沪科版（2012）初中数学八年级下册 17一元二次方程根与系数的关系 3页

公开课教案 第 1 页 共 3 页 17.4 一元二次方程根与系数的关系 教学目标： 1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与 系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。 2、能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。 3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养学生去发现 规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。 教学重点：根与系数的关系的推导、运用。 教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。 教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。 教学过程： 一、问题情境，导入新课： 师：我昨天晚上听到我们班两位同学的一段对话： 许家露：我有一个秘密，你想听吗？ 许连根：什么秘密？ 许家露：你知道咱们可爱的英语老师年龄到底有多大吗？ 许连根摇了摇头。 许家露：这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄是方程 的两根的积，回去你把两根求出来就知道了。 许连根：呵，这还难不倒我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还可以告诉你 英语老师的年龄，还是方程 的两根的和呢。 同学们想知道英语老师的年龄吗？学完本节课你就知道了。 解下列方程，并填写表格： 方 程 1x 2x 1x + 2x 1 2x x 观察上面的表格，你能得到什么结论？ （1）关于 x 的方程 2 20( 4 0)x px q p q q    、 为常数，p 的两根 1x ， 2x 与系数 p，q 2 29 210 0x x   2 11 29 0x x   2 3 4 0x x   2 2 3 1 0x x   2 5 6 0x x   公开课教案 第 2 页 共 3 页 之间有什么关系？ （2）关于 x 的方程 2 0( 0)ax bx c a    的两根 1x ， 2x 与系数 a，b，c 之间又有何关系 呢？你能证明你的猜想吗？ 二、探究新知： 1、根与系数关系： （1）关于 x 的方程 2 20( 4 0)x px q p q q    、 为常数，p 的两根 1x ， 2x 与系数 p，q 的关系是： 1 2x x p   ， 1 2x x q 。 引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系 数不为 1，根与系数之间又有怎样的关系呢？ （2）形如 2 0( 0)ax bx c a    的方程，如果 2 4 0b ac  ，两根为 1x ， 2x ，引导学生利 用上面的结论猜想 1x ， 2x 与各项系数 a、b、c 之间有何关系。 然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为 1 的一元二次方程，再利用上面的结 论来研究，即：对于方程 2 0( 0)ax bx c a    ∵ 0a  ∴ 2 0b cx xa a    ∴ 1 2 bx x a    ， 1 2 cx x a  对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。 证明：∵ 2 0( 0)ax bx c a    ，当 2 4 0b ac  时根为： 2 4 2 b b acx a    设 2 1 4 2 b b acx a    ， 2 2 4 2 b b acx a    ，则 ∴ 2 2 1 2 4 4 2 2 2 2 b b ac b b ac b bx x a a a a             2 2 2 2 1 2 2 2 4 4 ( 4 ) 4 2 2 4 4 b b ac b b ac b b ac ac cx x a a aa a              学生思考、归纳并回答下列问题： （1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？ （2）运用根与系数的关系要注意些什么？ 三、应用举例 公开课教案 第 3 页 共 3 页 例 1、不解方程，口答下列方程的两根和与两根积： 1、 2、 3、 例 2 、已知关于 x 的方程 的一个根是-4，求它的另一个根及 k 的值。 解：设方程的另一个根是 解方程组，得 答：方程的另一个根为 ，k 的值为 7 例 3、方程 的两个根记作 ，不解方程，求 的值。 解 ：由韦达定理，得 四、归纳小结： 1.一元二次方程根与系数的关系是什么? 2.运用韦达定理是要注意什么条件？ 五、作业 P40 习题 17.4 第 1 题、第 3 题 22 5x  2 10 22x x    4 5 8x x x   22 4 0x kx   2x 2 2 4 2 44 2 kx x         2 1 2 7 x k     1 2 22 3 1 0x x   1 2,x x 1 2x x 1 2 1 2 3 1,2 2x x x x      2 2 1 2 1 2 1 24x x x x x x    23 1 142 2 4        1 2 1 2x x   