湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高二上学期六科联赛（12月）数学（文） 12页

衡阳八中2018-2019学年高二上学期六科联赛试题（12月）‎ 数学（文） ‎ 请注意：时量：120分钟 满分：150分 一、 单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．给定下列命题：①全等的两个三角形面积相等；②3的倍数一定能被6整除；③如果，那么；④若，则。其中，真命题有(　　).‎ A. ① B. ①③④ C. ①④ D. ①②③④‎ ‎2．若运行右图的程序，则输出的结果是(　　).‎ A=9‎ A=A+13‎ PRINT A END A． 4 B． 13 ‎ C． 9 D． 22‎ ‎3．下列四个命题中，假命题为(　　).‎ A．，使成立 B．，使成立 C．， 均成立 D．，均成立 ‎4．抛物线的焦点到准线的距离是(　　).‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．椭圆上的一点到左焦点的距离为2，是的中点，则为(　　).‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．函数的单调递减区间是(　　).‎ A． B． C． D．‎ ‎8．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则等于(　　).‎ A． B． C． 4 D．‎ ‎9．已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于(　　).‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．已知抛物线，直线，为抛物线的两条切线，切点分别为则“点在直线上”是“”的( )条件.‎ A． 必要不充分 B． 充分不必要 C． 充要 D． 既不充分也不必要 ‎11．双曲线：（，）的焦点为、，抛物线：的准线与交于、两点，且以为直径的圆过，则椭圆的离心率的平方为(　　).‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．设函数，其中,若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是(　　).‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．“”是“”的 条件；（填：充分非必要条件；必要非充分条件；充要条件之一.）‎ ‎14．已知双曲线的左、右顶点分别为两点，点，若线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎15． 在半径为的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______时它的面积最大. ‎ ‎16．函数,若,求的取值范围____.‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知且，设命题：函数在上单调递减，命题：对任意实数，不等式恒成立.‎ ‎（1）写出命题的否定，并求非为真时，实数的取值范围；‎ ‎（2）如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎19．（本小题满分12分）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为， 与双曲线交于两点，求的面积.‎ ‎20．（本小题满分12分）已知函数，．‎ ‎（1）若，曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证 ‎21．（本小题满分12分）已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与相交于两点，与相交于两点，且，求的取值范围.‎ ‎22．（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求过点的图象的切线方程；‎ ‎（2）若函数存在两个极值点，，求的取值范围；‎ ‎（3）当时，均有恒成立，求的取值范围.‎ ‎2018年下期衡阳市八中高二六科联赛 数学（文科）试题 命题人：陈钊 审题人：刘一坚 请注意：时量：120分钟 满分：150分 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D D B B B A A A C C A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 充分非必要 ； 14. ； ‎ ‎15 R ； 16. ‎ (0,‎1‎e)∪(e,+∞) ‎ ； ‎ 答案注解：‎ ‎9．A【解析】：因为是偶函数 所以，即，解得.‎ 所以所以 设切点横坐标诶所以 设所以，解得即 故答案选A.‎ ‎10．C【解析】（1）若,设，切线斜率显然存在且不为，设方程为代入中得到： ，所以，由韦达定理可得，故在直线上；（2）若在直线上，设，切线方程为代入，可得，所以，故，“点在直线上”是“”的充要条件，故选C.‎ ‎11．C【解析】∵抛物线的方程为 ‎∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为 ‎∵双曲线： （， ）的焦点为、，且抛物线的准线与交于、两点∴， ‎ ‎∵以为直径的圆过∴，即 ‎∵∴，即 ‎∴∵椭圆的离心率为 ‎∴椭圆的离心率的平方为故选C.‎ 12． A【解析】设. 恒过(， 恒过(1,0)因为存在唯一的整数，使得，所以存在唯一的整数，使得在直线下方.因为，所以当时， , 单调递减；当时， , 单调递增.所以.‎ 作出函数图象如图所示：‎ 根据题意得： ，解得： .故选A.‎ ‎13．充分非必要【解析】因为当x>2时，成立；反之，不成立，如x=-1时满足,但x>2不成立．所以“”是“”的充分非必要条件.‎ ‎14．【解析】由题意可得， 为正三角形，则，所以双曲线的离心率 .‎ ‎15．R【解析】 设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，‎ 那么h=AO+DO=R+,解得x2=h(2R－h),‎ 于是内接三角形的面积为S=x·h=‎ 从而 令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下: h ‎(0,R)‎ R ‎(,2R)‎ S′‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ S 增函数 最大值 减函数 由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大.‎ 16． ‎ (0,‎1‎e)∪(e,+∞) ‎ ‎【解析】，‎ ‎∴f‎-x=e‎-x+cos‎-x=ex+cosx=fx‎，‎∴fx是偶函数，‎ 当x>0‎时，，‎∴fx在‎0,+∞‎上递增，‎ 由fx是偶函数可得fx在‎-∞,0‎上递减，‎ flnab+flnba-2f‎1‎>0‎‎，即flnab+f‎-lnab-2f‎1‎>0‎ 化为‎2flnab>2f‎1‎，flnab>f‎1‎，等价于lnab‎>1‎，lnab>1‎或lnab<-1‎，‎ 得ab‎>e或‎00‎，解得x<0‎或x>‎‎2‎‎3‎；‎ 所以fx的递增区间为‎(-∞,0),(‎2‎‎3‎,+∞)‎，递减区间为‎(0,‎2‎‎3‎)‎．‎ ‎（2）由（1）知x=0‎是fx的极大值点，x=‎‎2‎‎3‎是fx的极小值点，‎ 所以fx极大值‎=f‎0‎=0‎，fx极小值‎=f‎2‎‎3‎=-‎‎4‎‎27‎，又f‎-1‎=-2‎，f‎2‎=4‎，‎ 所以fx最大值‎=f‎2‎=4‎，fx最小值‎=f‎-1‎=-2‎．‎ ‎18．（1）‎00‎且c≠1‎，所以‎01‎， ‎ 因为命题‎"p∨q"‎为真命题，‎"p∧q"‎为假命题，所以命题p和q一真一假，‎ 若p真q假，则‎01‎‎1‎‎2‎‎1‎，所以c>1‎. ‎ 综上：c的取值范围是‎0，‎‎1‎‎2‎‎∪‎‎1,+∞‎ ‎19．（1）（2）‎ ‎【解析】：（1）设所求双曲线方程为代入点得，‎ 即，所以双曲线方程为，即.‎ （2） ‎.直线的方程为.‎ 设联立得 ，满足 由弦长公式得 ‎ 点到直线的距离.‎ 所以 ‎20．（1）；（2）详见解析．‎ ‎【解析】：解：（1）时，‎ 所以 由题 ‎ ‎（2）由（1）可得只需证 设，‎ 令，得。 ‎ 当时，，当时，，‎ 所以，‎ 所以， ‎ ‎21．(1) x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎=1‎ (2)‎‎(0,‎10‎]‎ ‎【解析】（1）由题意可知：a‎2‎‎=3‎，又椭圆C‎1‎的上顶点为‎0,b，‎ 双曲线C‎2‎的渐近线为：y=±‎3‎‎3‎x⇔x±‎3‎y=0‎，‎ 由点到直线的距离公式有：‎3‎‎2‎‎=‎+‎3‎b‎2‎⇒b=1‎.∴椭圆方程：‎x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎=1‎ ‎（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，代入x‎2‎‎3‎‎-y‎2‎=1‎，‎ 消去y并整理得：‎1-3‎k‎2‎x‎2‎‎-6kmx-3m‎2‎-3=0‎，‎ 要与C‎2‎相交于两点，则应有：‎ ‎1-3k‎2‎≠0‎‎36k‎2‎-m‎2‎-4‎1-3‎k‎2‎‎-3m‎2‎-3‎>0‎‎ ‎⇒‎‎1-3k‎2‎≠0‎m‎2‎‎+1>3‎k‎2‎①‎ 设Q‎1‎x‎1‎‎,‎y‎1‎‎,‎Q‎2‎x‎2‎‎,‎y‎2‎，‎ 则有：x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎6km‎1-3‎k‎2‎，x‎1‎‎⋅x‎2‎=‎‎-3m‎2‎-3‎‎1-3‎k‎2‎.‎ 又OQ‎1‎‎⋅OQ‎2‎=‎ x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=x‎1‎x‎2‎+‎kx‎1‎+mkx‎2‎+m ‎=‎1+‎k‎2‎x‎1‎x‎2‎+kmx‎1‎‎+‎x‎2‎+‎m‎2‎.‎ 又：OQ‎1‎‎⋅OQ‎2‎=-5‎，所以有：‎1‎‎1-3‎k‎2‎‎[(1+k‎2‎)(-3m‎2‎-3)+‎ ‎6k‎2‎m‎2‎+m‎2‎(1-3k‎2‎)]=-5‎，‎ ‎⇒m‎2‎=1-9‎k‎2‎‎，②‎ 将y=kx+m，代入x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎=1‎，消去y并整理得：‎1+3‎k‎2‎x‎2‎‎+6kmx+3m‎2‎-3=0‎，‎ 要有两交点，则Δ=36k‎2‎m‎2‎-4‎‎1+3‎k‎2‎ ‎3m‎2‎-3‎‎>0⇒3k‎2‎+1>‎m‎2‎.③‎ 由①②③及有：‎‎00‎在t∈(0,‎1‎‎9‎]‎内恒成立，故函数ft在t∈(0,‎1‎‎9‎]‎内单调递增，‎ 故ft∈(0,‎5‎‎72‎]‎ ‎⇒M‎1‎M‎2‎∈(0,‎10‎]‎.‎ ‎22．(1) (2) （3） ‎ ‎【解析】：（1）由题意得，函数的定义域为， ‎ 设切点坐标为，则切线方程为 ‎ 把点代入切线方程，得： ，‎ 过点的切线方程为： ‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎ 令要使存在两个极值点， ，‎ 则方程有两个不相等的正数根.又， .‎ 故只需满足即可，解得： ‎ ‎（3）由于在上恒成立.‎ ‎∴在上恒成立.‎ 令，则 当时， ，令，‎ 则 在上单调递增 又， ‎ ‎∴存在便得，即， ‎ 故当时， ，此时 当时， 此时.‎ 故函数在上递增，在上递减 从而： ‎ 令， ，则 ‎ 在上单调递增，∴，故.‎