备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题45 直线与方程 15页

1 专题 45 直线与方程 【热点聚焦与扩展】 高考对直线与方程的考查要求较低，以小题的形式考查直线与方程，一般难度不大，但呈现综合性较强的 趋势，与充要条件、基本不等式、导数等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌 握直线方程的基础知识，熟练掌握两条直线的位置关系、点到直线的距离、平行直线间的距离等.其中两直 线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用，是高考的热点，另外，两直线的位置关系与 向量的结合，也应予以足够的重视．本专题通过例题说明关于直线问题的解法与技巧. （一）直线与方程： 1、倾斜角：若直线 与 轴相交，则以 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与 重合所成的角称为直 线 的倾斜角，通常用 表示 （1）若直线与 轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、斜率：设直线的倾斜角为 ，则 的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当 时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4） 越大，直线越陡峭 （5）斜率 的求法：已知直线上任意两点 ，则 ，即直线的斜率是确定的， 与所取的点无关. 3、截距：若直线 与坐标轴分别交于 ，则称 分别为直线 的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可 0（不要顾名思义误认为与“距 离”相关） （2）横纵截距均为 0 的直线为过原点的非水平非竖直直线 4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的 方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关 （1）一点一方向： l x x l l , , ,α β γ  x 0 [ )0,α π∈ α α tank α= 2 πα = k k ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 1 2 1 y yk x x −= − l ( ) ( ),0 , 0,a b ,a b l 2 ① 点斜式：已知直线 的斜率 ，直线上一点 ，则直线 的方程为： 证明：设直线 上任意一点 ，根据斜率计算公式可得： ，所以直线上的每一点都应满足： ，即为直线方程 ② 斜截式：已知直线 的斜率 ，纵截距 ，则直线 的方程为： 证明：由纵截距为 可得直线与 轴交点为 ，从而利用点斜式得： 化简可得： （2）两点确定一条直线： ③ 两点式：已知直线 上的两点 ，则直线 的方程为： ④ 截距式：若直线 的横纵截距分别为 ，则直线 的方程为： 证明：从已知截距可得：直线上两点 ，所以 ⑤ 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由 的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写 为： （ 不同时为 0），此形式称为直线的一般式 一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果 可用于判定直线的平行垂直关系 点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式 5、五种直线形式所不能表示的直线： （1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线） （2）截距式：① 截距不全的直线：水平线，竖直线 ② 截距为 0 的直线：过原点的直线 6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点， l k ( )0 0,P x y l ( )0 0y y k x x− = − l ( ),Q x y 0 0 y yk x x −= − ( )0 0y y k x x− = − l k b l y kx b= + b y ( )0,b ( )0y b k x− = − y kx b= + l ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y l 2 2 1 2 1 2 y y x x y y x x − −=− − l ( ), 0a b ab ≠ l 1x y a b + = ( ) ( ),0 , 0,a b 0 0 b bk a a −= = −− ( ): 0 1b x yl y b x bx ay aba a b ∴ − = − − ⇒ + = ⇒ + = ,x y 0Ax By C+ + = ,A B 3 或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条 件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） （二）直线位置关系： 1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合 如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是 ，则要考虑重合的情况. 2、直线平行的条件 （1）斜截式方程：设直线 ① ② 若直线 的斜率存在，则 （2）一般式方程：设 ，则 ① 当 时， ∥ ② ，且 和 中至少一个成立，则 ∥ （此条件适用于所有直线） 3、直线垂直的条件： （1）斜截式方程：设直线 ，则 （2）一般式方程：设 ，则： 4、一般式方程平行与垂直判定的规律： 可选择与一般式方程 对应的向量： ，即有： ，从而 的关系即可代 表 的关系，例如： （注意验证是否会出现重合的情况） 1 2,l l 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b= + = + 1 2 1 2 1 2,k k b b l l= ≠ ⇒ ∥ 1 2,l l 1 2 1 2l l k k⇒ =∥ 1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C+ + = + + = 1 1 1 2 2 2 A B C A B C = ≠ 1l 2l 1 2 2 1A B A B= 1 2 2 1AC A C≠ 1 2 2 1B C B C≠ 1l 2l 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b= + = + 1 2 1 2 1l l k k⊥ ⇔ ⋅ = − 1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C+ + = + + = 1 2 1 2 1 20A A B B l l+ = ⇒ ⊥ 0Ax By C+ + = ( ),a A B= ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2: 0 , , : 0 ,l A x B y C a A B l A x B y C a A B+ + = ⇒ = + + = ⇒ =  1 2,a a  1 2,l l 1 2 2 1 1 2 1 2A B A B a a l l= ⇒ ⇒ ∥ ∥ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 20 0A A B B a a a a l l+ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥    4 （三）距离问题： 1、两点间距离公式：设 ，则 2、点到直线距离公式：设 则点 到直线 的距离 3、平行线间的距离： 则 的距离为 （四）对称问题 1、中心对称： （1）几何特点：若 关于 点中心对称，则 为线段 的中点 （2）解析特征：设 ， ，则与 点关于 点中心对称的点 满足： 2、轴对称 （1）几何特点：若若 关于直线 轴对称，则 为线段 的中垂线，即 ，且 的中点在 上 （2）解析特征：设 ， ，则与 点关于 轴对称的点 满足： ，解出 即可 （3）求轴对称的直线：设对称轴为直线 ，直线 关于 的对称直线为 ① 若 ∥ ，则 ∥ ，且 到对称轴的距离与 到对称轴的距离相等 ② 若 与 相交于 ，则取 上一点 ，求出关于 的对称点 ，则 即为对称直线 （五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参 数的不同取值确定直线） ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( ) ( )2 2 1 2 1 2AB x x y y= − + − ( )0 0, , : 0P x y l Ax By C+ + = P l 0 0 2 2P l Ax By Cd A B − + += + 1 1 2 2: 0, : 0l Ax By C l Ax By C+ + = + + = 1 2,l l 1 2 2 2 C Cd A B −= + ',A A O O 'AA ( )0 0,A x y ( ),O a b A O ( )' ,A x y 0 0 0 0 22 2 2 x xa x a x y y y b yb + = = − ⇒ + = − = ',A A l l 'AA 'AA l⊥ 'AA l ( )0 0,A x y :l y kx b= + A l ( )' ,A x y ' 0 0 0 0 1 2 2 AA y yk x x k y y x xk b − = = − − + + = ⋅ + ( )' ,A x y l 1l l ' 1l 1l l ' 1l 1l ' 1l l 1l l P 1l A l 'A 'A P ' 1l 5 1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值 （1）与直线 平行的直线系方程为： （ 为参数，且 ） （2）与直线 垂直的直线系方程为： （ 为参数） 2、过定点的直线： （1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并 提取参数，只需让参数所乘的因式为 0 即可 （2）已知 （ 与 不重合），则过 交点的直线系方程为： （该直线无法表示 ） 3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只含一 个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求直线方程 【经典例题】 例 1.过点 和 的直线的斜率为 1，则实数 的值为（ ） A．1 B．2 C．1 或 4 D．1 或 2 【答案】A 【解析】依题意有 ． 例 2.已知直线方程为 则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由直线方程为 所以直线的斜率为 因为直线倾斜角的范围 所以倾斜角为 故答案为 . 0Ax By C+ + = 0Ax By m+ + = m m C≠ 0Ax By C+ + = 0Bx Ay m− + = m 1 1 1 1 2 2 2 2: 0, : 0l A x B y C l A x B y C+ + = + + = 1l 2l 1 2,l l ( )1 2 1 1 1 2 2 20 0l l A x B y C A x B y Cλ λ+ = ⇒ + + + + + = 2l ( )2,M a− ( ),4N a a 4 1, 12 a aa − = =+ ,3300sin300cos =+ yx  60  30060 或 30  33030 或 ,3300sin300cos =+ yx  3 3 60sin 60cos )60sin( )60cos( )60360sin( )60360cos( 300sin 300cos ==− −−=− −−=−=         k )180,0[  30 C 6 例 3. 坐标平面内有相异两点 ，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】 ，且 .设直线的倾斜角为 ，当 时，则 ，所以倾斜角 的范围为 .当 时，则 ，所以倾 斜角 的范围为 . 例 4. 直线 过点 ，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程. 【答案】 或 . 例 5. 已知直线 ，其中 ，则“ ”是“ ”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】直线 的充要条件是 或 .故选 A. 例 6.【2019 届四川省南充高级中学高三 9 月检测】已知直线 .若 ，则实数 的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 2(cos ,sin ), (0,1)A Bθ θ ,4 4 π π −   30, ,4 4 π π π          30 , ,4 4 π π π          3,4 4 π π     3 4 π α π≤ < 2 2sin 1 cos cos [ 1,1]cos cosABk θ θ θθ θ − −= = = − ∈ − 0ABk ≠ α 0 1ABk< ≤ 0 tan 1α< ≤ α 0 4 πα≤ ≤ 1 0ABk− ≤ < 1 tan 0α− ≤ < α 3 4 π α π≤ < l (4, 1)P − l 1 4y x= − 3 0x y+ − = ( )1 2: 2 1 0, : 2 0l ax a y l x ay+ + + = + + = a R∈ 3a = − 1 2l l⊥ 1 2l l⊥ ( ) ( )2 0 3 0 0a a a a a a+ + = ∴ + = ∴ = 3a = − ( )1 2: 2 1 0, : 2 0l ax a y l ax y+ + + = − + = 1 2/ /l l a 0 3− 2 1− 0 3− 7 【解析】 ，则 即 经检验都符合题意 故选 A. 例 7．已知 两点，直线 过点 且与线段 相交，直线 的斜率 的取值范围是 . 【答案】 例 8. 设直线 l 的方程为 ． (1)若 在两坐标轴上截距相等，求 的方程； (2)若 不经过第二象限，求实数 的取值范围． 【答案】(1) .(2) ． 【解析】 (1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零，∴ ，方程即为 . 当直线不经过原点时，截距存在且均不为 0， ∴ ＝ ，即 方程即为 .综上， 的方程为 . (2)将 的方程化为 ∴ 或 , 综上可知 的取值范围是 ． 点睛：涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为 的情况；另外，某些涉及直线问题中， 往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意. 1 2/ /l l ( ) ( )1 2a a a× − = + 2 3 0a a+ = 0 3a a∴ = = −或 (2,4), (1,1)A B l (0,2)C AB l k [ 1,1]− x y l 1 2 3 1 2 3 4 O A B C D x y l 1 2 3 1 2 3 4 O A B C D 1 2( ) ( )0a x y a a R∈＋ ＋ ＋ － ＝ l l l a 3x y 0 x y 2 0＋ ＝ 或 ＋ ＋ ＝ ( 1]∞－ ，－ a 2＝ 3x y 0＋ ＝ 2 1 a a − + a 2－ a 1 1. a 0∴＋ ＝ ＝ ， x y 2 0＋ ＋ ＝ l 3x y 0 x y 2 0＋ ＝ 或 ＋ ＋ ＝ l y (a 1)x a 2＝－ ＋ ＋ － ， ( )1 0 2 0 a a − + > − ≤ ( )1 0 2 0 a a − + = − ≤ a 1.∴ ≤－ a ( 1]∞－ ，－ 0 8 例 9.【2019 届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线 与直线 ， 为它们的交点，点 为平面内一点.求 （1）过点 且与 平行的直线方程； （2）过 点的直线，且 到它的距离为 2 的直线方程. 【答案】（1） （2） 或 【解析】试题分析：(1)先求 ，写出直线点斜式方程，整理得解(2)先求两条直线的交点，设出直线方 ∴ （2） ∴ ， 当斜率不存在，则方程为 ，不合题意 当斜率存在，设方程 , 而 , ∴ , ∴ , ， ∴ 或 ， 9 ∴方程为 或 . 例 10. 已知直线 ，直线 ，若直线 关于直线 的对称直线为 ，求直线 的 方程． 【答案】 . 【解析】 直线 关于直线 对称， 所以 与 与 间的距离相等． 由两平行直线间的距离公式得 ， 解得 或 （舍去）， 所以直线 的方程为 . 法二：由题意知 ，设直线 ， 在直线 上取点 ， 设点 关于直线 的对称点为 ， 于是有 ，解得 ，即 ． 把点 代入 的方程，得 ， 所以直线 的方程为 ． 【精选精练】 1 : 3 0l x y− + = 1 0l x y− − =： 1l l 2l 2l 5 0x y− − = 1 2,l l l 1l 2,l l l ( ) ( )3 1 1 2 2 m− − − −= 5m = − 3m = 2l 5 0x y− − = 1 2/ /l l ( )2 : 0 3, 1l x y m m m− + = ≠ ≠ − 1l ( )0,3M M l ( ),M a b′ 3 1 1 0 3 1 02 2 b a a b − × = − + + − − = 4 1 a b =  = − ( )4, 1M ′ − ( )4, 1M ′ − 2l 5m = − 2l 5 0x y− − = 10 1.【2019 届云南省师范大学附属中学高三月考卷（二）】已知直线的倾斜角为 ，直线 经过 ， 两点，且直线与 垂直，则实数 的值为（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 2.已知直线 与直线 平行，则实数 的值为 ( ) A. B． C. D. 【答案】A 【解析】由题意， ，即 ,选 A. 3.平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是（ ） A． 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】 ． 4.已知直线 在两坐标轴上的截距之和为 4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的 面积的最大值是 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】直线 在两坐标轴上的截距之和为 4，所以 ，即 ，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 . 5．若直线 与以 ， 为端点的线段没有公共点，则实数 的取值范围是（ ） 1 : 2 1 0l x y− + = 2 : 0l mx y− = m 1 2 1 2 − 2 2− 1 1 2 m −= − 1 2m = 012 =++ yx 522 =+ yx 052 =+− yx 052 =−− yx 052 =++ yx 052 =−+ yx 052 =+− yx 052 =−− yx 052 =++ yx 052 =−+ yx D ( ): 1 0, 0x yl a ba b + = > > 2 2 4 6 ( ): 1 0, 0x yl a ba b + = > > 4a b+ = 14 2 4 22ab ab ab≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ 2 2 0x ay+ − = ( )3 1A ， ( )1 2B ， a 11 A． B． C. D． 【答案】D 【解析】直线 过定点 ,所以 ，选 D. 6.直线 经过点 ，则倾斜角与直线 的倾斜角互为补角的一条直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将点 代入得 ，直线方程为 ，斜率为 ，倾斜角为 .故 和其垂直的直线斜率为 ，故选 C. 7.点 ， ， ，若线段 和 有相同的垂直平分线，则点 的坐标是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 8.如图所示，已知 A(4,0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直 线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是(　　) ( )2 1− ， ( ) ( ) 2 1 −∞ − + ∞， ， 11 2  −  ， ( ) 1 1 2  −∞ − + ∞  ， ， 2 0x ay+ − = ( )2 0C ， 1 1( , ) ( 2,1) ( , 1) ( , )2CB CAk k aa − ∈ = − ⇒ ∈ −∞ − +∞ 2: 1 0l mx m y− − = ( )2,1P l 1 0x y− − = 2 3 0x y− − = 3 0x y+ − = 2 4 0x y+ − = ( )2,1P 22 1 0, 1m m m− − = = 1 0x y− − = 1 4 π 1− (2,0)A ( 2,4)B − (5,8)C AB CD D (6,7) (7,6) ( 5, 4)− − ( 4, 5)− − 12 A．2 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【解析】由题意知点 P 关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)，关于 y 轴的对称点为 C(－2,0)，则光线所经过的 路程为|CD|＝2 ．故选 A． 9.若直线 ： 经过点 ，则直线 在 轴和 轴的截距之和的最 小值是 ． 【答案】 ． 【解析】由题意得 ，∴截距之和为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，即 的最小值为 ． 10.已知两直线 和 ．试确定 的值，使 （1） 与 相交于点 ； （2） ∥ ； 10 3 5 10 l 1( 0, 0)x y a ba b + = > > ( )1,2 l x y 3 2 2+ 23 2 3 2 2a b b a ≥ + ⋅ = + 1 : 8 0l mx y n+ + = 2 1 0l x my+ − =：2 ,m n 1l 2l ( , 1)P m − 1l 2l 13 （3） ，且 在 轴上的截距为－1． 【答案】（1） ， ；（2） ， 或 ， ；（3） ， . 【解析】 试题分析：（1）将点 代入两直线方程，解出 和 的值；（2）由 ∥ 得斜率相等，求出 值， 再把直线可能重合的情况排除；（3）先检验斜率不存在的情况，当斜率存在时，看斜率之积是否等于 ， ∴ 或 即 ， 时或 ， 时， ． （3）当且仅当 ，即 时， ．又 ，∴ ． 即 ， 时， ，且 在 轴上的截距为 ． 11.【2019 届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线 的方程为 ，求 的 方程，使得： （1） 与 平行，且过点 ； （2） 与 垂直，且 与两坐标轴围成的三角形面积为 4. 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）由 与 平行可设 ，再代点 得 .（2）由 与 垂 1l ⊥ 2l 1l y 1=m 7=n 4=m 2−≠n 4−=m 2≠n 0=m 8=n ( )1,−mp m n 1l 2l m 1− 4 2 m n =  ≠ − 4 2 m n = −  ≠ 4=m 2−≠n 4−=m 2≠n 21 //ll 082 =⋅+⋅ mm 0=m 21 ll ⊥ 18 −=− n 8=n 0=m 8=n 21 ll ⊥ 1l y 1− 1l 3 4 12 0x y+ − = 2l 2l 1l ( )1,3− 2l 1l 2l 3 4 9 0x y+ − = 4 4 6 3 3y = ± 2l 1l 2 :3 4 0l x y m+ + = ( )1,3− 9m = 2l 1l 14 直可设 ，再得与坐标轴的交点，根据面积公式得 ，最后解方程得 试题解析：解：（1）设 ， ∵ 过点 ， ∴ . ∴ 方程为 . ∴ . ∴ 方程为 或 . 12．已知 ，直线 ， 相交于点 P， 交 y 轴于点 A， 交 x 轴于点 B （1）证明： ； （2）用 m 表示四边形 OAPB 的面积 S，并求出 S 的最大值； （3）设 S= f (m), 求 的单调区间. 【答案】（1）见解析；（2）1；（3）在（－1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数. 2 : 4 3 0l x y n− + = 1 2 4 3AOB n nS∆ = ⋅ n 2 :3 4 0l x y m+ + = 2l ( )1,3− 9m = 2l 3 4 9 0x y+ − = 4 6n = ± 2l 4 3 4 6 0x y− + = 4 3 4 6 0x y− − = 4 4 6 3 3y = ± | m | 1< 1 2: 1, : 1l y mx l x my= + = − + 1 2l l与 1l 2l 1 2l l⊥ 1U S S = + 15 【解析】（1）证明：可把两条直线化为 （3） , 又 是单调递减的函数, 而 在（－1，0）上递增，在（0，1）上递减， 在（－1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数 1 2: 1 0, : 1 0l mx y l x my− + = + − = 2 2 1 11 1U S mS m = + = + + + 1 1( ,1], ( ,1]2 2S U∈ 且 在 1 1S m = +2 1U S S ∴ = +