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- 2021-10-26 发布
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八年级数学·下 新课标[冀教]
第二十二章 四边形
观察思考
(1)图片中有平行四边形吗?
(2)这些平行四边形具有哪些特征?其中哪个特
征不是平行四边形的性质?
学 习 新 知
活动1 菱形的定义
结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?
具有这一特征的平行四边形是什么四边形?
口答下面问题:
(1)上面这些图形都是平行四边形吗?
(2)上述图形都有一组邻边相等吗?
(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么各组邻边都相等吗?
菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
活动2 菱形的性质
【想一想】
1.菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所
有性质.你能列举一些这样的性质吗?
2.你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.
菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.
【做一做】
请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:
1.菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间
有什么位置关系?
2.菱形中有哪些相等的线段?
结论:
1.菱形是轴对称图形,有两条对称轴,是菱形对角线所在
的直线,两条对角线互相垂直.
2.菱形的四条边相等.
3.菱形的每条对角线平分一组对角.
如图所示,四边形ABCD是菱形,AB=AD.
求证:(1)AB=BC=CD=DA.
(2)AC⊥DB.
(3)∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA.
分析:菱形不仅两组对边分别相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四
条边都相等;因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点,可
以利用三角形全等来证明AC⊥BD和角的相等关系.
证明:(1)∵四边形
ABCD是菱形,
∴AB=CD,AD=CB.
又∵AB=AD,
∴AB=BC=CD=DA.
(2)在△ADO和△CDO中,
∵DA=DC,DO=DO,AO=CO,
∴△ADO≌ △CDO.
∴∠AOD=∠COD.
∵∠AOD+∠COD=180°,
∴∠AOD=∠COD=90°.
∴AC⊥DB.
(3)∵△ADO≌ △CDO,
∴∠ADB=∠CDB,∠DAC=
∠DCA.
∵AB∥CD,AD∥CB,
∴∠ADB=∠CBD,∠CDB=
∠ABD,∠DAC=∠BCA,∠D
CA=∠BAC.
∴∠ADB=∠CDB,∠ABD=
∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠D
CA=∠BCA.
菱形的性质定理:菱形的四条边都相等,
两条对角线互相垂直,且每条对角线平
分一组对角.
(教材第142页例1)如图所示,菱形ABCD
的周长为16 cm,∠ABC=120°,求对角线
BD和AC的长.
1
4
解:∵AB+BC+CD+AD=16 cm,
∴AB=BC=CD=AD= ×16=4(cm).
∵BD平分∠ABC,∠ABC=120°,
∴∠ABD=60°.
∴△ABD是等边三角形.
∴BD=AB=4 cm.
2 2 2 24 2 2 3( )
2 4 3( ).
AO AB OB cm
AC AO cm
在Rt△AOB中,OB=2 cm,
[知识拓展] (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有
性质;(2)菱形的定义既可以看成菱形的性质,也可以看成菱形的判定.
如图所示,四边形ABCD是边长为13 cm的菱形,其中对角线BD
的长为10 cm.求:
(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
1
2
1
2
2 2 2 213 5AD DE
1
2
1
2
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点E,
∴∠AED=90°(菱形的对角线互相垂直),
DE= BD= ×10=5(cm)(菱形的对角线互相平分).
在Rt△AED中,AE= =12(cm).
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
(2)菱形ABCD的面积
=△ABD的面积+△CBD的面积
=2×△ABD的面积
=2× ×BD×AE
=2× ×10×12
=120(cm2).
思考:如果例2中,已知菱形ABCD的两
条对角线的长度分别为12 cm和10 cm,怎
样直接计算出菱形的面积?
菱形
一
组
邻
边
相
等
对角线互相平分
一组对边平行且相等
两组对边分别平行或相等
四边形 平行四边形两组对角分别相等
课堂小结
检测反馈1.如图所示,菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则
对角线AC的长是 ( )
A.20 B.15 C.10 D.5
解析:因为四边形ABCD是菱形,所以AB=CB,AB∥DC,所以
∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°,所以△ABC是等边
三角形,所以AC=AB=5.故选D.
D
2.(2016·莆田中考)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
解析:菱形具有的性质为:对边相等,对角相等,对角线互相平分,
对角线互相垂直;一般平行四边形具有的性质为:对边相等,对角
相等,对角线互相平分.所以菱形具有而一般平行四边形不具有的
性质是:对角线互相垂直.故选D.
D
3.如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O
点,E,F分别是AB,BC边上的中点,连接EF.若
EF= ,BD=4,则菱形ABCD的周长为 ( )
A.4 B.4 C.4 D.28
3
6 7
3 3
1
2
1
2
72 2 7OA OB
3
解析:∵E,F分别是AB,BC边上的中点,EF= ,∴AC=2EF=2 .∵四
边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA= AC= ,OB=
BD=2,∴AB= ,∴菱形ABCD的周长为4 .故选C.
C
4.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm,高AE的长为 cm,则对
角线AC和BD的长度之比为 ( )
A.1∶ 2 B.1∶ 3 C.1∶ D.1∶ 2 3
3
3
2 2AB AE
2 2 3AB OA
3
解析:设AC,BD相交于点O,∵菱形ABCD的周长为
8cm,∴AB=BC=2 cm.∵高AE的长为 cm,
∴BE= =1(cm),∴CE=BE=1 cm,∴AC=AB=2
cm,∵OA=1 cm,AC⊥BD,∴OB =
(cm),∴BD=2OB=2 cm,∴AC∶ BD=1∶ .故选D.
D
3
5.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm.∠BAD=60°,则AC= cm.
2 2 2 22 1 3AB OB
解析:因为菱形ABCD的周长为8 cm,所以AB=2
cm,AB=AD.又因为∠BAD=60°,所以△ABC是等
边三角形,所以BD=AB=2 cm,所以OA=
(cm).所以AC=2 cm.故填2 .3 3
2 3
6.如图所示,AC是菱形ABCD的对角线,点
E,F分别在AB,AD上,且AE=AF.求证CE=CF.
解析:由四边形
ABCD是菱形,可
得∠EAC=∠FAC,
又由AE=AF,AC为
公共边,即可证得
△ACE≌ △ACF,
则可得CE=CF.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠EAC=∠FAC.
在△ACE和△ACF中,
,
,
,
AE AF
EAC FAC
AC AC
∴△ACE≌ △ACF(SAS).
∴CE=CF.
7.如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交
于点O,点E,F分别是边AB,AD的中点.
(1)请判断△OEF的形状,并证明你的结论;
(2)若AB=13,AC=10,请求出线段EF的长.
解析:(1)利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半,进而得到OE=OF,可判断△OEF的形状;(2)利用勾股定理得出
BO的长,再利用三角形的中位线定理得出EF的长.
1
2
1
2
解:(1)△OEF是等腰三角形.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AC⊥BD.
∵点E,F分别是边AB,AD的中点,
∴EO= AB,OF= AD,
∴EO=FO,∴△OEF是等腰三角形.
2 2 2 213 5AB AO
(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=10,
∴AO=5,∠AOB=90°,
∴BO=
=12,
∴BD=24.
∵点E,F分别是边AB,AD的中点,
∴EF= BD,∴EF=12.
1
2
8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,四边形
ADEF是菱形,求证BE=CE.
解析:根据四边形ADEF是菱形,得DE=EF,AB∥EF,DE∥AC,可证明
△DBE≌ △FEC,即可得出BE=CE.
证明:∵四边形ADEF是菱形,
∴DE=EF,AB∥EF,DE∥AC,
∴∠C=∠BED,∠B=∠CEF.
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠BED=∠CEF,
,
,
,
BED CEF
B C
DE FE
在△DBE和△FEC中,
∴△DBE≌ △FEC,
∴BE=CE.
9.如图所示,已知菱形ABCD,AB=AC,E,F分别是BC,AD的中点,连接
AE,CF.
(1)求证四边形AECF是矩形;
(2)若AB=6,求菱形的面积.
解析:(1)首先证明△ABC是等边三角形,进而得出∠AEC=90°,四边形
AECF是平行四边形,即可得出答案;(2)利用勾股定理得出AE的长,进而求
出菱形的面积.
1
2
1
2
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC.
又∵AB=AC,∴AB=AC=BC.
∴△ABC是等边三角形.
∵E是BC的中点,
∴AE⊥BC,
∴∠AEC=90°.
∵E,F分别是BC,AD的中点,
∴AF= AD,EC= BC.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC且AD=BC,
∴AF∥EC且AF=EC,
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵∠AEC=90°,
∴四边形AECF是矩形.
2 26 3 3 3 6 3 3 18 3.ABCDS 菱形解:(2)在Rt△ABE中,AE= ,所以
10.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是
BC,BA的中点,连接DE,点F在DE的延长线上,且AF=AE.
(1)求证四边形ACEF是平行四边形;
(2)若四边形ACEF是菱形,求∠B的度数.
解析:(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
CE=AE=BE,从而得到AF=CE,再根据等腰三角形“三线合一”
的性质可得∠1=∠2,根据等边对等角可得∠F=∠3,对顶角相等
得∠1=∠3,然后得到∠2=∠F,再根据同位角相等,两直线平行得
到CE∥AF,然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
得证;(2)根据菱形的四条边都相等可得AC=CE,然后得到
AC=CE=AE,从而得到△AEC是等边三角形,再根据等边三角形
的每一个内角都是60°求出∠CAE=60°,然后根据直角三角形
的两锐角互余解答.
证明:(1)∵∠ACB=90°,E是BA的中点,
∴CE=AE=BE.
∵AF=AE,∴AF=CE.
在△BEC中,∵BE=CE且D是BC的中点,
∴ED是等腰三角形BEC底边BC上的中线,
∴ED是等腰三角形BEC的顶角平分线,
∴∠1=∠2.
∵AF=AE,∴∠F=∠3.
∵∠1=∠3,∴∠2=∠F,
∴CE∥AF.
又∵CE=AF,
∴四边形ACEF是平行四边形.
解:(2)∵四边形ACEF是菱形,
∴AC=CE,
由(1)知,AE=CE,
∴AC=CE=AE,
∴△AEC是等边三角形,
∴∠CAE=60°.
在Rt△ABC中,∠B=90°-
∠CAE=90°-60°=30°.
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