八年级下数学课件八年级下册数学课件《等腰三角形的判定与反证法》 北师大版 (4)_北师大版 16页

义务教育教科书（北师大版）八年级数学下册 第一章 三角形的证明 等腰三角形有哪些性质？ 1.等腰三角形的两底角相等． （简写成 “等边对等角”） A B C ∵AB=AC（已知） ∴∠B=∠C（等边对等角） 2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合．（ 简写成“三线合一” ） A B CD ∵AB=AC，BD=CD（已知） ∴∠BAD=∠CAD， AD⊥BC（三线合一） ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD （已知） ∴ BD=CD ，AD⊥BC（三线合一） ∵AB=AC， AD⊥BC （已知） ∴ BD=CD ，∠BAD=∠CAD （三线合一） 前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等， 反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 已知：在△ABC中，∠B=∠C， 求证：AB=AC． 分析：只要构造两个全等的三角 形，使AB与AC成为对应边就可以了. 比如作BC的中线，或作角A的平分线， 或作BC上的高，都可以把△ABC分成 两个全等的三角形． A B C 定理：有两个角相等的三角形是等 腰三角形.(等角对等边.) 等腰三角形的判定定理： 例2 已知：如图，AB=DC,BD=CA, 求证：△AED是等腰三角形。 A B C D E 证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA, ∴△ABD≌△DCA(SSS) ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等） ∴AE=DE(等角对等边） ∴ △AED是等腰三角形。 想一想 小明说，在一个三角形中，如果两个角 不相等，那么这两个角所对的边也不相等． 你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证 明它吗? A B C 我们来看一位同学的想法： 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C， 此时AB与AC要么相等，要么不相等． 假设AB=AC，那么根据“等边对等角” 定理可得∠C=∠B，但已知条件是 ∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件 “∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC。 你能理解他的推理过程吗? A B C 小明在证明时，先假设命题的结 论不成立，然后由此推导出了与已知 或公理或已证明过的定理相矛盾，从 而证明命题的结论一定成立．这种证 明方法称为反证法． 再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角， 也可以采用这位同学的证法. 假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°， ∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△ABC中 ∠A+∠B+∠C=180° “∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛 盾，因此△ABC中不可能有两个直角． 例3.用反证法证明： 一个三角形中不能有两个角是直角。 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角。 证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角， 不妨设∠A和∠B是直角， 即∠A=90°，∠B=90 °， 于是 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°。 这与三角形内角和定理矛盾， 因此，“∠A和∠B是直角”的假设不成立。 所以，一个三角形中不能有两个角是直角。 1.这节课学习的主要内容？ 2.等腰三角形的判定及其在实际生活中 的应用你有哪些收获？ 用反证法证题的一般步骤： 1.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的 顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三 角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度 数? 108° 36°90° 2.如图,△ABC中,D.E分别是AC.AB上的点,BD与CE 交于点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO ②∠BEO=∠CDO ③BE=CD ④OB=OC (1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰 三角形(用序号写出所有情形) (2)选择的1小题的一种情形,证明△ABC是等腰三角 形. B A E D C O ①③; ①④; ②③; ②④ 3.用反证法证明:在一个三角形中,至少有 一个内角小于或等于60° 证明: 假设∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三个内角, 且都大于60°, 则∠A> 60°,∠B > 60°, ∠C> 60°, ∴ ∠A+∠B+∠C>180°; 这与三角形的内角和是180定理矛盾 ∴假设不成立 ∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.