2019年春八年级数学下册第十八章平行四边形18-2特殊的平行四边形18-2-3正方形课件 11页

18.2.3　正方形 1.正方形的性质 正方形的四条边都　 　,四个角都是　 　;正方形既是矩形又是菱形,它既有矩 形的性质,又有菱形的性质.  2.正方形的判定 (1)有一组邻边　 　的矩形是正方形.  (2)有一个角是　 　的菱形是正方形.  3.正方形的轴对称性 正方形是轴对称图形,它有　 　条对称轴,分别是两条　 　所在的直线和过 对边两个　 　的直线.  相等 直角 相等 直角 四 对角线 中点 探究点一:正方形的性质 【例1】 (2018遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE< BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN. (1)求证:OM=ON; 【导学探究】 1.证△OAM≌ 　可得OM=ON.  △OBN (1)证明:因为四边形ABCD是正方形, 所以OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°, 所以∠OAM=∠OBN=135°. 因为∠EOF=90°,∠AOB=90°, 所以∠AOM=∠BON, 在△OAM与△OBN中,∠AOM=∠BON,OA=OB,∠OAM=∠OBN, 所以△OAM≌△OBN,所以OM=ON. (2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长. 【导学探究】 2.作OH⊥AD,求OM的长可得到MN=　　 OM. 2 (1)在正方形中,证明线段相等,通常证明三角形全等; (2)在正方形中,计算线段的长度,往往需要借助勾股定理和等腰直角三角形的性质. 【例2】(2018舟山)如图,等边△AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且∠CEF= 45°.求证:矩形ABCD是正方形. 探究点二:正方形的判定 【导学探究】 1.要证明矩形ABCD是正方形,只要证明AB=　 　.  2.证明△ABE≌△ADF,可得　 　. AD AB=AD 证明:因为四边形ABCD是矩形, 所以∠B=∠D=∠C=90°. 因为△AEF是等边三角形, 所以AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°, 因为∠CEF=45°,所以∠CFE=∠CEF=45°, 所以∠AEB=∠AFD=180°-45°-60°=75°, 在△ABE与△ADF中,∠B=∠D,∠AEB=∠AFD,AE=AF, 所以△ABE≌△ADF,所以AB=AD, 所以矩形ABCD是正方形. (1)已知菱形,可证明一个内角为直角得到正方形;(2)已知矩形, 可证明一组邻边相等得到正方形. 1.下列说法正确的是(　 　) (A)有一个角是直角的四边形是正方形 (B)有一组邻边相等的四边形是正方形 (C)有一组邻边相等的矩形是正方形 (D)四条边都相等的四边形是正方形 2.(2018石家庄期中)若正方形的对角线长为2 cm,则这个正方形的面积为(　 　) C B 3.▱ ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥BD,请添加一个条件: . ,使得▱ ABCD为正方形.  ∠BAD=90° (答案不唯一) 4.(2018会宁模拟)如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,点F在BE上,AF=AB,连接BD, FD,若∠BAF=58°,则∠BDF的度数为　 　. 29° 5.如图,已知正方形ABCD,P是对角线AC上任意一点,E为AD上的点,且∠EPB=90°, PM⊥AD,PN⊥AB,垂足分别为M,N. (1)求证:四边形PMAN是正方形; 证明:(1)因为四边形ABCD是正方形, 所以∠BAD=90°,AC平分∠BAD, 因为PM⊥AD,PN⊥AB, 所以PM=PN,∠PMA=∠PNA=90°, 所以四边形PMAN是正方形. (2)求证:EM=BN.