八年级数学上册第一章勾股定理1-2一定是直角三角形吗教学课件新版北师大版 25页

1.2 一定是直角三角形吗 第一章 勾股定理 情境引入 学习目标 1. 了解直角三角形的判定条件．（重点） 2. 能够运用勾股数解决简单实际问题． （难点） 导入新课 问题： 同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗 ? 用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的 12 段 , 一个工匠同时握住绳子的第 1 个结和第 13 个结 , 两个助手分别握住第 4 个结和第 9 个结 , 拉紧绳子就得到一个直角三角形 , 其直角在第 1 个结处 . 讲授新课 勾股定理的逆定理 一 探究： 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a , b , c : ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 回答下列问题 : 1. 这三组数都满足 a 2 + b 2 = c 2 吗？ 2. 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 实验结果： ① 5,12,13 满足 a 2 + b 2 = c 2 , 可以构成直角三角形 ; ② 7,24,25 满足 a 2 + b 2 = c 2 , 可以构成直角三角形 ; ③ 8,15,17 满足 a 2 + b 2 = c 2 , 可以构成直角三角形 . 思考： 从上述问题中 ，能发现什么结论吗？ 如果三角形的三边长 a , b , c 满足 a 2 + b 2 = c 2 , 那么这个三角形是直角三角形 . 有同学认为测量结果可能有误差 , 不同意 这个发现 . 你觉得这个发现正确吗 ? 你能给 出一个更有说服力的理由吗 ? △ ABC ≌ △ A′B′C′ 　　 ？ ∠ C 是直角　　　 △ ABC 是直角三角形　　 A 　 B 　 C 　 a b c 已知：如图，△ ABC 的三边长 a , b , c ，满足 a 2 + b 2 = c 2 ． 求证：△ ABC 是直角三角形． 构造两直角边分别为 a,b 的 Rt△ A′B′C′ 证明结论 简要说明： 作一个直角 ∠ MC 1 N ， 在 C 1 M 上截取 C 1 B 1 = a = CB, 在 C 1 N 上截取 C 1 A 1 = b = CA , 连接 A 1 B 1. 在 Rt△ A 1 C 1 B 1 中，由勾股定理 , 得 A 1 B 1 2 = a 2 + b 2 = AB 2 . ∴ A 1 B 1 = AB ， ∴ △ ABC ≌ △ A 1 B 1 C 1 . （ SSS ） ∴ ∠ C =∠ C 1 =90° ， ∴ △ ABC 是直角三角形 . a c b A C B b a C 1 M N B 1 A 1 勾股定理的逆定理 归纳总结 如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 满足 a 2 + b 2 = c 2 那么这个三角形是直角三角形 . A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的 判定定理 ，即已知三角形的三边长，且满足两条 较小边 的平方和等于 最长边 的平方，即可判断此三角形为直角三角 ， 最长边所对角为直角 . 特别说明： 典例精析 例 1 ： 一个零件的形状如图 1 所示 , 按规定这个零件中∠ A 和∠ DBC 都应为直角 , 工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示 , 这个零件符合要求吗 ? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图 1 图 2 在△ BCD 中， 所以 △ BCD 是直角三角形， ∠ DBC 是直角 . 因此，这个零件符合要求 . 解：在△ ABD 中， 所以 △ ABD 是直角三角形， ∠ A 是直角 . 例 2 下面以 a , b , c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是 , 那么哪一个角是直角？ (1) a =15 ， b =8 ， c =17; 解：因为 15 2 +8 2 =289 ， 17 2 =289 ，所以 15 2 +8 2 =17 2 ，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠ C 是直角 . (2) a =13 ， b =14 ， c =15; 解：因为 13 2 +14 2 =365 ， 15 2 =225 ， 所以 13 2 +14 2 ≠ 15 2 ，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形 . (3) a : b : c =3:4:5; 解：设 a =3 k , b =4 k , c =5 k , 因为 (3 k ) 2 +(4 k ) 2 =25 k 2 ,(5 k ) 2 =25 k 2 , 所以 (3 k ) 2 +(4 k ) 2 =(5 k ) 2 , 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠ C 是直角 . 根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方 . 归纳 变式 1 ： 已知 △ ABC ， AB=n²- 1 ， BC=2n ， AC=n²+ 1 ( n 为 大于 1 的正整数 ). 试问 △ ABC 是直角三角形吗？若是， 哪一条边所对的角是直角？请说明理由 解： ∵ AB²+BC²= (n²-1)²+(2n)² =n 4 -2n²+1+4n² =n 4 +2n²+1 =(n²+1)² =AC² ， ∴△ ABC 直角三角形，边 AC 所对的角是直角 . 先确定 AB 、 BC 、 AC 、 的大小 变式 2 ： 若三角形 ABC 的三边 a , b , c 满足 a 2 + b 2 + c 2 +50=6 a +8 b +10 c . 试判断△ ABC 的形状 . 解： ∵ a 2 + b 2 + c 2 +50=6 a +8 b +10 c ∴ a 2 － 6 a + 9+ b 2 － 8 b + 16+ c 2 － 10 c + 2 5= 0. 即 ( a － 3)² + ( b － 4)² + ( c － 5)² = 0. ∴ a =3, b = 4, c = 5 即 a 2 + b 2 + c 2 . ∴△ ABC 直角三角形 . 例 3 在正方形 ABCD 中， F 是 CD 的中点， E 为 BC 上一点，且 CE ＝ CB ，试判断 AF 与 EF 的 位置关系，并说明理由． 解：AF⊥EF.设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在Rt△ABE中，得AE 2 ＝AB 2 ＋BE 2 ＝16a 2 ＋9a 2 ＝25a 2 . 在Rt△CEF中，得EF 2 ＝CE 2 ＋CF 2 ＝a 2 ＋4a 2 ＝5a 2 . 在Rt△ADF中，得AF 2 ＝AD 2 ＋DF 2 ＝16a 2 ＋4a 2 ＝20a 2 . 在△AEF中，AE 2 ＝EF 2 ＋AF 2 ， ∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边． ∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF. 如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a 2 + b 2 = c 那么这个三角形是直角三角形 . 满足 a 2 + b 2 = c 2 的三个正整数，称为 勾股数 . 勾股数 二 概念学习 常见勾股数： 3 ， 4 ， 5 ； 5 ， 12 ， 13 ； 6 ， 8 ， 10 ； 7 ， 24 ， 25 ； 8 ， 15 ， 17 ； 9 ， 40 ， 41 ； 10 ， 24 ， 26 等等 . 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数 k ，得到一组新数，这组数同样是勾股数 . 例 4 ： 下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6 ， 8 ， 10 B.7 ， 8 ， 9 C.0.3 ， 0.4 ， 0.5 D.5 2 ， 12 2 ， 13 2 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可 . 当堂练习 1. 如果线段 a , b , c 能组成直角三角形 , 则它们的比可以是 ( ) A.3:4:7 B.5:12:13 C.1:2:4 D.1:3:5 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数 , 则得到 的三角形 ( ) A. 是直角三角形 B. 可能是锐角三角形 C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形 B A 4. 如果三条线段 a ， b ， c 满足 a 2 = c 2 - b 2 , 这三条线段组成的三角形是直角三角形吗 ? 为什么 ? 解：是直角三角形 . 因为 a 2 + b 2 = c 2 满足勾股定理的逆定理 . 3. 以△ ABC 的三条边为边长向外作正方形 , 依次得到的面积是 25, 144 , 169, 则这个三角形是 ______ 三角形 . 直角 5. 如图，在正方形 ABCD 中， AB=4 ， AE=2 ， DF=1 ， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？ 与你的同伴交流 . 4 1 2 2 4 3 解 :△ABE ，△ DEF ，△ FCB 均为直角三角形 . 由勾股定理知 BE 2 =2 2 +4 2 =20 ， EF 2 =2 2 +1 2 =5 ， BF 2 =3 2 +4 2 =25, ∴BE 2 +EF 2 =BF 2 , ∴ △BEF 是 直角三角形 . 6. 如图， 四边形 ABCD 中， AB⊥AD ，已知 AD=3cm ， AB=4cm ， CD=12cm ， BC=13cm ，求四边形 ABCD 的面积 . 解：连接 BD. 在 Rt△ABD 中 , 由勾股定理 , 得 BD 2 =AB 2 + AD 2 ，∴ BD =5m， 又 ∵ CD=12cm ， BC=13cm ∴ BC 2 =CD 2 +BD 2 ，∴ △BDC 是直角三角形 . S 四边形ABC D =S Rt△BC D － S Rt△A B D = B D •C D － A B • A D = ( 5×12 － 3×4 ) = 24 m 2 ． C B A D 变式： 如图，在四边形 ABCD 中， AC⊥DC ，△ ADC 的面积为 30 cm 2 ， DC ＝ 12 cm ， AB ＝ 3 cm ， BC ＝ 4 cm ，求△ ABC 的面积 . 解 : ∵ S △ ACD =30 cm 2 ， DC ＝ 12 cm. ∴ AC=5 cm, 又 ∵ ∴ △ ABC 是直角三角形 , ∠B 是直角 . ∴ D C B A 一定是直角三角形吗 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a , b , c 满足 a 2 + b 2 = c 2 , 那么这个三角形是直角三角形 . 课堂小结 勾股数：满足 a 2 + b 2 = c 2 的三个正整数