人教版九年级数学上册 22二次函数 27页

22.1.1 二次函数 第二十二章 二次函数 【学习目标】 1 ．能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念． 2 ．能够表示简单变量之间的二次函数关系． 【学习重点】 结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念． 【学习难点】 1 ．能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系． 2 ．重视二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 中 a ≠0 这一隐含条件． 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线 . 这些曲线能否用函数关系式表示？ 情景导入 1. 什么叫函数 ? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量， y 是 x 的函数 . 3 . 一元二次方程的一般形式是什么？ 一般地，形如 y = kx + b （ k,b 是常数， k ≠0 ）的函数叫做一次函数 . 当 b =0 时，一次函数 y = kx 就叫做正比例函数 . 2 . 什么是一次函数？正比例函数？ ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0 ) 问题 1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于 x 的关系式为 . y =6 x 2 此式表示了正方体表面积 y 与正方体棱长 x 之间的关系，对于 x 的每一个值， y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数 . 二次函数的定义 问题2 n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ 分析： 每个球队 n 要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数 . n -1 答： 此式表示了比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系，对于 n 的每一个值， m 都有唯一的一个对应值，即 m 是 n 的函数 . 问题3 某工厂一种产品现在的年产量是 20 件，计划今后两年增加产量 . 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系怎样表示？ 分析： 这种产品的原产量是 20 件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量 y =________. 20(1+ x ) 20(1+ x ) 2 20(1+ x ) 2 答： y =20 x 2 +40 x +20； 此式表示了两年后的产量 y 与计划增产的倍数 x 之间的关系，对于 x 的每一个值， y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数 . 问题 1-3 中函数关系式有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次整式表示 的 y =6 x 2 y =20 x 2 +40 x +20 想一想 二次函数的定义： 形如 y = ax ²+ bx + c ( a , b , c 是常数, a ≠ 0 )的函数叫做 二次函数 . 其中 x 是自变量， a,b,c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项 . 温馨提示： （1） 等号左边是变量 y ，右边是关于自变量 x 的整式； （2） a , b , c 为常数，且 a ≠ 0; （3） 等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 归纳总结 例 1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（ x 是自变量） ① y = ax 2 + bx + c ② s =3-2 t ² ③ y = x 2 ④ ⑤ y = x ²+ x ³+25 ⑥ y =( x +3)²- x ² 不一定是，缺少 a ≠0 的条件. 不是，右边是分式. 不是， x 的最高次数是 3. y =6 x +9 典例精析 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 外， 还有其特殊形式如 y = ax 2 , y = ax 2 + bx , y = ax 2 + c 等. 方法归纳 想一想 : 二次函数的一般式 y = ax 2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0） 与一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠ 0） 有什么联系和区别？ 联系 ： (1) 等式一边都是 ax 2 ＋ bx ＋ c 且 a ≠ 0； (2) 方程 ax 2 ＋ bx ＋ c =0 可以看成是函数 y = ax 2 ＋ bx ＋ c 中 y =0 时得到的. 区别 : 前者是函数 . 后者是方程 . 等式另一边前者是 y , 后者是 0. 二次函数定义的应用 例 2 （1） m 取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m 取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）由题 可知, 解得 （2）由题 可知, 解得 m =3 . 第 （2） 问易忽略二次项系数 a ≠0 这一限制条件，从而得出 m =3 或 -3 的错误答案，需要引起同学们的重视 . 注意 1. 已知 : ， k 取什么值时， y 是 x 的二次函数？ 解：当 =2 且 k+2≠0 ，即 k =-2 时 , y 是 x 的二次函数 . 解： 由题意得： ∴m≠±3 变式训练 解： 由题意得： 【解题小结】 本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题. 例 3 ： 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 ( 最低档次 ) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件． (1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 ( 其中 x 为正整数，且 1≤ x ≤10) ，求出 y 关于 x 的函数关系式； 解： ∵ 第一档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每提高一个档次，每件利润加 2 元，但一天产量减少 5 件， ∴ 第 x 档次，提高了 ( x － 1) 档，利润增加了 2( x － 1) 元． ∴ y ＝ [6 ＋ 2( x － 1)][95 － 5( x － 1)] ， 即 y ＝－ 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400( 其中 x 是正整数，且 1≤ x ≤10) ； (2) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元，求该产品的质量档次． 解：由题意可得 － 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400 ＝ 1120 ， 整理得 x 2 － 18 x ＋ 72 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 6 ， x 2 ＝ 12( 舍去 ) ． 所以，该产品的质量档次为第 6 档． 【方法总结】 解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型． 思考： 1. 已知二次函数 y ＝－ 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400 , 自变量 x 的取值范围是什么？ 2. 在例 3 中，所得出 y 关于 x 的函数关系式 y ＝－ 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400 ，其自变量 x 的取值范围与 1 中相同吗？ 【总结】 二次函数自变量的取值范围一般是 全体实数 ，但是在实际问题中，自变量的取值范围应 使实际问题有意义 . 二次函数的值 例 4 一个二次函数 . （ 1 ）求 k 的值 . （ 2 ）当 x = 0.5 时， y 的值是多少？ 解： （ 1 ）由题意，得 解得 将 x = 0.5 代入函数关系式 . （ 2 ）当 k = 2 时， 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为 0 及自变量指数为 2 这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将 x 的值代入其中，求出 y 的值 . 归纳总结 2. 函数 y =( m - n ) x 2 + mx + n 是二次函数的条件是 ( ) A . m , n 是常数 , 且 m ≠0 B . m , n 是常数 , 且 n ≠0 C . m , n 是常数 , 且 m ≠ n D . m , n 为任何实数 C 1 . 把 y=(2-3 x )(6+ x ) 变成一般式，二次项为_____,一次项 系数为______，常数项为 . 3 ． 下列函数是二次函数的是 ( ) A ． y ＝ 2 x ＋ 1 B ． C ． y ＝ 3 x 2 ＋ 1 D ． C -3 x 2 -16 12 随堂练习 4. 已知函数 y=3 x 2 m -1 － 5 ① 当 m = ＿＿时， y 是关于 x 的一次函数； ② 当 m = ＿＿时， y 是关于 x 的反比例函数； ③ 当 m = ＿＿时， y 是关于 x 的二次函数 . 1 0 5. 若函数 是二次函数，求： （ 1 ）求 a 的值 . (2) 求函数关系式 . （ 3 ）当 x = - 2 时， y 的值是多少？ 解： （ 1 ）由题意，得 解得 （ 2 ）当 a =- 1 时，函数关系式为 . （ 3 ）将 x = - 2 代入函数关系式中，有 6. 写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （ 1 ）写出正方体的表面积 S (cm 2 ) 与正方体棱长 a （ cm ）之间的函数关系； （ 2 ）写出圆的面积 y (cm 2 ) 与它的周长 x (cm) 之间的函数关系； （ 3 ）菱形的两条对角线的和为 26cm ，求菱形的面积 S (cm 2 ) 与一对角线长 x (cm) 之间的函数关系． 7. 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的商品，根据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500kg ，销售单价每涨 1 元，月销售量 就减少 10kg, 针对这种商品的销售情况，请解答下列问题： （ 1 ）当销售单价为每千克 55 元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？ （ 2 ）设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围） 8. 矩形的周长为 16cm , 它的一边长为 x （ cm), 面 积为 y （ cm 2 ). 求 （ 1 ） y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围； （ 2 ） 当 x =3 时矩形的面积 . 解 ：(1) y ＝(8－ x ) x ＝－ x 2 ＋8 x (0＜ x ＜8)； (2) 当 x ＝3 时 ， y ＝－3 2 ＋8×3＝15 cm 2 . 二次函数 定 义 y = ax 2 + bx +c( a ≠0 ， a , b , c 是常数 ） 一般形式 右边是整式； 自变量的指数是 2 ； 二次项系数 a ≠0. 特殊形式 y = ax 2 ； y = ax 2 + bx ； y = ax 2 + c ( a ≠0 ， a , b , c 是常数） . 课堂小结