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- 2021-07-01 发布
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高考填空题分项练8 圆锥曲线
1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是________.
答案 4
解析 2x2-y2=8可变形为-=1,则a2=4,a=2,2a=4.故实轴长为4.
2.已知双曲线C:-=1 (a>0,b>0)的焦距为10,点P(1,2)在C的渐近线上,则C的方程为__________.
答案 -=1
解析 由题意,得双曲线的渐近线方程为y=±x,
且c=5.因为点P(1,2)在C的渐近线上,所以b=2a,
所以a2=5,b2=20.
所以C的方程为-=1.
3.(2018·全国大联考江苏卷)过双曲线C:-=1(b>0)的左焦点F1作直线l与双曲线C的左支交于M,N两点.当l⊥x轴时,MN=3,则右焦点F2到双曲线C的渐近线的距离是________.
答案
解析 由题意,设双曲线C的左焦点为F1(-c,0)(c>0),
则c2=b2+4.
当l⊥x轴时,将直线l的方程x=-c代入双曲线方程,
化简得y2=,即y=±,
再由MN=b2=3,可得c=,
从而右焦点F2(,0)到双曲线C的渐近线x±2y=0的距离d==.
4.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为________.
答案
解析 不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),
则有即
①÷②得e=.
5.已知椭圆+=1内有两点A(1,3),B(3,0),P为椭圆上一点,则PA+PB的最大值为________.
答案 15
解析 由椭圆方程可知点B为椭圆的右焦点,
设椭圆的左焦点为B′,
由椭圆的定义可知 PB=2a-PB′=10-PB′,
则PA+PB=10+(PA-PB′),
则(PA-PB′)max=AB′==5,
据此可得PA+PB的最大值为10+5=15.
6.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离为,则该椭圆的方程为________.
答案 +=1或+=1
解析 由题意知解得
所以椭圆方程为+=1或+=1.
7.(2018·常州期末)在平面直角坐标系xOy中,设直线l: x+y+1=0与双曲线C: -=1(a>0,b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧,则双曲线C的离心率e的取值范围是________.
答案 (1,)
解析 易知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,
联立得x=-,
联立得x=,
由题意,得<0,即a>b,则a>c,即1<<,
即双曲线C的离心率e的取值范围是(1,).
8.如图,A1,A2为椭圆+=1长轴的左、右顶点,O为坐标原点,若S,Q,T为椭圆上不同于A1,A2的三点,直线QA1,QA2,OS,OT围成一个平行四边形,则OS2+OT2=
________.
答案 14
解析 设Q(x0,y0),S(x1,y1),T(x2,y2),
则+=1,y=(9-x).
易知直线OS,OT的斜率均存在且不为0,设其方程分别为y=k1x,y=k2x,
因为OS∥QA2,OT∥QA1,所以kQA2=k1,kQA1=k2,
k1k2=·==-.
由得x=,y=,
同理x=,y=.
由两点间的距离公式,得
OS2+OT2=x+y+x+y==14.
9.设F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,P为椭圆C上位于第一象限内的一点,∠PF1F2的平分线与∠PF2F1的平分线相交于点I,直线PI与x轴相交于点Q,则+=______.
答案 2
解析 由题意知,a=2,c==1.
由角平分线的性质,得==,
利用合比定理及椭圆的定义,得===2,
所以==.
则+=+
=1++=1++=2.
10.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.若椭圆
C的中心到直线AB的距离为F1F2,则椭圆C的离心率e=______.
答案
解析 设椭圆C的焦距为2c(cb>0)的焦距为2c,以点O为圆心,a为半径作圆O,若过点所作圆O的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为________.
答案
解析 如图,设A,
∵AB⊥AC,∴∠BAO=45°,
∵∠OBA=90°,
∴△OBA是等腰直角三角形.
由OA=OB,得=a,
∴e=.
12.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别是其左、右焦点,A,B分别是椭圆的右顶点和上顶点,PF1与x轴垂直且与椭圆交于点P(如图所示),若直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q,且四边形OAQB的面积为,则椭圆C的方程为________.
答案 +=1
解析 设F1(-c,0),F2(c,0),由离心率为,
得所求椭圆的方程为+=1,
即x2+2y2=2c2,故P,
得直线PF2的方程为y=(x-c).
由得或
即点Q的坐标为.
连结OQ,因为A(c,0),B(0,c),
所以S四边形OAQB=S△OAQ+S△OQB
=×c×c+×c×c=c2,
由c2=,得c=2,
故所求椭圆的方程为+=1.
13.已知M,N为双曲线-y2=1上关于坐标原点O对称的点,P为双曲线上异于M,N的点,若直线PM的斜率的取值范围是,则直线PN的斜率的取值范围是________.
答案
解析 设M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(m,n)(m≠±x0,n≠±y0),
则kPM=,kPN=.
因为P,M,N均在双曲线-y2=1上,
所以-n2=1,-y=1,
相减得-(n-y0)(n+y0)=0,
·=,即kPM·kPN=,
又≤kPM≤2,即≤≤2,解得≤kPN≤.
14.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1,F2在x轴上且焦距为2,A1,A2为左,右顶点,左准线l与x轴的交点为M,MA2∶A1F1=6∶1,若点P在直线l上运动,且离心率e<,则tan∠F1PF2的最大值为________.
答案
解析 由焦距为2,得c=1,左准线l与x轴的交点为M,
MA2∶A1F1=6∶1,则6(a-c)=a+,
代入c=1,解得a=2或3.
由于离心率e<,则a>2c=2,则a=3.
则l:x=-9,设P(-9,y),则MF1=8,MF2=10,
则tan∠F1PF2=tan(∠F2PM-∠F1PM)=
==≤=,当且仅当|y|=,即y=±4时,tan∠F1PF2取得最大值.
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