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- 2021-06-10 发布
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- 1 -
高三数学理模拟试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定
位置上)
1.已知集合 3,2,1A , 4,3,2B ,则集合 BA 中元素的个数为__________.
2.复数
i
iz
1
1 ,则 z __________.
3.已知一组数据 4,6,5,8,6,7,那么该组数据的方差为__________.
4.根据如图所示的伪代码,最后输出的i 的值为__________.
5. xy lg1 的定义域为__________.
6.从长度分别为1 2 3 4、、、的四条线段中,任取三条的不同取法共有 n 种,在这些取法中,以取出的三条线
段为边可组成的三角形的个数为 m ,则 m
n
等于____________.
7.若双曲线
2
2
2 10x ymm 的一条渐近线方程为 30xy,则 m _______.
8.已知 nS 是等差数列 na 的前 项和,若 1 2 3 4a a a , 6 10S ,则 3a ______.
9. 若关于 x 的不等式 2 10mx mx 的解集不是空集,则 的取值范围是________.
10. 已知等边三角形 ABC 的边长为8 , D 为 BC 边的中点,沿 AD 将 ABC 折成直二面角 B AD C,
则三棱锥 A DCB 的外接球的表面积为__________.
11. 若 tan , tan 是方程 2 6 7 0xx 的两个根,则__________.
12.设 ba, 为正实数,则
ba
b
ba
a
2
的最小值为__________.
13. 已知点 A ,B ,C 均位于同一单位圆O 上,且
2
BA BC AB
uuuvuuuv uuuv
,若 3PB PC
uuuvuuuv ,则 PA PB PC
uuuv uuuv uuuv
的取值范围为__________.
- 2 -
14. 已知函数
ln , 1
1 , 12
xx
fx x x
,若 1F x f f x m 有两个零点 12,xx,则 12xx 的取值范围
__________.
二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.)
15.(本题满分 14 分)
设函数 22cos cos 2 3f x x x
(1)当 0, 2x
时,求 fx的值域;
(2)已知 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 3
2f B C, 2a ,求 ABC 面积的最
大值.
16. (本题满分 14 分)
如图,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD BC ,G 为 PA 上一点.
(1)求证:平面 PCD 平面 ;
(2)若 PC ∥平面 ,求证: 为 的中点.
17. (本题满分 14 分)
- 3 -
如图,在宽为14 m 的路边安装路灯,灯柱OA高为8m,灯杆 PA 是半径为 mr 的圆C 的一段劣弧.路
灯采用锥形灯罩,灯罩顶 P 到路面的距离为10 m ,到灯 柱所在
直线的距离为 2m.设 Q 为灯罩轴线与路面的交点,圆心 在
线段 PQ 上.
(1)当 r 为何值时,点 恰好在路面中线上?
(2)记圆心 在路面上的射影为 H ,且 在线段OQ 上, 求 HQ
的最大值.
18. (本题满分 16 分)
如图,椭圆 1C :
22
221xy
ab( 0ab)和圆 2C : 2 2 2x y b,已知圆 将椭圆 的长轴三等
分,椭圆 右焦点到右准线的距离为 2
4
,椭圆 的下顶点为 E ,过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任
意直线l 与圆 相交于点 A 、 B .
(1)求椭圆 的方程;
(2)若直线 EA 、 EB 分别与椭圆 相交于另一个交点为点 、 M .
①求证:直线 MP 经过一定点;
②试问:是否存在以( ,0)m 为圆心, 32
5
为半径的圆G ,使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 相交?若存
在,请求出实数 m 的范围;若不存在,请说明理由.
19. (本题满分 16 分)
已知函数 321 13f x x ax bx (a,bR ).
- 4 -
(1)若 0b ,且 fx在 0, 内有且只有一个零点,求 a 的值;
(2)若 2 0ab,且 有三个不同零点,问是否存在实数 a 使得这三个零点成等差数列?若存在,
求出 a 的值,若不存在,请说明理由;
(3)若 1a , 0b ,试讨论是否存在 0
110, ,122x
U ,使得 0
1
2f x f
.
20. (本题满分 16 分)
设数列 na (任意项都不为零)的前 n 项和为 nS ,首项为1,对于任意 n N ,满足 1
2
nn
n
aaS .
(1)数列 的通项公式;
(2)是否存在 ,,k m n N k m n 使得 ,,k m na a a 成等比数列,且 4216 , ,k m na a a 成等差数列?若存在,试
求 k m n的值;若不存在,请说明理由;
(3)设数列 b , 1
, 2 1,
, 2 , 0
n
n n
a n k k Nb q n k k N q
,若由 nb 的前 r 项依次构成的数列是单调递增数列,
求正整数 的最大值.
- 5 -
高三数学模拟试题附加题
21A.已知矩阵
43
21M
,向量
7
5
ur
.
(1)求矩阵 M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量;
(2)求 3M .
21B.已知曲线C 的极坐标方程是 4cos .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建
立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是:
2
2
2
2
x m t
yt
(t 是参数).
1 若直线 与曲线 相交于 A 、 B 两点,且 14AB ,试求实数 m 值.
2 设 ,M x y 为曲线 上任意一点,求 xy 的取值范围.
21C.已知 a≥2,x∈R.求证:|x-1+a|+|x-a|≥3.
22.如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PG 平面 ,垂足为G , 在 AD
- 6 -
上,且 14, , , 23PG AG GD BG GC GB GC , E 是 BC 的中点.
(1)求异面直线GE 与 PC 所成角的余弦值;
(2)若 F 点是棱 上一点,且 DF GC ,求 PF
FC
的值.
23.棋盘上标有第 0 、1、 2 、L 、100 站,棋子开始位于第 站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏,若掷
出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到调到第99站或第 站时,游戏结束.
设棋子位于第 n 站的概率为 nP .
(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3 次后,求棋手所走步数之和 X 的分布列与数学期望;
(2)证明: 11
1 1 982n n n nP P P P n ;
(3)求 99P 、 100P 的值.
参考答案
1.4; 2.1; 3.略 4.7; 5. 10,0 ; 6.
4
1 ;7. 3 ;8.
9
14 ; 9. 0m 或 4m ;
- 7 -
10. 80 ;11.
4
k ;12. 222 ;13. 7,5 ;14 ),( e .
15. 解:(1)因为 22cos cos 2 3f x x x
所以 ( ) cos2 cos 2 13f x x x
cos2 cos2 cos sin 2 sin 133x x x
13cos2 sin 2 1 cos 2 12 2 3x x x
即 cos 2 13f x x
,
0, 2x
Q , 42,3 3 3x
,
1cos 2 1,32x
所以 ()fx的值域为 30, 2
;
(2)由 3( ) cos 2( ) 132f B C B C
,得 1cos 2 32A
,
又 (0, )A ,
3A ,
在 ABCV 中,由余弦定理,得 2 2 2 2 cos 3a b c bc ,
把 2a ,代入得: 2242b c bc bc bc bc … ,当且仅当bc 时取等号,
ABCV 的面积 1 3 3sin 4 32 3 4 4S bc bc „ ,
则 面积的最大值为 3 .
16. (1)Q 底面 ABCD 为矩形,
BC CD ,
又 PD BCQ ,
- 8 -
,CD PD PCD 平面 , PD CD D,
BC平面 PCD ,
又 BC ABCDQ 平面 ,
平面 ABCD 平面 ;
(2)连接 AC ,交 BD 于O ,连接GO ,
//PCQ 平面 BDG ,
平面 PCA平面 BDG GO ,
//PC GO ,
PG CO
GA OA,
Q 底面 ABCD 为矩形,
是 的中点,即CO OA ,
PG GA,
G 为 PA 的中点.
17. (1)以 O 为原点,以 OA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,8), P(2,10), Q(7,0),
∴直线 PQ 的方程为 2x+y﹣14=0.设 C(a,b),则
2 2 2
2 2 2
( 2) ( 10)
( 8)
a b r
a b r
,
两式相减得:a+b﹣10=0,又 2a+b﹣14=0,解得 a=4,b=6,
∴ 224 (6 8) 2 5r .∴当 25r 时,点 Q 恰好在路面中线上.
(2)由(1)知 a+b﹣10=0,
当 a=2 时,灯罩轴线所在直线方程为 x=2,此时 HQ=0.
当 a≠2 时,灯罩轴线所在方程为:y﹣10=
2
a
a
(x﹣2),
令 y=0 可得 x=12﹣ 20
a
,即 Q(12﹣ ,0),
∵H 在线段 OQ 上,∴12﹣ ≥a,解得 2≤a≤10.
∴|HQ|=12﹣ ﹣a=12﹣( +a)≤12﹣ 2 20 =12﹣ 45,
当且仅当 =a 即 a= 25时取等号.∴|HQ|的最大值为(12﹣ )m.
- 9 -
【点睛】
本题考查了直线方程,直线与圆的位置关系,考查基本不等式与函数最值的计算,属于中档题.
18. Ⅰ )依题意, 1223ba ,则 3ab ,
∴ 2222c a b b ,又
222
4
abccc ,∴ 1b ,则 3a ,
∴椭圆方程为
2
2 19
x y.
(2)①由题意知直线 ,PE ME 的斜率存在且不为 0,设直线 PE 的斜率为 k ,则 : 1y kx,
由 2
2
1,
{
1,9
y kx
x y
得
2
2
2
18 ,91{
91,91
kx k
ky k
或
0,{ 1,
x
y
∴
2
22
18 9 1( , )9 1 9 1
kkP kk
,
用 1
k 去代 ,得
2
22
18 9( , )99
kkM kk
,
方法 1:
22
222
22
9 1 9
19 1 9
18 18 10
9 1 9
PM
kk
kkkk kkk
kk
,
∴ PM :
22
22
9 1 18()9 10 9
k k kyxk k k
,即
2 14
10 5
kyxk
,
∴直线 经过定点 4(0, )5T .
方法 2:作直线l 关于 y 轴的对称直线 'l ,此时得到的点 'P 、 'M 关于 轴对称,则 与 ''PM 相交于
轴,可知定点在 轴上,
当 1k 时, 94( , )55P , 94( , )55M ,此时直线 经过 轴上的点 ,
- 10 -
∵
2
22
2
9 1 4
19 1 5 ,18 10
91
PT
k
kkk k k
k
2
22
2
94
195 ,18 10
9
MT
k
kkk k k
k
∴ PT MTkk ,∴ P 、 M 、T 三点共线,即直线 PM 经过点 ,
综上所述,直线 经过定点 4(0, )5T .
②由 22
1,{ 1,
y kx
xy
得
2
2
2
2 ,1{
1,1
kx k
ky k
或
0,{ 1,
x
y
∴
2
22
21( , )11
kkA kk
,
则直线 AB :
2 1
2
kyxk
,
设
2 1
10
kt k
,则tR ,直线 : 4
5y tx,直线 : 5y tx ,
假设存在圆心为( ,0)m ,半径为 32
5
的圆G ,使得直线 和直线 都与圆 相交,
则
2
2
5 3 2, ( )51 25
{ 4
35 2, ( )51
tm i
t
mt
ii
t
由(i )得 2218 1825 ( )25 25tm对 恒成立,则 2 18
25m ,
由(ii )得, 2218 8 2( ) 025 5 25m t mt 对 恒成立,
当 2 18
25m 时,不合题意;当 2 18
25m 时, 228 18 2( ) 4( )( ) 05 25 25mm ,得 2 2
25m ,即
22
55m ,
∴存在圆心为 ,半径为 的圆 ,使得直线 和直线 都与圆 相交,所有 m 的取值集合
为 22( , )55 .
解法二:圆 2218: ( ) 25G x m y ,由上知 过定点 4(0, )5
,故 224 18()5 25m ;又直线 过原点,
故 2218:025Gm ,从而得 22( , )55m .
- 11 -
考点:1.直线与圆锥曲线的关系;2.椭圆的标准方程.
19. (1)若 0b ,则 321 13f x x ax , 2 2f x x ax ,
若 0a ,则在 0, ,则 0fx ,则 fx在 上单调递增,
又 0 1 0f ,故 在 上无零点,舍;
若 0a ,令 2 20f x x ax ,得 0fx , 1 0x , 2 2xa ,
在 0, 2a 上, 0fx , 在上单调递减,
在 上, , 在上单调递增,
故 3 3 3842 4 1 133f x f a a a a 极小值 ,
若 34 103 a ,则 20fa, 在 上无零点,舍;
若 ,则 20fa, 在 上恰有一零点,此时
1
33
4a
;
若 34 103 a ,则 20fa, , 23 3 1 0f a a a a ,
则 在 和 2 , 3aa上有各有一个零点,舍;
故 a 的值为
1
33
4
.
(2)因为 2 0ab,则 3 2 21 13f x x ax a x ,若 有三个不同零点,且成等差数列,可设
3 2 2 2 3 2113333f x x m d x m x m d x mx m d x m md ,
故 ma,则 0fa,故 3331 103 aaa , 35 13 a , 3 3
5a .
此时, 3 3
5m , 26da ,故存在三个不同的零点.
故符合题意的 a 的值为
1
33
5
.
- 12 -
(3)若 1a , 0b , 321 13f x x x bx ,
32
32
0 0 0 0
1 1 1 1 1 1112 3 3 2 2 2f x f x x bx b
32
3 2 2
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 4 14 7 123 2 2 2 12 2x x b x x x x b
∴若存在 0
110, ,122x
U ,使得 0
1
2f x f
,
必须 2
004 14 7 12 0x x b 在 110, ,122
上有解.
0b Q , 214 16 7 12 4 21 48 0bb
方程的两根为: 14 2 21 48 7 21 48
84
bb , 0 0x Q ,
0x 只能是 7 21 48
4
b ,
依题意 7 21 48014
b ,即7 21 48 11b , 49 21 48 121b
即 25 7
12 12b ,
又由 7 21 48 1
42
b ,得 5
4b ,故欲使满足题意的 0x 存在,则 5
4b ,
∴当 25 5 5 7,,12 4 4 12b
U 时,存在唯一的 满足 ,
当 25 7 5, ,012 12 4b
UU时,不存在 使 .
【点睛】
本题考查了函数的零点问题,解方程,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20.
(1)Q 数列 na 是非零数列, 0na.
- 13 -
当 1n 时, 12
11 2
aaaS , 2 2a;
当 2n 且 n N 时, 11
1 22
n n n n
n n n
a a a aa S S
, 112nnaa ,
21na 是首项为1,公差为 2 的等差数列, 2na 是首项为 ,公差为 的等差数列,
2 1 1 2 1 2 1na a n n , 222 1 2na a n n ,
na n n N .
(2)设存在 ,,k m n N k m n ,满足题意,
,,k m na a aQ 成等比数列, 2m kn;
4216 , ,k m na a aQ 成等差数列, 422 16m k n ,
消去 m 可得: 2 2 22 16k n k n, 2
2
16
21
kn k
,
k m nQ , 3n, 2
16 821
k
k
,解得: 130 2k ,
kNQ , 1k, 4n, 2m , 7k m n .
(3)若 nb 是单调递增数列,则 n 为偶数时, 111nn q n 恒成立,
两边取自然对数化简可得: ln 1 ln 1ln11
nnqnn
,显然 1q ,
设 ln xfx x ,则 2
1 ln xfx x
,
当 0,xe 时, 0fx ;当 ,xe 时, 0fx ,
fx 在 0,e 上单调递增,在 ,e 上单调递减,
在 xe 处取得极大值,
当 4n 时, ln 1
1
n
n
是递减数列,又 ln1 ln 3
13 , ln 3
3 是 的最大值,
ln3ln 3q ;
设 ln 2 1xg x xx
,则
22
2ln 2 1 ln 2220
x xxxxgx xx
,
- 14 -
ln 1
1
n
n
是递减数列,当 6n 时, ln 7 ln 3
53 ,当 8n 时, ln9 ln3
73 ,
当 26n时,存在 1
33q ,使得 111nn q n 恒成立;
当 时, 1 1nqn 不成立,
至多前8 项是递增数列,即正整数 r 的最大值是 .
【点睛】
本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题,涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定
义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题;由数列单调性确定参数值的关键是能够将问题转化为
恒成立问题,通过构造函数的方式来确定上下限,进而通过讨论得到结果,属于难题.
21A.(1)矩阵 M 的特征多项式为 ( ) ( 1)( 2)f ,
令 ( ) 0f ,可求得特征值为 1 1 , 2 2 ,
设 对应的一个特征向量为
x
y
,
则由 1 M ,得 3 3 0xy ,可令 1x ,则 1y ,
所以矩阵 的一个特征值 对应的一个特征向量为
1
1
,
同理可得矩阵 的一个特征值 对应的一个特征向量为 3
2
.
(2) 7 1 325 1 2
r g
所以 331 3 49221 2 33M
r .
【点睛】
本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21B. 解: 1 曲线C 的极坐标方程是 4cos 化为直角坐标方程为: 2240x y x ,直线l 的直角
坐标方程为: y x m .
圆心到直线 的距离(弦心距)
2
2 14 22 22d
,
- 15 -
圆心 2,0 到直线 y x m 的距离为 : 20 2
22
m ,
21m
1m 或 3m .
2 曲线C 的方程可化为 2 224xy ,其参数方程为:
2 2cos
2sin
x
y
( 为参数)
,M x yQ 为曲线 上任意一点, 2 2 sin2 4xy
xy 的取值范围是 2 2 2,2 2 2.
【点睛】
本题考查参数方程与极坐标的应用,属于中档题.
22.试题解析:(1)以G 点为原点, 、 、 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,则
(2,0,0)B ,
(0,2,0), (0,0,4)CP,故 1,1,0 , 1,1,0 , (0,2, 4),E GE PC
uuur uuur
∵ ,
∴GE 与 PC 所成角的余弦值为 10
10
.
(2)解:设 (0, , )F y z ,则 ,
∵ ,∴ ,
即 33( , , ) (0,2,0) 2 3 022y z y ,∴ 3
2y ,
又 ,即 3(0, , 4) (0,2, 4)2 z ,
∴ 1z ,故 3(0, ,1)2F ,
,∴
35
2 3
5
2
PF
FC
- 16 -
考点:空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用.
23.(1)由题意可知,随机变量 X 的可能取值有3 、 4 、5 、 6 .
3113 28PX
,
3
1
3
134 28P X C
,
3
2
3
135 28P X C
,
3116 28PX
.
所以,随机变量 的分布列如下表所示:
P 1
8 3
8
所以,随机变量 的数学期望为 1 3 3 1 934568 8 8 8 2EX ;
(2)根据题意,棋子要到第 1n 站,由两种情况,由第 n 站跳1站得到,其概率为 1
2 nP ,也可以由第
1n 站跳 2 站得到,其概率为 1
1
2 nP ,所以, 11
11
22n n nP P P .
等式两边同时减去 nP 得 1 1 1
1 1 1 1 982 2 2n n n n n nP P P P P P n ;
(3)由(2)可得 0 1P , 1
1
2P , 2 1 0
1 1 3
2 2 4P P P .
由(2)可知,数列 1nnPP 是首项为 21
1
4PP,公比为 1
2 的等比数列,
11
1
1 1 1
4 2 2
nn
nnPP
,
- 17 -
2 3 99
99 1 2 1 3 2 99 98
1 1 1 1
2 2 2 2P P P P P P P P
LL
98
100
111421 2 1112 3 21 2
,
又
99
99 98 99
11= 22PP
,则 98 99
21132P
,
由于若跳到第99站时,自动停止游戏,故有 100 98 99
1 1 112 3 2PP
.
【点睛】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用,同时也考查了累加法求数列通项,综
合性较强,属于难题.
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