A.7 B.8
C.9 D.10
[答案] B
[解析] 由23,33,43的“分裂”规律可知m3的分裂共有m项,它们都是连续的奇数,其第一个奇数为(m-2)(m+1)+3,当m=8时,第一个奇数为57,故m=8,此时83=57+59+61+63+65+67+69+71.
13.已知正三角形内切圆的半径是其高的,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是( )
A.正四面体的内切球的半径是其高的
B.正四面体的内切球的半径是其高的
C.正四面体的内切球的半径是其高的
D.正四面体的内切球的半径是其高的
[答案] C
[解析] 原问题的解法为等面积法,即S=ah=3×ar⇒r=h,类比问题的解法应为等体积法,V=Sh=4×Sr⇒r=h,即正四面体的内切球的半径是其高的,所以应选C.
14.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2,②已知a、b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( )
A.①与②的假设都错误
B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确;②的假设错误
D.①的假设错误;②的假设正确
[答案] D
[解析] 反证法的实质是命题的等价性,因为命题p与命题的否定¬p真假相对,故直接证明困难时,可用反证法.故选D.
15.(2014·邯郸市模拟)已知直线y=k(x+1)(k>0)与函数y=|sinx|的图象恰有四个公共点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)其中x10)与y=|sinx|图象恰有四个公共点,如图
∴当x∈(π,2π)时,函数y=|sinx|=-sinx,y′=-cosx.
依题意,切点为(x4,y4),∴k=-cosx4,
又x∈(π,2π)时,|sinx4|=-sinx4
∴y4=k(x4+1),即-sinx4=(-cosx4)·(x4+1),
∴sinx4=(x4+1)cosx4,故选B.
二、填空题
16.(文)(2014·新课标Ⅰ理,14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C
三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:我没去过C城市;
丙说:我们三人去过同一个城市.
由此可判断乙去过的城市为________.
[答案] A
[解析] 由于甲没去过B城市,且比乙去过的城市多,因此甲最多去过两个城市,因此甲去过A、C城市,又乙没去过C城市,三人去过同一城市,则该城市甲必去过,故只能是A城市.
(理)(2014·河北衡水中学二调)椭圆中有如下结论:椭圆+=1(a>b>0)上斜率为1的弦的中点在直线+=0上,类比上述结论:双曲线-=1(a,b>0)上斜率为1的弦的中点在直线________上.
[答案] -=0
[解析] 椭圆+=1(a>0,b>0)上斜率为1的弦的中点在直线+=0上.类比上述结论可知,双曲线-=1(a>0,b>0)上斜率为1的弦的中点在直线-=0上.
17.(文)(2013·哈尔滨质检)对于任意实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数.例如:[1]=1,[2.5]=2.那么[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]=________.
[答案] 8204
[解析] 依题意,当2k≤n<2k+1(k∈N)时,k≤log2nx2+y2+xy=a2,
∴c>a,又a2=x2+xy+y2>xy=b2,∴a>b,∴c>a>b,
∵x+y+>显然成立,
∴<1,
∴c-a=x+y-=<=b,
∴a+b>c.
即p=1时,存在以a、b、c为三边长的三角形.
(2)∵a