八年级下数学课件八年级下册数学课件《等边三角形的判定》 北师大版 (8)_北师大版 25页

九年级数学（上册） 第一章 证明(二) n 1.你能证明它们吗等边三角形的判定 驶向胜利 的彼岸 八仙过海 w一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？ w与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法. 开启 智慧 A CB 600 A CB 600 A CB 600 w你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形 吗？你能证明你的结论吗？ w一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三 角形？ 驶向胜利 的彼岸 命题的证明 我能行 w定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知), ∴∠C=∠B=600.(等边对等角). ∴∠A=600(三角形内角和定理). ∴∠A=∠B（等式性质）. ∴ AC=CB（等角对等边）. ∴AB=BC=AC（等式性质）. ∴ △ABC是等边三角形(等边三角形 意义). 已知:如图,在△ABC中AB=AC,∠B=600. 求证:△ABC是等边三角形. A CB 600 几何的三种语言 回顾反思 ′ 驶向胜利 的彼岸 w定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形. 在△ABC中, ∵AB=AC,∠B=600(已知). ∴△ABC是等边三角形(有 一个角是600的等腰三角 形是等边三角形). 这又是一个判定等边三角形的 根据之一. A CB 600 驶向胜利 的彼岸 命题的证明 我能行 w定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. 证明:∵∠A=∠B (已知), ∴ BC=AC,(等角对等边). 又∵∠B=∠C(已知), ∴ AB=AC,(等角对等边). ∴AB=BC=AC(等式性质). ∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义). 已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C. 求证:△ABC是等边三角形. A CB 几何的三种语言 回顾反思 ′ 驶向胜利 的彼岸 w定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. 在△ABC中, ∵∠A=∠B=∠C(已知), ∴△ABC是等边三角形(三个角都相 等的三角形是等边三角形). 这又是一个判定靠边三角形的根据之一. A CB 600 600 600 驶向胜利 的彼岸 命题的猜想 我能行 w1 操作:用两个含有300角的三角 尺，你能拼成一个怎样的三角形？ 能证明你的结论吗？ 300 300 300 300 结论:在直角三角形中, 300角所对 的直角边等于斜边的一半. w能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由. w由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的 直角边与斜边有怎样的大小关系？ 30 0 30 0 驶向胜利 的彼岸 命题的证明 我能行 w定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等 于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在△ABC中,∵∠ACB=900,∠A=300(已知), ∴∠B=600(直角三角形两锐角互余). 又∵ ∠ACB=900, (已知), ∴∠ACD=900(平角意义). 在△ABC与△ADC中 ∵BC=DC（作图）, 　∠ACB=∠ACD（已证）, AC=AC（公共边）, ∴△ABC≌△ADC（SAS）. ∴△ABD是等边三角形(有一个角600是的等腰三角形是等边三角形) ∴BC= BD= AB(等式性质). 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300. 求证:BC= AB.2 1 2 1 300 A B C 证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD. D 2 1 几何的三种语言 回顾反思 ′ 驶向胜利 的彼岸 这又是一个判定两条线段成倍 分关系的根据之一. w定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在△ABC中, ∵∠ACB=900,∠A=300. ∴BC= AB.(在直角三角形中, 300角 所对的直角边等于斜边的一半). 2 1 A B C300 学无止境 例题欣赏 这里有一个化归的数学思想——即 把问题转化为一个纯数学问题. ′ 驶向胜利 的彼岸 分析:如图,在△ABC中 AB=AC=2a,∠B=∠ACB=150, CD⊥AB于D. 求:CD=? 解:∵∠B=∠ACB=150(已知), ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一个外角, 等于和不相邻的两内角的和). ∴CD= AC= ×2a=a(在直角三角形中, 如果有一个锐角 等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半). A CB D 150 150 2 1 2 1 例2.已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 求:腰上的高. 含300角的直角三角形 隋堂练习 ′ 驶向胜利 的彼岸 1.已知:如图, 在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD=AB/4. 分析:因为∠A=300,所以 BC=AB/2.要证明BD=AB/4,只 要能使BD=BC/2即可,此时若 ∠BCD=300就可以了.而由“ 双垂直三角形”即可求得. 你能规范地写出证明过程吗？ 你的证题能力有所提高吗? A C B D 三角形,认识我吗 隋堂练习 2.已知:如图,点P,Q在BC上,且 BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=600,AH⊥BC于H. (1)求证:AB=AC; (2)试在图中标出各个角的度数; (3)求出图中各线段的长度,并说明理由. ′ 驶向胜利 的彼岸 胜利属于敢想敢干的人！ 你能与同学们交流探索证题的全 过程吗? A B CP QH 反过来怎么 样——逆向思 维 w命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边 的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗? w如果是,请你证明它. 驶向胜利 的彼岸 心动 不如行动 300 A B C 已知:如图,在△ABC中 ,∠ACB=900,BC=AB/2. 求证:∠A=300. 反过来怎么 样——逆向思 维 在△ABD中,∵∠ACB=900(已知), ∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离相等). 又∵BC=AB/2(已知), BC=BD/2(作图), ∴AB=BD(等量代换). ∴AB=BD=AD(等式性质）. ∴△ABD是等边三角形(等边三角形意义). ∴∠B=600(等边三角形意义). ∴∠A=300(直角三角形两锐角互余). 驶向胜利 的彼岸 心动 不如行动 300 A B C D 证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD. 几何的三种语言 回顾反思 ′ 驶向胜利 的彼岸 这是一个通过线段之间的关系 来判定一个角的具体度数(300) 的根据之一. w定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于 斜边的一半,那么它所对的锐角等于300. 在△ABC中 ∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知), ∴∠A=300(在直角三角形中,如 果一条直角边等于斜边的一半, 那么它所对的锐角等于300). A B C300 成功者的摇篮 试一试P14 1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别 是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得 A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG 等于多少度?你能证明你的结论吗? DA CB E F DA CB E F (1) (2) G A 成功者的摇篮 试一试P14 1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分 别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使 得A落在EF上(如图(2)中A1),折痕交AE于点G,那么 ∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗? DA CB E F (2) G A1 答:∠ADG等于150. 证明:∵DF=DC/2(中点意义), A1D=AD=CD(正方形各边都相等), ∴DF=A1D/2(等量代换). ∴∠DA1F=300 (在直角三角形中, 如果一条直 角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300). 又∵AD∥EF(中点意义), ∴∠A1DA=∠DA1F=300 (两直线平行,内错角相等). ∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分线意义). ● ● 300 回味无穷 n 等边三角形的判定: n 定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角 形. n 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. n 特殊的直角三角形的性质: n 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. n 定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于 斜边的一半,那么它所对的锐角等于300. n 老师提醒: n 反证法还认识你吗? 小结 拓展 知识的升华 独立 作业 P9习题1.3 1,2,3题. 祝你成功！ 习题1.3 独立作业 驶向胜利 的彼岸 w1.已知:如图,△ABC是等边三角 形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E. 求证: △ADE是等边三角形. 证明1: ∵△ABC等边三角形(已知), ∴ ∠A＝∠B=∠A＝600(已知), 又∵ DE∥BC(已知), ∴∠1=∠B=600,∠2=∠C=600 (两直线平行, 同位角相等). ∴ ∠A =∠1=∠2(等量代换). ∴ △ADE是等边三角形 (三个角相等 的三角形是等边三角形). B E C D A F 1 2 习题1.3 独立作业 驶向胜利 的彼岸 w2.房梁的一部分如图所示,其中 BC⊥AC,∠A=300,AB=7.4m,点D是AB的中 点,DE⊥AC,垂足为E. w求:BC,DE的长. 解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=7.4m(已知), ∴ BC=AB/2=7.4÷2＝3.7(在直角三角形中, 如果有一 个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半), 又∵ AD=AB/2=7.4÷2＝3.7(中点意义), ∴ DE=AD/2=3.7÷2＝1.85(在直角三角形中, 如果 有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半). 答:BC=3.7m,DE=1.85m. 老师提示:对于含300角的直角三角形边之 间,角之间的关系要作为常识去认可. B E C D A 300 习题1.3 独立作业 驶向胜利 的彼岸 w1.已知:如图,△ABC是等边三角形, 过它的三个顶点分别作对边的平行 线,得到一个新的△DEF,△DEF是等 边三角形吗?你还能找到其它的等边 三角形吗?请证明你的结论. 答:(1)△DEF是等边三角形;(2)△ABE,△ACF,△BCD也是等边三角形. 证明(1):∵△ABC是等边三角形(已知), 又∵EF∥BC,DE∥AC(已知), ∴∠E＝600(三角形内角和定理). 同理,∠D=600,∠F＝600. B E C D A F ∴∠1＝∠2=∠3＝600(等边三角形的三个角都相等并且每个 角都等于600 ). 4 2 1 3 ∴∠4＝∠2＝600,∠5＝∠1＝600(两直线平行,内错角相等). 5 ∴ ∠D＝∠E=∠F＝600(等量代换). ∴△DEF是等边三角形(三个角相等的三角形 是等边三角形). 习题1.3 独立作业 驶向胜利 的彼岸 w1.已知:如图,△ABC是等边三角形, 过它的三个顶点分别作对边的平行 线,得到一个新的△DEF,△DEF是等 边三角形吗?你还能找到其它的等边 三角形吗?请证明你的结论. 答:(1)△DEF是等边三角形; (2)△ABE,△ACF,△BCD也都是等边三角形. 请同学们来证明(2)中的结论 . B E C D A F4 2 1 35 习题1.3 独立作业 驶向胜利 的彼岸 w1.已知:如图,△ABC是等边三角形, 过它的三个顶点分别作对边的平行 线,得到一个新的△DEF,△DEF是等 边三角形吗?你还能找到其它的等边 三角形吗?请证明你的结论. 答:(1)△DEF是等边三角形;(2)△ABE,△ACF,△BCD也是等边三角形. 证明(1):∵△ABC是等边三角形(已知), 又∵EF∥BC,DE∥AC(已知), ∴∠E＝600(三角形内角和定理). 同理,∠D=600,∠F＝600. B E C D A F ∴∠1＝∠2=∠3＝600(等边三角形的三个角都相等并且每个 角都等于600 ). 4 2 1 3 ∴∠4＝∠2＝600,∠5＝∠1＝600(两直线平行,内错角相等). 5 ∴ ∠D＝∠E=∠F＝600(等量代换). ∴△DEF是等边三角形(三个角相等的三角形 是等边三角形). 结束寄语 • 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. • 证明的规范性在于：条理清晰 ，因果相应,言必有据.这是初 学证明者谨记和遵循的原则. 下课了!