八年级下数学课件《三角形的中位线》课件_冀教版 36页

第二十二章 四边形 22.3 三角形的中位线 1 u三角形的中位线性质 u三角形中位线在四边形中的应用 2 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 1. 在△ABC中，AD=BD， 线段CD是△ABC的中线. 2. 在△ABC中，AE=EC， 线段BE是△ABC的中线. 如果连结DE，那么DE是否是△ABC的中线？ A D CB E 1 三角形的中位线性质 什么叫三角形的中位线？ 连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线. 如图：点 D、E分别是AB、AC边的中点，线段DE就 是△ABC的中位线。 一个三角形共有几条中位线？ 答：三条 知1－导 思考：三角形的中位线与三角形的 中线有什么区别与联系？ 区别：中位线：中点--------中点 中线：顶点--------中点 联系：一个三角形有三条中线，三条中位线，它们都 在三角形的内部且都是线段. 知1－导 D CB E A F 1. 如图，在△ABC中，画出它的三条中位线DE，DF， EF. 沿中位线剪出四个小三角形，将它们叠合在一 起，它们能完全重合吗？你发现三角形的中位线DE 与BC具有怎样的位置关系和数量关系？ 知1－导 知1－导 2. 如图，DE是△ABC的中位线，将△ADE以点E为中 心顺时针旋转180°，使点A和点C重合.四边形 DBCF是平行四边形吗？由此发现DE与BC的位置关 系和数量关系与上面的发现是否相同？ 通过探究，我们发现：三角形的中位线平行于第三边， 且等于第三边的一半. 现在，我们来证明这个结论. 已知：如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点. 求证：DE∥BC，且DE= BC. 知1－导 1 2 知1－导 延长DE到点F，使EF=DE.连接CF. 在△ADE和△CFE中， ∵ AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=FE， ∴ △ADE≌ △CFE. ∴AD=CF，∠A=∠ECF.∴AD∥CF，即BD∥CF. 又∵BD=AD=CF，∴四边形DBCF是平行四边形. ∴DE∥BC，且DF=BC. ∴DE= DF= BC. 1 2 1 2 证明： 归 纳 知1－导 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边 的一半. （来自教材） 知1－讲 例1 已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P为对 角线BD的中点，M为DC的中点，N为AB的中点. 求证：△PMN是等腰三角形. （来自教材） 在△ABD中， ∵N，P分别为AB，BD的中点， ∴PN= AD. 同理PM= BC. 又∵AD=BC， ∴PN=PM.∴ △PMN是等腰三角形. 1 2 1 2 证明： 证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线 等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段 是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考 虑用三角形中位线定理． 知1－讲 1 三角形三边的长分別为5，9，12.求连接各边中 点所构成的三角形的周长. 知1－练 （来自教材） 解： 略． 知1－练 （来自教材） 2 如图，EF为△ABC的中位线，BD平分∠ABC， 交EF于点D，AB=4，BC=6.求 DF的长. ∵EF为△ABC的中位线， ∴EF＝ BC＝3，EF∥BC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠DBC， ∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB， ∴ED＝EB＝ AB＝2，∴DF＝EF－ED＝3－2＝1. 1 2 1 2 解： 知1－练 （来自教材） 3 如图， △CDE为△ABC沿AC方向平移得到的， 延长AB，ED相交于点F.请指出图中有哪些相等 的线段，有哪些平行的线段. 相等的线段有AB＝BF＝CD， BC＝DF＝DE，AC＝CE. 平行的线段有AF∥CD，AB∥CD， BF∥CD，BC∥DF，BC∥DE，BC∥EF. 解： 知1－练 （来自教材） 4 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为 AB，BC，CD，DA的中点.请猜想四边形EFGH 的形状，并证明自己的猜想. 知1－练 （来自教材） 四边形EFGH为平行四边形． 证明如下： 如图，连接AC，BD. ∵H，E分别是AD，AB的中点， ∴EH＝ BD，同理可得FG＝ BD， ∴EH＝FG，同理可得EF＝HG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 1 2 1 2 解： 知1－练 【中考·宜昌】如图，要测定被池塘隔开的A，B两 点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC， 并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC ＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝(　　) A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m 5 B 知1－练 【中考·梧州】如图，在△ABC中，AB＝3，BC ＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC的 中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(　 　) A．5 B．7 C．9 D．11 6 B 知1－练 【中考·遵义】如图，△ABC的面积是12，点D， E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则 △AFG的面积是(　　) A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 7 A 知1－练 【中考·营口】如图，在△ABC中，AB＝AC，E， F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作 Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结 论不正确的是(　　) A．∠ECD＝112.5° B．DE平分∠FDC C．∠DEC＝30° D．AB＝ CD 8 C 2 2 三角形中位线在四边形中的应用 知2－讲 欲证MN BC，只需证明MN 是△EBC的中位线即可．而要证得M，N分别为 BE，CE的中点，则可利用E，F分别为AD，BC 的中点证四边形ABFE和四边形EFCD为平行四边 形得到． 例2 如图，在▱ ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点， 连接AF，DF分别交BE，CE于点M，N，连接MN. 求证：MN BC. ∥＝ ∥＝ 1 2 1 2 导引： 知2－讲 如图，连接EF. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD BC. ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE＝ AD，BF＝ BC，∴AE BF. ∴四边形ABFE是平行四边形，∴MB＝ME. 同理，四边形EFCD是平行四边形，∴NC＝NE. ∴MN是△EBC的中位线．∴MN BC. 1 2 ∥＝ ∥＝ 1 2 1 2 ∥＝ 证明： 知2－讲 (1)证明两直线平行的常用方法： ①利用同平行(垂直)于第三条直线；②利用同位角、 内错角相等，同旁内角互补；③利用平行四边形 的性质；④利用三角形的中位线定理． (2)证明一条线段是另一条线段的2倍的常用方法： ①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四边 形的对角线；③利用三角形的中位线定理． 1 如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量它们 之间的距离.测量员在岸边选一点C，连接AC，BC， 并分别找到AC和BC的中点M，N.由MN的长度即 可知道A，B两点间的距离. (1)说出上述测量方法中的道理. (2)若测得MN=20m，求A，B两 点间的距离. 知2－练 （来自教材） 知2－练 （来自教材） (1)道理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于 第三边的一半． (2)在△ABC中， ∵M，N分别是AC，BC的中点，且MN＝20 m， ∴A，B两点间的距离为20×2＝40(m)． 解： 2 已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于 点E，BD=AC，M，N分别为AD，BC的中点，MN 分别交AC，BD于点F，G. 求证：EF= EG. 知2－练 （来自教材） 知2－练 （来自教材） 如图，取CD的中点为H，连接MH，HN. ∵M，H分别是AD，DC的中点， ∴MH＝ AC，MH∥AC， 同理可得NH＝ BD，NH∥BD， ∵AC＝BD，∴MH＝NH， ∴∠HMN＝∠HNM， ∵MH∥AC，HN∥BD， ∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM， ∴∠EFG＝∠EGF，∴EF＝EG. 1 2 1 2 证明： 知2－练 如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD 各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则 四边形EFGH的周长为(　　) A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．22 cm 3 D 知2－练 如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC， BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在 BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的 是(　　) A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长先增大后减小 4 C 知2－练 如图，在▱ ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为 ______cm. 5 10 知2－练 【中考·广州】如图，四边形ABCD中，∠A＝ 90°，AB＝3 ，AD＝3，点M，N分别为线段 BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)， 点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最 大值为________． 6 3 3 三角形的中位线平行于三角形的 第三边，且等于第三边的一半． 几何语言(如图)： ∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC．DE= BC． 1 1 2 注意：(1)位置关系：平行于第三边， (2)数量关系：等于第三边的一半 拓展：(1)在三角形中位线定理中要特别注意，三角形的 中位线平行的是三角形的“第三边”，而不是“底 边”，在三角形中，只有等腰三角形有底边．而一般 的三角形并没有底边． (2)三角形的中位线定理可以证明线段相等或倍分关系； 可以证明两直线平行. 如图，▱ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F 分别是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝24 cm， △OAB的周长是18 cm，则EF＝________cm. 2 易错小结 易错点：忽视整体思想的应用而求不出中位线的长 3 请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！