南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题05：不等式问题 18页

南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 1 专题 5：不等式问题 目录 问题归类篇 ............................................................................................................................................................... 2 类型一: 解不等式 ........................................................................................................................................... 2 类型二:不等式恒成立 ..................................................................................................................................... 3 类型三:基本不等式 ......................................................................................................................................... 5 类型四: f(x)＝x＋a x型函数 ............................................................................................................................ 7 类型五: f(x)＝ax2＋bx＋c dx＋e (或 f(x)＝ dx＋e ax2＋bx＋c)型 .................................................................................. 8 类型六: 线性规划 ......................................................................................................................................... 10 综合应用篇 ............................................................................................................................................................. 12 一、例题分析 ................................................................................................................................................. 12 二、反馈巩固 ................................................................................................................................................. 13 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 2 问题归类篇 类型一: 解不等式 一、前测回顾 1． 解下列不等式： (1)－3x2＋4x＋4＞0 (2) －2＋x x＋1 ≤2 (3) 4x－3·2x＋1 2－8≤0 （4）ax2－ax＋1＜0 答案：(1)(－2 3，2)；(2) (－∞，－4]∪(－1，＋∞)； (3)(－∞，5 2]； (4) 当 0≤a≤4 时，解集为；当 a＞4 时，a－ a2－4a 2a ＜x＜a＋ a2－4a 2a ； 当 a＜0 时，x＞a－ a2－4a 2a 或 x＜a＋ a2－4a 2a ． 二、方法联想 一元二次不等式 从四个方面考虑：(1)二次项系数为 0 和正负情况；(2)二次方程根是否存在情况(优先用十字相乘法 求根)；(3)二次方程根的大小情况； (4)二次不等式的不等号方向． 分式不等式 (1) f(x) g(x)＞0 等价于 f(x)g(x)＞0； f(x) g(x)＜0 等价于 f(x)g(x)＜0． (2) f(x) g(x)≥0 等价于  f(x)g(x)≥0， g(x)≠0； f(x) g(x)≤0 等价于  f(x)g(x)≤0， g(x)≠0． 三、方法应用 例 1. 已知函数 f(x)＝|x|＋|x－4|，则不等式 f(x2＋2)＞f(x)的解集用区间表示为________． 答案 (－∞，－2)∪( 2，＋∞) 思路分析 作出函数 f(x)＝|x|＋|x－4|的图像，通过函数的图像并结合单调性，得出关于 x 的不等式组， 解得 x 的取值范围． 函数 f(x)的图像如图，知图像关于直线 x＝2 对称． 因为 x2＋2＞0 且 f(x2＋2)＞f(x)，则必有    x2＋2＞4， x2＋2＞x， 4＜x2＋2＋x， 即    x2＞2， x2－x＋2＞0， x2＋x－2＞0， 解得 x∈(－∞，－2)∪( 2，＋∞)． 解后反思 本题主要考查分段函数的图像和性质、一元二次不等式等基础知识，考查数形结合、分类 讨论等思想及运算求解能力． 例 2. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝x2－4x，则不等式 f(x)＞x 的解集为 ________． 答案 (－5,0)∪(5，＋∞) 解法 1 不等式 f(x)＞x 的解集，即为函数 y＝f(x)图像在函数 y＝x 图像上方部分 x 的取值范围．因为函 数 f(x)和 y＝x 都是 R 上的奇函数，且方程 f(x)＝x 的根为±5 ,0，由图像知，不等式 f(x)＞x 的解集为(－5,0) 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 3 ∪(5，＋∞)． 解法 2 令 x＜0，则－x＞0，因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4(－ x)]＝－x2－4x.要使 f(x)＞x，则   x＞0， x2－4x＞x 或   x＜0， －x2－4x＞x 或   x＝0， 0＞x， 解得－5＜x＜0 或 x＞5，所以不等 式 f(x)＞x 的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 四、归类巩固 *1、设 0 ,不等式 28 (8sin ) cos2 0xx   对 xR 恒成立,则 的取值范围为____________. (一元二次不等式恒成立) 答案：          ,6 5 6,0  **2、已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________． 答案： 3 6 (判别式法) 类型二:不等式恒成立 一、前测回顾 1．若对任意 x∈R，都有(m－2)x2－2(m－2)x－4＜0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ． 2． 若对任意 x＞0，都有 mx2－2x－1＜0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ． 3． 若对任意－1≤m≤1，都有 mx2－2x＋1－m＜0 恒成立，则实数 x 的取值范围是 ． 答案：(1)(－2，2]；(2)(－∞，0]；(3)( 3－1，2)． 二、方法联想 恒成立问题 (1)二次不等式恒成立问题 方法 1 结合二次函数图象分析． 方法 2 分离变量法 (2)一次不等式恒成立问题 ①若关于 x 的不等式 ax＋b≥0 对任意 x∈ [m，n]上恒成立，则  f(m)≥0， f(n)≥0； ②若关于 x 的不等式 ax＋b≤0 对任意 x∈[m，n]上恒成立，则  f(m)≤0， f(n)≤0． 三、方法应用 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 4 例． (2017 全国卷Ⅱ) 设函数 f(x)＝(1－x2)ex． (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 x≥0 时，f(x)≤ax＋1，求 a 的取值范围． 解:(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex． 令 f′(x)＝0，得 x＝－1－ 2或 x＝－1＋ 2． 当 x∈(－∞，－1－ 2)时，f′(x)＜0；当 x∈(－1－ 2，－1＋ 2)时，f′(x)＞0；当 x∈(－1＋ 2， ＋∞)时，f′(x)＜0． 所以 f(x)在(－∞，－1－ 2)，(－1＋ 2，＋∞)上单调递减，在(－1－ 2，－1＋ 2)上单调递增． (2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex． 当 a≥1 时，设函数 h(x)＝(1－x)ex，则 h′(x)＝－xex＜0(x＞0)，因此 h(x)在[0，＋∞)上单调递减，而 h(0)＝1，故 h(x)≤1，所以 f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1． 当 0＜a＜1 时，设函数 g(x)＝ex－x－1，则 g′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，所以 g(x)在[0，＋∞)上单调递增， 而 g(0)＝0，故 ex≥x＋1． 当 0＜x＜1 时，f(x)＞(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取 x0＝ 5－4a－1 2 ，则 x0∈(0，1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故 f(x0)＞ax0＋1． 当 a≤0 时，取 x0＝ 5－1 2 ，则 x0∈(0，1)，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1． 综上，a 的取值范围是[1，＋∞)． 四、归类巩固 *1、已知当x∈(0，+∞)时，不等式9x-m·3 x+m+1>0恒成立，求实数m的取值范围. 答案：m<2+2 2. （数形结合解决恒成立） **2、若对任意 xR ，不等式 2 332 4x ax x   恒成立，则实数a 的范围是 ． 答案： 11a   （分离参数求范围） ** 3、已知函数   2 lnxf x a x x a   ，对任意的  12, 0,1xx ，不等式    121f x f x a   恒成立， 则 a 的取值范围是___________ 答案： ,e  （函数性质研究恒成立） **4、若存在正数 x 使 1)(2  axx 成立,则 a 的取值范围是 . 答案： 1a (注意存在性问题与恒成立问题的关联) **5、已知正数 x，y 满足 x＋2 2xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数 λ 的最小值为________； 答案 2(考查不等式恒成立). **6、当  1,2x 时，不等式 03423  xxax 恒成立，则实数 a 的取值范围是________； 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 5 答案 [-6,-2] (考查不等式恒成立). **7、已知函数 f(x)＝x2＋ax＋11 x＋1 (a∈R)，若对于任意的 x∈N*，f(x)≥3 恒成立，则 a 的取值范围是________； 答案  －8 3，＋∞ (考查不等式恒成立). 类型三:基本不等式 一、前测回顾 1、函数 y＝1－4x＋ 1 5－4x(x＞5 4)的最大值为 ． 2、已知 x＞0，y＞0 ，且1 x＋9 y＝2，则 x＋y 的最小值为 ． 答案：(1)－6；(2)8． 二、方法联想 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 三个不等式关系： (1)a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取等号． (2)a，b∈R＋，a＋b≥2 ab，当且仅当 a＝b 时取等号． (3)a，b∈R，a2＋b2 2 ≤(a＋b 2 )2，当且仅当 a＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了 a2＋b2 ，ab ，a＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2 ab(或 ab≤(a＋b 2 )2)，当且仅当 a＝b 时取等号，所 以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 三、方法应用 例 1. 已知 a＋b＝2，b＞0，当 1 2|a|＋|a| b 取最小值时，实数 a 的值是________． 答案－2 思路分析 1 注意到所研究的代数式 1 2|a|＋|a| b 中含有|a| b ，因此，将另一个式子 1 2|a|利用条件 a＋b＝2 转化 为|a| b 的倒数形式，应用基本不等式来进行求最值． 思路分析 2 通过消元，将 1 2|a|＋|a| b 转化为一元函数，通过研究一元函数的性质来研究它的最值． 解法 1 1 2|a|＋|a| b ＝a＋b 4|a| ＋|a| b ＝ a 4|a|＋ b 4|a|＋|a| b ≥－1 4＋2 b 4|a|·|a| b ＝3 4，当且仅当 a＜0，且 b 4|a|＝|a| b ，即 a＝ －2，b＝4 时取等号． 解法 2 因为 a＋b＝2，b＞0，所以 1 2|a|＋|a| b ＝ 1 2|a|＋ |a| 2－a(a＜2)． 设 f(a)＝ 1 2|a|＋ |a| 2－a(a＜2)， 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 6 则 f(a)＝   1 2a＋ a 2－a， 0≤a＜2， － 1 2a－ a 2－a， a＜0. ) 当 a＜0 时，f(a)＝－ 1 2a－ a 2－a，从而 f′(a)＝ 1 2a2－ 2 a－22＝－3a－2a＋2 2a2a－22 ，故当 a＜－2 时，f′(a) ＜0；当－2＜a＜0 时，f′(a)＞0，故 f(a)在(－∞，－2)上是减函数，在(－2，0)上是增函数，故当 a＝－2 时，f(a)取得极小值3 4；同理，当 0≤a＜2 时，函数 f(a)在 a＝2 3处取得极小值5 4.综上，当 a＝－2 时，f(a)min ＝3 4. 解后反思 研究多元函数的最值问题，通常有两种基本方法：一是应用基本不等式来进行求解，在利 用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中 字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出 现错误；二是应用消元法，转化为一元函数，通过函数法来进行求解．从本题的解题过程中来看，应用基 本不等式来求最值的过程较为简洁，但思维要求高；而应用函数法来求最值，过程比较繁琐，但操作性较 强．两种方法各有特色，在解题中，要进行优化选择． 例 2． 已知正数 x，y 满足 x＋y＝1，则 4 x＋2＋ 1 y＋1的最小值为________． 答案 9 4 解法 1 令 x＋2＝a，y＋1＝b，则 a＋b＝4(a＞2，b＞1)，4 a＋1 b＝1 4(a＋b) 4 a＋1 b ＝1 4 5＋4b a ＋a b ≥1 4(5＋ 4)＝9 4，当且仅当 a＝8 3，b＝4 3，即 x＝2 3，y＝1 3时取等号． 解法 2 (常数代换)设 a＝x＋2，b＝y＋1，则 4 x＋2＋ 1 y＋1＝4 a＋1 b＝a＋b a ＋a＋b 4b ＝5 4＋b a＋ a 4b≥9 4，当且仅当 a＝2b 时取等号． 四、归类巩固 *1、设a>0，b>0，a+b=5，则 a+1+ b+3的最大值为 . 解答：3 2 **2、若不等式x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为________． (结构特征,消元) 答案： 2 15  **3.若正实数 yx, 满足 xyyx  62 ，则 xy 的最小值是 ； (考查基本不等式) 答案 )0,( **4．已知 f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当 x∈R 时，若 f(x)恒为正值，则 k 的取值范围是________； (考查不等式恒成立). 答案 (－∞，－1＋2 2) 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 7 ***5．已知二次函数 f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则a＋1 c ＋c＋1 a 的最小值为 ________； (考查函数性质应用,基本不等式). 答案 4 类型四: f(x)＝x＋a x型函数 一、前测回顾 求下列函数的值域： (1)y＝ x2＋5 x2＋4 ； (2)f(x)＝x＋a x，x∈[1，2] 答案：(1)5 2； (2)当 a≤1 时，值域为[1＋a，2＋a 2]，当 1＜a＜2 时，值域为[2 a，2＋a 2]， 当 2≤a≤4．值域为[2 a，1＋a]，当 a＞4 时，值域为[2＋a 2，1＋a]． 二、方法联想 对于 f(x)＝x＋a x， 当 a≤0 时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数； 当 a＞0 时，f(x)在(－∞， a)，( a，＋∞)为增函数；在(－ a，0)，(0， a)为减函数． 注意 在解答题中利用函数 f(x)＝x＋a x的单调性时，需要利用导数进行证明． 三、方法应用 例. 若实数 x，y 满足 xy＋3x＝3 0＜x＜1 2 ，则3 x＋ 1 y－3的最小值为________． 答案 8 解法 1 因为实数 x，y 满足 xy＋3x＝3 0＜x＜1 2 ，所以 y＝3 x－3(y＞3)， 所以3 x＋ 1 y－3＝y＋3＋ 1 y－3＝y－3＋ 1 y－3＋6≥2 y－3· 1 y－3＋6＝8，当且仅当 y－3＝ 1 y－3，即 y＝4 时取等号，此时 x＝3 7，所以3 x＋ 1 y－3的最小值为 8. 解法 2 因为实数 x，y 满足 xy＋3x＝3 0＜x＜1 2 ，所以 y＝3 x－3(y＞3)，y－3＝3 x－6＞0， 所以3 x＋ 1 y－3＝3 x＋ 1 3 x－6 ＝3 x－6＋ 1 3 x－6 ＋6≥2  3 x－6 · 1 3 x－6 ＋6＝8，当且仅当3 x－6＝ 1 3 x－6 ，即 x＝3 7时 取等号，此时 y＝4，所以3 x＋ 1 y－3的最小值为 8. 四、归类巩固 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 8 *1、若函数 222)(  x x axf 的值域为 ,0 ,则实数 a 的取值范围是 . 答案： 1, (问题转化) **2、设k>0，若关于x的不等式kx+ 4 x-1≥5在(1，+∞)上恒成立，则k的最小值为 . 答案：1 类型五: f(x)＝ax2＋bx＋c dx＋e (或 f(x)＝ dx＋e ax2＋bx＋c)型 一、前测回顾 求下列函数的值域： (1)y＝ x2－2x＋2 2x－1 (x＞1 2) (2)y＝ x－1 x2－x＋2(x≤－1) 答案：(1)[ 5－1 2 ，＋∞)；(2)[－1 2，0)． 二、方法联想 令 dx＋e＝t 进行换元(即将二次部分用一次部分表示)，转化为 f(x)＝x＋a x型函数问题． 三、方法应用 例.如图，某机械厂要将长 6 m，宽 2 m 的长方形铁皮 ABCD 进行裁剪．已知点 F 为 AD 的中点，点 E 在边 BC 上，裁剪时先将四边形 CDFE 沿直线 EF 翻折到 MNFE 处(点 C，D 分别落在直线 BC 下方点 M， N 处，FN 交边 BC 于点 P)，再沿直线 PE 裁剪． (1) 当∠EFP＝π 4时，试判断四边形 MNPE 的形状，并求其面积； (2) 若使裁剪得到的四边形 MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由． 解答 (1) 当∠EFP＝π 4时，由条件得 ∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝π 4. 所以∠FPE＝π 2.所以 FN⊥BC， 四边形 MNPE 为矩形．(3 分) 所以四边形 MNPE 的面积 S＝PN·MN＝2(m2). (5 分) (2) 解法 1 设∠EFD＝θ 0＜θ＜π 2 ，由条件，知∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝θ. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 9 所以 PF＝ 2 sinπ－2θ＝ 2 sin2θ， NP＝NF－PF＝3－ 2 sin2θ， ME＝3－ 2 tanθ.(8 分) 由   3－ 2 sin2θ＞0， 3－ 2 tanθ＞0， 0＜θ＜π 2， 得   sin2θ＞2 3， tanθ＞2 3， 0＜θ＜π 2. (*) 所以四边形 MNPE 面积为 S＝1 2(NP＋ME)MN ＝1 2  3－ 2 sin2θ ＋ 3－ 2 tanθ ×2 ＝6－ 2 tanθ－ 2 sin2θ ＝6－ 2 tanθ－2sin2θ＋cos2θ 2sinθcosθ ＝6－ tanθ＋ 3 tanθ (12 分) ≤6－2 tanθ· 3 tanθ＝6－2 3. 当且仅当 tanθ＝ 3 tanθ，即 tanθ＝ 3，θ＝π 3时取“＝”．(14 分) 此时，(*)成立． 答：当∠EFD＝π 3时，沿直线 PE 裁剪，四边形 MNPE 面积最大，最大值为(6－2 3) m2.(16 分) 解法 2 设 BE＝t,3＜t＜6，则 ME＝6－t. 因为∠EFP＝∠EFD＝∠FEP，所以 PE＝PF，即 t－BP＝ 3－BP2＋22. 所以 BP＝13－t2 23－t，NP＝3－PF＝3－PE＝3－(t－BP)＝3－t＋ 13－t2 23－t.(8 分) 由   3＜t＜6， 13－t2 23－t＞0， 3－t＋ 13－t2 23－t＞0， 得    3＜t＜6， t＞ 13， t2－12t＋31＜0. (*) 所以四边形 MNPE 面积为 S＝1 2(NP＋ME)MN ＝1 2   3－t＋13－t2 6－2t ＋6－t ×2 ＝3t2－30t＋67 23－t (12 分) ＝6－   3 2t－3＋ 2 t－3 ≤6－2 3. 当且仅当3 2(t－3)＝ 2 t－3，即 t＝3＋ 4 3＝3＋2 3 3 时取“＝”．(14 分) 此时，(*)成立． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 10 答：当点 E 距点 B   3＋2 3 3 m 时，沿直线 PE 裁剪，四边形 MNPE 面积最大，最大值为(6－2 3) m2. 四、归类巩固 *1、已知 x≥5 2，求 f(x)＝x2－4x＋5 2x－4 最小值． 答案：1 4 **2、若不等式 )(3 22 babba   对任意 Rba , 恒成立,则实数 的最大值为 . (结构特征,消元) 答案：2 类型六: 线性规划 一、前测回顾 1．设 x，y 满足约束条件  x－4y≤－3 3x＋5y≤25 x≥1 ，则 (1) z＝x＋2y 的最小值为 ；(2)z＝2x－y 的最大值为 ； (3) z＝x2＋2x＋y2 的最大值为 ；(4) z＝ y x＋4的最大值为 ． 答案：(1)3；(2)8；(3)39；(4)22 25． 二、方法联想 利用线性规划区域求最值 将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值． 三、方法应用 例 1. 已知点 P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且 AP→＝mAB→＋nAC→，m，n∈R，则 (m－2)2＋(n－2)2 的 取值范围是________． 答案  9 2，8 思路分析 注意到点 P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP→＝mAB→＋nAC→，m，n∈R，所以 m，n 满足 条件    m＞0， n＞0， m＋n＜1， 因此，本题的本质就是在约束条件下求目标式(m－2)2＋(n－2)2 的取值范围，而(m－2)2 ＋(n－2)2 表示的是区域内的动点(m，n)到点(2,2)的距离的平方，因此，利用此几何意义不难得到问题的答 案． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 11 因为点 P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP→＝mAB→＋nAC→，所以 m，n 满足条件    m＞0， n＞0， m＋n＜1， 作出 不等式组平面区域如图所示．因为(m－2)2＋(n－2)2 表示的是区域内的动点(m，n)到点 A(2,2)的距离的平 方．因为点 A 到直线 m＋n＝1 的距离为|2＋2－1| 2 ＝ 3 2，故   3 2 2＜(m－2)2＋(n－2)2＜OA2，即(m－2)2＋(n －2)2 的取值范围是 9 2，8 . 解后反思 本题是隐藏在向量背景下的线性规划问题，本题的关键在于找到 m，n 所满足的不等关系， 有了不等关系，只需按线性规划问题的处理方法进行求解即可． 四、归类巩固 **1.已知实数 x，y 满足    y≥0， y－x＋1≤0， y－2x＋4≥0， 若 z＝y－ax 取得最大值时的最优解 (x，y)有无数个，则 a 的值为________； (考查线性规划). 答案 1 **2、已知函数 caxxf  2)( ,且 5)2(2,3)1(1  ff ,则 )3(f 的取值范围是 . (看成线性规划问题或同向不等式相加) 答案：     3 35,3 1 **3、三次函数    32 ,,f x x bx cx d b c d R     在区间 1,2 上是减函数，那么bc 的取值范围是 （线性规划与二次函数、导数等知识结合） 答案： 15, 2    ***4、已知 ,是三次函数    3211 2,32f x x ax bx a b R    的两个极值点，且    0,1 , 1,2， 则 2 1 b a   的取值范围是 （线性规划与根的分布结合） 答案： 1,14   ***5、已知三个正实数 ,,abc满足 2 , 2b a c b a b c a      ，则 a b 的取值范围是______ （三个变量向两个变量转化的线性规划问题） 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 12 答案： 23,32   综合应用篇 一、例题分析 例 1 设函数 f(x)＝x2＋ax＋3． (1)当 x∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求 a 的取值范围； (2)当 x∈[－2，2]时，f(x)≥a 恒成立，求 a 的取值范围； (3)设不等式 f(x)≥a 对于满足 1≤a≤3 的一切 a 的取值都成立，求 x 的取值范围． 解：(1)－6≤a≤2． (2) －7≤a≤2． 思路 1：(利用二次函数的图象) 注：此方法可改进，由 f(2)≥a，f(－2)≥a 得－7≤a≤7 3．对称轴 x＝－a 2∈[－7 6，7 2]，可少讨论一种 情况． 思路 2：(求函数的最值) 注：此方法可改进，由 f(2)≥a，f(－2)≥a 得－7≤a≤7 3，再进行分类讨论． 思路 3：(变量分离后，再求函数的最值) (3) x≤－3 或 x≥0． 【教学建议】 1．本题涉及到不等式恒成立问题，通常思路有 3 种， ①f(x)≥0，x∈D 恒成立f(x)min≥0 转化为求函数 f(x)的最小值(求最值时，可能要对参数进行讨论)； ②选进行变量分离，再求函数的最值；即 f(x)≥a，x∈D 恒成立f(x)min≥a． ③利用函数的图象和几何意义； 2．本题是二次不等式恒成立问题，第一问是二次不等式对任意实数恒成立，可由图象法及判别式处理． 第二问是二次不等式对 x∈[－2，2]恒成立，所以图象法，求最值，或变量分量后求最值均可，以方 法二较优． 例 2 设 m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0 与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 相切，求 m＋n 的取值范围． 解 m＋n∈(－∞，2－2 2]∪[2＋2 2，＋∞)． 思路 1：(基本不等式) 思路 2：(消元转化为求函数的值域) 思路 3：(利用图形的几何意义) 【教学建议】 1．本题是求二元函数的值域问题．这类问题主要有 3 种解题思路： ①直接利用基本不等式，这种方法往往只能求最大值或最小值； 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 13 ②消元转化为一元函数，再求最值； ③将两个变量看成一个有序实数对，当作平面内一个动点，从图形的几何意义方面，考虑求目标函 数的值域． 2．本题 3 种方法均可，方法一只适用于本题，方法二是一般方法，本题中方法三难度较大，对思维的 要求很高，但比较直观，在小题中使用较好． 例 3 在△ABC 中，AB＝AC，D 为 AC 中点，且 BD＝ 3，求△ABC 的面积的最大值． 解：S 取最大值 2． 思路 1：（代数方法）建立目标函数，求最值． 思路 2：（几何方法） 【教学建议】 1．本题是实际问题中的最值问题．这类问题通常有 2 种思路： ①根据图形的几何意义，确定取得最值的情形，再进行计算； ②建立目标函数，转化为求函数的最值． 2．本题采用思路 2，通过建立目标函数，再求函数的最值，再表示面积时，有两种方法，一是通过两边 及夹角求面积，一是通过底边与高求面积，因而有方法一与方法二． 3．方法一有纯代数的方法，转化为求双二次函数的最值，运算量较大；方法二结合图形的几何性质， 由于 BD 已知，因而要使面积最大，只需 A 到 BD 的距离最大，由于点 A 要求满足 AB＝2AD，因而 它的轨迹是一个圆，问题就转化为求轨迹上的点到直线 BD 距离的最大值问题，所以法二采用了建系 求轨迹的方法，运算量小，比方法一简单，但思维的要求更高． 二、反馈巩固 **1． (2016 江苏)已知实数 x，y 满足 2 4 0 2 2 0 3 3 0 xy xy xy            ，则 x2+y2 的取值范围是 ． (考查线性规划). 答案 4[ ,13]5 **2．设 yx, 满足约束条件           ,0 ,0 ,048 ,022 y x yx yx 若目标函数 )0,0(  bayabxz 的最大值为 8，则 ba  的 最小值为 ． (考查线性规划). 答案 4 *3．函数 )1(1 1072   xx xxy 的最小值是 ． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 14 (考查基本不等式). 答案 9 **4.若实数 x，y 满足 x2＋y2＋xy＝1，则 x＋y 的最大值为________． (考查基本不等式). 答案 2 3 3 **5.（2016 上海）设 .0,0  ba 若关于 ,xy的方程组 1 1 ax y x by    无解，则 ba  的取值范围是 ____________． (考查基本不等式). 答案 2+（ ， ） ***6.已知 632,,,  cbaRcba ，则 222 94 cba  的最小值为 ． (考查基本不等式). 答案 12 **7．如果函数        21 2 8 1 0 02f x m x n x m n      ， 在区间 1 22   ， 上单调递减，则 mn 的最 大值为_________________. (考查函数的单调性, 线性规划). 答案 18 ***8.若关于 x 的不等式(2ax－1)·ln x≥0 对任意 x∈(0，＋∞)恒成立，则实数 a 的值为________． (考查不等式恒成立问题，不等式与函数的关系). 答案：1 2； **9．已知函数 f(x)＝          .0,1)2 1( ,0),1 1(log2 x xx x 若 f(3－2a2)＞f(a)，则实数 a 的取值范围为________； (考查函数性质应用). 答案  －∞，－3 2 ∪(1，＋∞) **10．已知 f(x)是 定 义 在 (－ ∞， 4] 上 的 减 函 数 ， 是 否 存 在 实 数 m， 使 得 f(m － sin x)≤f 1＋2m－7 4＋cos2x 对定义域内的一切实数 x 均成立？若存在，求出实数 m 的取值范 围；若不存在，请说明理由． (考查函数性质应用,基本不等式). 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 15 解 假设实数 m 存在，依题意， 可得    m－sin x≤4， m－sin x≥ 1＋2m－7 4＋cos2x， 即    m－4≤sin x， m－ 1＋2m＋1 2≥－ sin x－1 2 2. 因为 sin x 的最小值为－1，且－(sin x－1 2)2 的最大值为 0，要满足题意，必须有    m－4≤－1， m－ 1＋2m＋1 2≥0， 解得 m＝－1 2或3 2≤m≤3. 所以实数 m 的取值范围是 3 2，3 ∪      －1 2 . **11．某开发商用 9 000 万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑 面积为 2 000 平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米 4 000 元，从第二层开 始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 100 元． (1)若该写字楼共 x 层，总开发费用为 y 万元，求函数 y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总 建筑费用＋购地费用) (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ (考查函数性质应用,基本不等式). 解 (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)， 从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)， 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800 为首项，20 为公差的等差数列， 所以函数表达式为： y＝f(x)＝800x＋xx－1 2 ×20＋9 000 ＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)； (2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为： 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 16 g(x)＝ fx 2 000x×10 000 ＝510x2＋790x＋9 000 x ＝50 x＋900 x ＋79 ≥50×(2 900＋79) ＝6 950(元)． 当且仅当 x＝900 x ，即 x＝30 时等号成立．[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 答：该写字楼建为 30 层时，每平方米平均开发费用最低． **12．某地区共有 100 户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为 3 万元．为了调整产 业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员 x(x>0)户农民 从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高 2x%，从事蔬菜加工 的农民每户年均收入为 3 a－3x 50 (a>0)万元． (1)在动员 x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从 事蔬菜种植的年总收入，试求 x 的取值范围； (2)在(1)的条件下，要使 100 户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种 植农民的年总收入，试求实数 a 的最大值． (考查函数性质应用,不等式恒成立). 解 (1)由题意得 3(100－x)(1＋2x%)≥3×100， 即 x2－50x≤0，解得 0≤x≤50， 又因为 x>0，所以 00，所以 a≤100 x ＋ x 25＋1 恒成立，而100 x ＋ x 25＋1≥5(当且仅当 x＝50 时取得等号)． 所以 a 的最大值为 5. **13. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以 点 O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成. 按设计要求扇环面的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为 10 米. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 17 设小圆弧所在圆的半径为 x 米，圆心角为 θ(弧度). (1)求 θ 关于 x 的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的 装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并求 出 x 为何值时，y 取得最大值？ (考查扇形的面积与弧长，基本不等式求最值的实际应用问题). 答案：（1）θ＝10＋2x 10＋x (0＜x＜10)； （2）y＝－x2＋5x＋50 170＋10x ，(0＜x＜10)；当 x＝1 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． **14．设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，函数 F(x)＝f(x)－x 的两个零点为 m，n(m＜n)． (1)若 m＝－1，n＝2，求不等式 F(x)＞0 的解集； (2)若 a＞0，且 0＜x＜m＜n＜1 a，比较 f(x)与 m 的大小． (考查函数性质,二次不等式应用). 解 (1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)·(x－n)， 当 m＝－1，n＝2 时，不等式 F(x)＞0，[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 即 a(x＋1)(x－2)＞0. 当 a＞0 时，不等式 F(x)＞0 的解集为{x|x＜－1 或 x＞2}； 当 a＜0 时，不等式 F(x)＞0 的解集为{x|－1＜x＜2}． (2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m ＝(x－m)(ax－an＋1)， ∵a＞0，且 0＜x＜m＜n＜1 a， ∴x－m＜0,1－an＋ax＞0. ∴f(x)－m＜0，即 f(x)＜m. ***15.【2018 全国一卷 21】已知函数 1( ) lnf x x a xx   ． （1）讨论 ()fx的单调性； （2）若 ()fx存在两个极值点 12,xx，证明：    12 12 2f x f x axx   ． (考查解不等式, 不等式综合应用). 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 18 解:（1） ()fx的定义域为(0, ) ， 2 22 11( ) 1 a x axfx x x x        . （i）若 2a  ，则 ( ) 0fx  ，当且仅当 2a  ， 1x  时 ( ) 0fx  ，所以 在 单调递减. （ii）若 2a  ，令 ( ) 0fx  得， 2 4 2 aax  或 2 4 2 aax  . 当 2244(0, ) ( , )22 a a a ax      时， ( ) 0fx  ； 当 2244( , )22 a a a ax     时， ( ) 0fx  . 所以 在 2244(0, ),( , )22 a a a a     单调递减， 在 2244( , )22 a a a a    单调递增. （2）由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 . 由于 的两个极值点 12,xx满足 2 10x ax   ，所以 12 1xx  ， 不妨设 12xx ，则 2 1x  .由于 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ln ln ln ln 2ln1 1 2 2 1 f x f x x x x x xaaax x x x x x x x xx                 ， 所以 12 12 ( ) ( ) 2f x f x axx   等价于 22 2 1 2ln 0xxx    . 设函数 1( ) 2lng x x xx   ，由（1）知， ()gx在 单调递减，又 (1) 0g  ，从而当 (1, )x  时， ( ) 0gx . 所以 ，即 .