八年级下册数学教案 5-3 第2课时 异分母分式的加减 北师大版 4页

第2课时　异分母分式的加减 ‎1．学会确定几个分式的最简公分母并进行通分；(重点)‎ ‎2．能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算．(重点，难点)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、情境导入 小学我们学习过异分母分数的加减法，如＋＝＋＝，那么如何计算－呢？‎ 二、合作探究 探究点一：分式的通分 ‎【类型一】 最简公分母 ‎ 分式与的最简公分母是________．‎ 解析：∵x2－3x＝x(x－3)，x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴最简公分母为x(x＋3)(x－3)．[来源:学|科|网]‎ 方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．‎ ‎【类型二】 分母是单项式分式的通分 ‎ 通分．‎ ‎(1)，；‎ ‎(2)，；‎ ‎(3)，，.‎ 解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．‎ 解：(1)最简公分母是2b2d，＝，＝；‎ ‎(2)最简公分母是6a2bc2，＝，＝；‎ ‎(3)最简公分母是10xy2z2，＝，＝，＝－.‎ 方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．‎ ‎【类型三】 分母是多项式分式的通分 ‎ 通分．‎ ‎(1)，；‎ ‎(2)，.‎ 解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分．‎ 解：(1)最简公分母是2a(a＋1)(a－1)，‎ ＝，‎ ＝；‎ ‎(2)最简公分母是(2m＋3)(2m－3)2，‎ ＝，＝.‎ 方法总结：①‎ 确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．‎ 探究点二：异分母分式的加减法 ‎【类型一】 异分母分式的加减法运算 ‎ 计算：‎ ‎(1)－；‎ ‎(2)＋a＋2；‎ ‎(3)－＋.‎ 解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3)中先找出最简公分母分别为(x－2)(x＋2)2、(m＋n)(m－n)，再通分，然后运用同分母分式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a＋2看成分母为1的式子进行通分．‎ 解：(1)原式＝－ ‎＝－ ‎＝＝；‎ ‎(2)原式＝＝＝2a；‎ ‎(3)原式＝－＋＝＝.‎ 方法总结：分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算．‎ ‎【类型二】 分式的混合运算 ‎ 计算：‎ ‎(1)(－)÷；‎ ‎(2)÷(－a－3)．‎ 解：(1)原式＝[－]÷ ‎＝(－)÷＝·＝－；‎ ‎(2)原式＝÷(－)‎ ‎＝÷[来源:学&科&网]‎ ‎＝· ‎＝－.‎ 方法总结：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．‎ 探究点三：分式运算的化简求值 ‎【类型一】 先化简，再根据所给字母的值求分式的值 ‎ 先化简，再求值：(＋)÷，其中x＝1，y＝－2.[来源:Z。xx。k.Com]‎ 解析：化简时，先把括号内通分，把除法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分，最后代值计算．‎ 解：原式＝·＝，‎ 当x＝1，y＝－2时，原式＝＝－.[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 方法总结：分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的计算顺序，式子化到最简再代值计算．‎ ‎【类型二】 先化简，再选择字母的值求分式的值 ‎ 先化简，再选择使原式有意义的数代入求值：·－.‎ 解析：先把分式化简，再选数代入，x可取除－3、0和2以外的任何数．‎ 解：原式＝·－ ‎＝－ ‎＝ ‎＝－.‎ 当x＝1时，原式＝－1.(x取除－3、0和2以外的任何数)‎ 方法总结：取数代入求值时，要注意所选择的值一定满足分式分母不为0，这包括原式及化简过程中的每一步的分式都有意义．‎ ‎【类型三】 整体代入求值 ‎ 已知实数a满足a2＋2a－8＝0，求－·的值．‎ 解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解进行约分，然后进行减法运算，最后整体代值计算．‎ 解：－·＝－·＝－＝＝.‎ ‎∵a2＋2a－8＝0，∴a2＋2a＝8，∴原式＝＝.‎ 方法总结：利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可．‎ 探究点四：运用分式解决实际问题 ‎ 有一客轮往返于重庆和武汉之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a千米/小时；第二次往返航行时，正遇上长江汛期，水流速度为b千米/小时(b＞a)．已知该船在两次航行中，静水速度都为v千米/小时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？‎ 解析：重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s，所用时间＝顺流时间＋逆流时间，注意顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度，把相关数值代入，比较即可．‎ 解：设两次航行的路程都为s.‎ 第一次所用时间为＋＝，‎ 第二次所用时间为＋＝，‎ ‎∵b＞a，∴b2＞a2，‎ ‎∴v2－b2＜v2－a2，‎ ‎∴＞.‎ ‎∴第一次的时间要短些．[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 方法总结：①运用分式解决实际问题时，用分式表示实际问题中的量是解决问题的关键；②比较分子相同的两个分式的大小，分母大的反而小．‎ 三、板书设计 ‎1．分式的通分 ‎2．异分母分式的加减法：先通分，‎ 化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．‎ ‎3．分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇到括号要先算括号里面的．‎ 对于异分母分式相加减，注意强调转化思想：通过通分，把异分母分式转化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．对于分式混合运算，关键是要注意各种运算的先后顺序，最后结果要化为最简分式．在教学中，注意培养学生认真细致的学习态度，从运算符号到通分、约分，都应认真对待，一丝不苟.‎