高考数学专题复习教案： 任意角和弧度制及任意角的三角函数备考策略 3页

任意角和弧度制及任意角的三角函数备考策略 主标题：任意角和弧度制及任意角的三角函数备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：任意角，弧度制，正弦，余弦，正切，备考策略 难度：2‎ 重要程度：4‎ 内容 考点一　象限角与三角函数值的符号判断 ‎【例1】 (1)若sin α·tan α＜0，且＜0，则角α是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ‎(2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)．‎ A．小于0 B．大于0‎ C．等于0 D．不存在 解析　(1)由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由＜0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．‎ ‎(2)∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，‎ ‎∴sin 2·cos 3·tan 4＜0.‎ 答案　(1)C　(2)A ‎【备考策略】 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限．‎ 考点二　三角函数定义的应用 ‎【例2】 已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．‎ 解　由题意得，r＝，∴sin θ＝＝m.‎ ‎∵m≠0，∴m＝±.故角θ是第二或第三象限角．‎ 当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角，‎ ‎∴cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝－.‎ 当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角．‎ ‎∴cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝.‎ 综上可知，cos θ＝－，tan θ＝－或cos θ＝－，tan θ＝.‎ ‎【备考策略】 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．‎ 考点三　扇形弧长、面积公式的应用 ‎【例3】 已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R.‎ ‎(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；‎ ‎(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？‎ 审题路线　(1)角度化为弧度⇒求扇形的弧长⇒S弓＝S扇－S△⇒分别求S扇＝lr，S△＝r2sin α⇒计算得S弓．‎ ‎(2)由周长C与半径R的关系确定R与α的关系式⇒代入扇形面积公式⇒确定S扇与α的关系式⇒求解最值．‎ 解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则 α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝(cm)，‎ S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin ‎＝π－＝50(cm2)．‎ ‎(2)法一　扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，‎ ‎∴S扇＝α·R2＝α·2‎ ‎＝α·＝·≤.‎ 当且仅当α2＝4，即α＝2 rad时，扇形面积有最大值.‎ 法二　由已知，得l＋2R＝C，‎ ‎∴S扇＝lR＝(C－2R)R＝(－2R2＋RC)‎ ‎＝－2＋.‎ 故当R＝，l＝2R，α＝2 rad时，这个扇形的面积最大，最大值为.‎ ‎【备考策略】(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．‎ ‎(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.‎